Идеальная тепловая машина использует в качестве рабочего тела 1 моль идеального одноатомного газа

Обновлено: 05.07.2024

Идеальная тепловая машина использует в качестве рабочего тела 1 моль идеального одноатомного газа

С2. Шайба массой m =100 г начинает движение по желобу AB из точки А из состояния покоя. Точка А расположена выше точки В на высоте H = 6 м. В процессе движения по желобу механическая энергия шайбы из-за трения уменьшается на величину ΔE. В точке В шайба вылетает из желоба под углом α =15° к горизонту и падает на землю в точке D, находящейся на одной горизонтали с точкой В (см. рисунок). BD = 4 м. Найдите величину ΔE. Сопротивлением воздуха пренебречь. (Решение)

С3. Тепловой двигатель использует в качестве рабочего вещества 1 моль идеального одноатомного газа. Цикл работы двигателя изображён на pV-диаграмме и состоит из двух адиабат, изохоры, изобары. Зная, что КПД этого цикла η =15%, а минимальная и максимальная температуры газа при изохорном процессе t_min = 37 °C и t_max = 302 °C, определите количество теплоты, получаемое газом за цикл. (Решение)

С4. Какая тепловая мощность будет выделяться на резисторе R₁ в схеме, изображённой на рисунке, если резистор R₂ перегорит (превратится в разрыв цепи)? Все резисторы, включённые в схему, имеют одинаковое сопротивление R = 20 Ом. Внутреннее сопротивление источника r = 2 Ом; его ЭДС = 110 В. (Решение)

С5. Квадратная проволочная рамка со стороной l =10 см находится в однородном магнитном поле с индукцией В. → На рисунке изображено изменение проекции вектора В → на перпендикуляр к плоскости рамки с течением времени. За время t =10 с в рамке выделяется количество теплоты Q = 0,1 мДж. Каково сопротивление проволоки, из которой сделана рамка? (Решение)

С6. На рисунке представлены энергетические уровни атома и указаны частоты световых волн, испускаемых и поглощаемых при переходах между ними: ν ₁₃ = 7·10 14 Гц; ν ₃₂ = 3·10 14 Гц. При переходе с уровня Е₄ на уровень Е₁ атом излучает свет с длиной волны λ = 360 нм. Какова частота колебаний световой волны, поглощаемой атомом при переходе с уровня Е₂ на уровень Е₄? (Решение)

Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2005 г.

I. МЕХАНИКА (окончание)

9 Два одинаковых шарика массой m каждый, связанные пружиной жёсткостью k и длиной l, лежат неподвижно на гладком горизонтальном столе. Третий такой же шарик движется со скоростью ₀ по линии, соединяющей центры шариков, связанных пружиной, и упруго соударяется с одним из них. Определите максимальное и минимальное расстояния между шариками, связанными пружиной, при их дальнейшем движении. Принять, что Массой пружины, временем соударения и трением пренебречь.

Из законов сохранения импульса и энергии, записанных для упругого соударения одинаковых по массе шариков, следует, что они при центральном ударе обмениваются скоростями. Поэтому после соударения двигавшийся шарик остановится, а покоившийся приобретёт скорость ₀. При последующем движении шариков, связанных пружиной, будут сохраняться импульс и энергия этой системы. Учитывая, что в моменты времени, когда расстояния между шариками максимальны или минимальны, их относительная скорость обращается в нуль, для этих моментов времени имеем:

где – скорость шариков, x – удлинение пружины. Из этих соотношений находим

10 Груз массой M подвешен на пружине. Удерживая груз в положении равновесия, на него кладут брусок массой m, а затем отпускают. С какой максимальной силой брусок будет действовать на груз в процессе движения? Ускорение свободного падения g. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Из условия равновесия неподвижно висящего груза kx₀ = Mg следует, что удлинение пружины при этом равно где k – жёсткость пружины. Совместим начало отсчёта потенциальной энергии с концом недеформированной пружины. Учитывая, что при максимальном растяжении пружины (x = x_max) скорость груза с бруском обращается в нуль, запишем закон сохранения энергии:

Подставляя сюда x₀, находим

Запишем далее уравнения движения для груза с бруском и отдельно для бруска:

Отсюда сила, с которой груз действует на брусок, равна

Максимальное значение эта сила принимает при x = x_max. Объединяя записанные выражения, получаем окончательно

II. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

1 Плотность смеси азота и кислорода при температуре t = 17 °С и давлении p₀ = 10 5 Па равна = 1,2 кг/м 3 . Найдите концентрации n₁ и n₂ молекул азота и кислорода в смеси. Молярная масса азота M₁ = 28 г/моль, кислорода M₂ = 32 г/моль. Постоянная Больцмана k = 1,38 · 10 –23 Дж/К, универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль·К).

Плотность и давление идеального газа выражаются следующим образом: p = nkT, где n – концентрация молекул, M – молярная масса газа, k – постоянная Больцмана, N_A – число Авогадро, T – абсолютная температура. Используя эти выражения, для смеси газов получаем систему уравнений:

Отсюда, учитывая, что kN_A = R, получаем ответ:

2 Тонкая сферическая оболочка воздушного шара изготовлена из однородного материала, масса единицы площади которого = 1 кг/м 2 . Шар наполнен гелием при атмосферном давлении p₀ = 10 5 Па. Какой минимальный радиус r_min должен иметь шар, чтобы он начал подниматься? Температуры гелия и окружающего воздуха одинаковы и равны t₀ = 0 °С. Молярные массы гелия и воздуха соответственно M_He = 4 г/моль и M_в = 29 г/моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль · К).

Шар будет подниматься, если действующая на него выталкивающая сила превысит силу тяжести. По закону Архимеда, выталкивающая сила равна m_вg, где m_в – масса воздуха в объёме, занимаемом шаром. Обозначив через m_He массу гелия, содержащегося в шаре, а через M – массу оболочки шара, запишем условие, при котором шар начнёт подниматься:

Массы гелия и воздуха, содержащихся в объёме V, можно найти из уравнений состояния этих газов:

где T₀ = t₀ + 273 °C, Учитывая, что масса оболочки шара равна , перепишем условие подъёма шара в виде

При этом знак равенства достигается при минимальном радиусе шара.

3 Внутри вертикально расположенного цилиндра, воздух из которого откачан, находится тонкий массивный поршень. Под поршень ввели смесь водорода и гелия, в результате чего поршень поднялся до середины цилиндра. Поскольку материал, из которого изготовлен поршень, оказался проницаемым для гелия, поршень начал медленно опускаться. Спустя достаточно большое время поршень занял окончательное положение равновесия на высоте, составляющей 1/3 высоты цилиндра. Найдите отношение k масс водорода и гелия в смеси в первоначальный момент. Молярная масса водорода M₁ = 2 г/моль, молярная масса гелия M₂ =
= 4 г/моль. Температуру считать постоянной.

Пусть m₁ и m₂ – соответственно массы водорода и гелия в смеси, M₀ – масса поршня, V – объём цилиндра, S – площадь сечения поршня, T – температура. Из условия равновесия поршня и уравнения начального состояния смеси следует равенство

В конечном состоянии, когда диффузия гелия закончится, концентрация гелия в обеих частях цилиндра станет одинаковой. Следовательно, станут равными парциальные давления гелия снизу и сверху от поршня. Поэтому давление поршня будет уравновешиваться только давлением водорода:

Сопоставляя записанные выражения, получаем, что Массы водорода и гелия в смеси были одинаковыми.

4 В тепловом двигателе, рабочим телом которого является идеальный одноатомный газ, совершается циклический процесс, изображённый на рисунке. Максимальный объём газа в этом процессе в n = 3 раза больше минимального объёма. Найдите КПД двигателя .

Работа газа в циклическом процессе численно равна площади фигуры, ограниченной графиком процесса на p, V-диаграмме:

где p₁ и V₁ – давление и объём газа в точке 1. Количество теплоты, полученной газом в данном процессе,

Поскольку />RT₁ = p₁V₁ и />RT₂ = n 2 p₁V₁, то Q_1–2 = 2p₁V₁(n 2 – 1). КПД цикла

5 В тепловом двигателе, рабочим телом которого является идеальный одноатомный газ, совершается циклический процесс, изображённый на рисунке, где участок 2–3 – адиабатическое расширение, а участок 4–1 – адиабатическое сжатие. Найдите КПД двигателя , если известно, что температура газа при адиабатическом расширении уменьшается в n раз, а при адиабатическом сжатии увеличивается в n раз, где n = 1,5.

Работа газа за цикл равна алгебраической сумме количеств теплоты, которыми газ обменивается с окружающими телами:

Количество теплоты, полученной газом, равно

Следовательно, КПД цикла

По условию задачи, T₂ = nT₃; T₁ = nT₄.

6 В тепловом двигателе, рабочим телом которого является один моль идеального одноатомного газа, совершается циклический процесс, изображённый на рисунке, где участок 2–3 – изотермическое расширение. Найдите работу газа на участке 2 – 3, если КПД двигателя = 20%, а разность между максимальной и минимальной температурами газа T = 100 К.

Работа газа за цикл равна (см. решение задачи 5)

Количество теплоты, полученное газом, равно

Следовательно, КПД рассматриваемого цикла равен

По условию задачи, T₂ = T₃ = T_max. Поэтому

Отсюда В изотермическом процессе количество теплоты, полученное от термостата, равно работе газа Q_2–3 = A_2–3.

Урок 9. Устройство тепловых двигателей

Выберите один вариант ответа. Если идеальный газ отдал количество теплоты 100 Дж и при этом внутренняя энергия газа уменьшилась на 100 Дж, то какова работа, совершённая газом?

Тепловые двигатели

Подчеркните правильный ответ. Все тепловые двигатели можно разделить на два класса:

1. внутренние и внешние
2. турбинные и поршневые
3. внутренние и вечные
4. вечные и поршневые

Виды двигателей

Расставьте подписи к изображениям.

Изобретатели тепловых двигателей

Выделите мышкой 3 фамилии учёных, внёсших вклад в изучение тепловых двигателей.

Четырёхтактный двигатель

Соедините попарно изображения с соответствующими тактами работы четырёхтактного двигателя.

Детали двигателя

Цикл работы двигателя

Выберите несколько вариантов ответа. Один моль одноатомного идеального газа участвует в циклическом процессе, график которого изображён на диаграмме (см. рисунок).

На участке 4–1 работа газа отрицательна

Работа газа на участке 2–3 отрицательна

Работа, совершенная газом на участке 1−2 больше работы, совершаемой внешними силами над газом на участке 4−1

Давление газа в состоянии 2 меньше давления газа в состоянии 4

На участке 1–2 давление газа уменьшается

Детали двигателя

Соедините попарно изображения с соответствующими названиями деталей двигателя.

Двигатели

Коэффициент полезного действия

Соедините попарно попарно прямоугольники с овалами так, чтобы каждому значению КПД нашлось соотношение физической величины процесса при данном условии. Условие: идеальная тепловая машина использует в качестве рабочего тела 1 моль идеального одноатомного газа, установите соответствие между КПД этой тепловой машины и соотношением между физическими величинами в циклическом процессе.

Типы двигателей

Разгадайте ребус и введите ответ. Для этого наберите слово на клавиатуре компьютера.

Задание 30 ЕГЭ по физике

Это задание также относится к высокому уровню сложности. Как правило, тематика этого задания «МКТ» и «Термодинамика». Какие-то задачи требуют только формульного решения, какие-то необходимо сопровождать графическими пояснениями термодинамических процессов. В любом случае, теоретический материал полностью соответствует кодификатору элементов содержания и спецификации контрольных измерительных материалов.

Запишем первый закон термодинамики для изобарного процесса:

Выразим из этого равенства изменение внутренней энергии:

Работу газа в изобарном процессе можно рассчитать по формуле:

с учетом уравнения Менделеева-Клапейрона получим:
(2).
При совершении работы давление бензола не изменяется, так как поршень в цилиндре легкоподвижный. Давление бензола все время остается равным атмосферному.

При этом
– масса бензола, превратившегося в газообразное состояние.

Количество теплоты, которое идет на превращение бензола в это состояние можно рассчитать по формуле:

Выражение для работы бензола (2) и количества теплоты (3) подставим в уравнение (1).

После сокращения на получим искомую формулу:

Подставим численные значения и проведем расчет:

Секрет решения. На первый взгляд задача кажется несложной, но в ней «спрятаны» несколько искусственных приемов, до которых додуматься достаточно сложно. Первый прием – выражение Это математический ход, который сразу подсказывает, что конкретно надо находить в этой задаче.

Второй прием – получение равенства, используя уравнения Менделеева-Клапейрона Здесь надо придерживаться следующих рассуждений: если в левой части уравнения есть переменная величина (в этой задаче ), то и в правой части должна изменяться какая-то физическая величина (в этой задаче ). Можно сказать еще проще: если в левой части равенства есть знак дельта " ", то и в правой части он должен обязательно появиться. В крайнем случае, можно «перебрать» все величины из правой части: температура не может изменяться, так как при парообразовании она всегда постоянна; молярная масса также неизменна, потому что речь идет об одном и том же газе; R – табличная величина. Остается только Эти рассуждения помогут понять ситуацию, описанную в задаче и правильно ее решить.

2. Одно и то же постоянное количество одноатомного идеального газа расширяется из одного и того же начального состояния до одного и того же конечного объёма первый раз по изобаре 1–2, а второй по адиабате 1–3 (см. рисунок). Отношение работы газа в процессе 1–2 к работе газа в процессе 1–3 равно =к=2. Чему равно отношение х количества теплоты полученного газом от нагревателя в ходе процесса 1–2, к модулю изменения внутренней энергии газа в ходе процесса 1–3?

Для участка 1–2 применим первый закон термодинамики с учетом изобарного процесса.

Работу газа при расширении найдем как площадь прямоугольника под графиком.

Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа запишем в виде формулы:

Применим уравнение Менделеева-Клапейрона:

Тогда (3) примет вид:

Таким образом количество теплоты на участке 12 равно:

Для участка 1–3 применим первый закон термодинамики с учетом адиабатного процесса.

но так как запишем:

или Это выражение означает, что газ на участке 13 совершает работу за счет уменьшения своей внутренней энергии.

Учтем, что по условию =к=2, тогда:

Используя (5) и (6) получим искомую формулу:

Секрет решения. Несмотря на громоздкие расчеты и обилие разных индексов в уравнениях, задача является среднего уровня сложности. Надо знать:

- первый закон термодинамики;

- его применение к изопроцессам;

- формулы, выражающие работу газа и его внутреннюю энергию (только для одноатомного идеального газа);

- уметь «читать» графики;

- понимать, что при расширении газ совершает положительную работу, при сжатии – отрицательную работу;

- проводить рассуждения о том, откуда газ берет энергию для совершения работы (за счет своей внутренней энергии или за счет поступления энергии извне);

- указанные пункты описывать соответствующими уравнениями.

Суть любой задачи по физике – описание физических процессов математическими уравнениями, которые надо решить удобным (рациональным) способом.

3. В тепловом двигателе 1 моль одноатомного разряженного газа совершает цикл 1–2–3–4–1, показанный на графике в координатах p–T, где p – давление газа, Т – абсолютная температура. Температуры в точках 2 и 4 равны и превышают температуру в точке 1 в 2 раза. Определите КПД цикла.

КПД теплового двигателя определяется формулой:

– полезная работа, совершенная газом за цикл, Q – полученное за цикл количество теплоты. Можно графически рассчитать работу, если перерисовать данный цикл в координатах рV. Проведем анализ каждого процесса.

В координатах рV график будет иметь вид:

Работа газа за цикл будет определяться площадью прямоугольника 1-2-3-4.

Поэтому (на основании закона Шарля).

(на основании закона Гей-Люссака).

Таким образом, можно выразить полезную работу через и

Газ получает положительное количество теплоты на участках 1–2 и 2–3.

Применим к этим участкам первый закон термодинамики.

Но работа газа на этом участке равна нулю, так как процесс изохорный.

С учетом уравнения Менделеева-Клапейрона и получим:

Для участка 23 первый закон термодинамики примет вид:

Работа определяется площадью прямоугольника под участком 23.

С учетом уравнения Менделеева-Клапейрона (4) примет вид:

Таким образом, полученное количество теплоты на участке 23 равно:

Общее количество теплоты, полученное за цикл:

Полученные выражения из (1) и (6) подставим в формулу КПД.

Секрет решения. За задачи на определение КПД тепловой машины по графику надо получать максимальные 3 балла. Эти задания сопровождаются большими расчетами, поэтому на первое место надо ставить внимательность их выполнения.

Необходимо выделить следующие моменты в решении:

- определять работу графически можно только в координатах рV;

- если в условии дан график в других координатах, то его надо перечертить в рV;

- поэтапно применять первый закон термодинамики и газовые законы для всех процессов;

Линия заданий 30, ЕГЭ по физике

Определим конечное состояние смеси лед - вода, для чего сравним количество теплоты Q₁, необходимое для нагревания льда до температуры плавления, и количество теплоты Q₂, которое может отдать вода при остывании до начала процесса кристаллизации:
\( = (0-) = 2100 \cdot 1 \cdot (0 - ( - 20)) = 42000 Дж \)
\( = = 4200 \cdot 0,2 \cdot 10 = 8400 \) Дж
Q₁ > Q₂, следовательно, вода остынет до 0 °С и начнет кристаллизоваться.

Для того чтобы полностью превратиться в лед, воде при 0°С необходимо отдать количество теплоты
\( = \lambda = 330000 \cdot 0,2 = 66000 \) Дж Так как Q₁ \( = << + > \over \lambda > = - <<2100 \cdot 1 \cdot ( - 20) + 4200 \cdot 0,2 \cdot 10>\over <330000>> \approx 0,1 кг\)

В итоге получаем, что после установления теплового равновесия в сосуде будет находиться:
\( M = + \approx 1 + 0,1 = 1,1 кг\)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8766.

Шар поднимет груз при условии равенства силы тяжести и силы Архимеда: \( (M + m)g + g + = \rho Vg \), где M и m - соответственно масса оболочки шара и масса груза, m_Ш - масса нагретого воздуха в шаре, \( \rho \) - плотность окружающего воздуха.
Откуда получим: \( M + m = - \)

При нагревании воздуха в шаре его давление p и объем V не меняются. Следовательно, согласно уравнению Клапейрона-Менделеева;

\( pV = \frac<<>><\mu >R = \frac<<>><\mu >R \), где \( \mu \) - молярная масса воздуха, T_ш и T_о - температуры воздуха соответственно внутри и вне шара, \( = pV \) - начальная масса воздуха в шаре. Отсюда: \( = pV\frac<<>><<>> \)

Подставляем полученные выражения в (1): \( M + m = pV\left( <1 - \frac<<>><<>>> \right) \)

Окончательной получим: \( = \left( <1 - \frac<><>> \right) = \) 350 ⋅ 0,8 = 280 К = 7° С.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8798.

Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. В процессе медленного подъема поршня его ускорение считаем ничтожно малым. Поэтому сумма приложенных к поршню сил при его движении равна нулю. В проекциях на вертикальную ось у получаем: \( - - Mg = 0 \), или \( S - S - Mg = 0 \).

Отсюда получаем: \( U = \frac<3><2>pV \)

Внутренняя энергия газа в исходном состоянии \( = \frac<3><2>Sh \), а в конечном состоянии

Процесс движения поршня идет при постоянном давлении газа \( \) Поэтому из первого начала термодинамики получаем: \( Q = - + \Delta V = - + S(H - h) \).

Подставляя сюда выражения для \( \), \( \) и \( \), получим: \( Q = \frac<3><2>(S + Mg)H - \frac<3><2>Sh \) \( + (S + Mg)(H - h) = \) \( \frac<3><2>Mgh + \frac<5><2>(Mg + S) \cdot (H - h) \).

Ответ: \( \frac<3><2>Mgh + \frac<5><2>(Mg + S) \cdot (H - h) \)

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8830.

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для водорода и гелия в смеси:
\( >>V = \frac<<>>>><<<\mu _<>>>>RT \)

Согласно закону Дальтона давление смеси:
\( p = >> + > \)
Кроме того, масса смеси
\( m = >> + > \)

Решая систему уравнений (1)-(4), получаем:

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8862.

Коэффициент полезного действия тепловой машины \( \eta = \frac<<>><<>> = 1 - \frac<<\left| <> \right|>><<>> \), где \( <> \) - работа, совершенная за цикл; \( <> \) - количество теплоты, полученное за цикл рабочим веществом тепловой машины от нагревателя; \( <\left| <> \right|> \) - количество теплоты, отданное за цикл холодильнику.

В рассматриваемом цикле газ получает количество теплоты в изотермическом процессе и отдает в изохорном.
В изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа не изменяется, следовательно, в соответствии с первым законом термодинамики количество теплоты, полученное газом, равно работе газа: \( = A \).

Поскольку в изохорном процессе газ работу не совершает, количество теплоты, отданное газом, равно изменению его внутренней энергии: \( \left| <> \right| = \frac<3><2>\nu R\left| <\Delta T>\right| \). Подставляя второе и третье соотношения в первое, получаем искомую работу, совершенную газом в изотермическом процессе.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8894.

При \( t = 100 \) °С давление насыщенного водяного пара равно нормальному атмосферному давлению: \( = <10^5>\) Па. При изотермическом сжатии произведение \( pV \) для влажного воздуха под поршнем уменьшилось, так как \( n 8958. Изменение состояния постоянной массы одноатомного идеального газа происходит по циклу, показанному на рисунке. При переходе из состояния 1 в состояние 2 газ совершает работу A₁₂ = 5 кДж. Какое количество теплоты газ отдает за цикл холодильнику?

Из анализа графика цикла работа газа при переходе из состояния 1 в состояние 2:
\( > = 2 \cdot 2 = 4 \)

Количество теплоты, переданное газом за цикл холодильнику, согласно первому началу термодинамики:

Ответ: \( \left| <> \right| \approx 13 \) кДж.

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8958.

Так как процесс 1-2 - изохорный \( \left( <\frac

= const> \right) \), то работа на этом участке не совершается: \( > = 0 \), поэтому \( > = \Delta > = \frac<3><2>\nu R(3 - ) = 3\nu R \).

Так как процесс 2-3 - изотермический, то изменение внутренней энергии \( \Delta > = 0 \) и \( > = > \).

P.S. Нашли ошибку в задании? Пожалуйста, сообщите о вашей находке ;)
При обращении указывайте id этого вопроса - 8990.

Так как процесс 1-2 - изохорный \( \left( <\frac

= const> \right) \), то работа на этом участке не совершается: \( > = 0 \), поэтому \( > = \Delta > = \frac<3><2>\nu R(3 - ) = 3\nu R \).

Так как процесс 2-3 - изотермический, то изменение внутренней энергии \( \Delta > = 0 \) и \( > = > \).

Термодинамика

Два баллона, объёмами 60 л и 40 л, наполнены Неоном 80 г и Гелием 32 г соответственно. После соединения баллонов давление внутри 300 кПа. Определите температуру газов в конце процесса.

“Досрочная волна 2019 вариант 1”

Постоянную массу идеального одноатомного газа изобарно сжали так, что \(T_2=\dfrac\) Затем этот же газ адиабатически расширяется так, что \(T_3=\dfrac<2>\) Отношение модулей работ в изобарном и адиабатическом процессах \(n=4\) Найдите \(k\) .

“Основная волна 2019”

При изобарном сжатии над гахов совершается работа, модуль которой \(A_1=|p\Delta V|\) где \(p\) – давление гелия в этом процессе, \(\Delta V\) – изменение его объёма.
В соответствии с уравнением Менделеева–Клапейрона для этого процесса можно записать: \[p\Delta V =\nu R (T_1-T_2)=A_1\] В адиабатном процессе (процессе без теплообмена) в соответствии с первым законом термодинамики сумма изменения внутренней энергии газа и его работы равна нулю: \[\dfrac<3><2>\nu R (T_3-T_2)+A_2=0\] При записи последнего соотношения учтено выражение для изменения внутренней энергии идеального одноатомного газа: \[\Delta U =\dfrac<3><2>\nu R (T_3-T_2)\] Преобразуя записанные уравнения с учётом соотношений температур, заданных в условии задачи, получаем: \[A_1=\nu RT_2(k-1)\hspace<5 mm>A_2=\dfrac<3><4>\nu RT_2\] По условию \(\dfrac=n=4\) Следовательно \[\dfrac<4\nu RT_2(k-1)><3\nu R T_2>=4 \Rightarrow 4k-4=12 \Rightarrow 4k=16 \Rightarrow k=4\]

“Основная волна 2020 Вариант 2”

Количество теплоты, полученное системой равно \[Q=L\Delta m,\quad (1)\] где \(\Delta m\) – масса образовавшегося пара.
Так как процесс испарения прошел не до конца, то данный процесс изотермический, а значит изменение внутренней энергии будет за счет изменения массы пара \[A=\dfrac<\Delta m>RT,\quad (2)\] где \(T\) – температура газа в Кельвинах.
Объединим (1), (2) и (3) и найдем отношение \(\dfrac\) \[\dfrac=\dfrac<\dfrac<\Delta m>RT>=\dfrac=\dfrac< \cdot 8,31 \text< Дж/(К$\cdot$моль)>\cdot 351\text< К>><846\cdot 10^3\text< Дж/кг>\cdot 46\cdot 10^<-3>\text< кг/моль>> \approx 0,075\]

Сосуд объемом \(V=10\) л содержит \(\nu=5\) моль гелий при температуре \(t=17^\circ C\) . Если сообщить гелию количество теплоты \(Q=3\) кДж, то сосуд лопнет. Какую максимальную разность давлений внутри сосуда и снаружи него он выдерживает? Атмосферное давление \(p_0=10^5\) Па.

“Основная волна 2020 Вариант 3”

Гелий в количестве \(\nu\) = 3 моль изобарно сжимают, совершая работу \(A_1\) = 2,4 кДж. При этом температура гелия уменьшается в 4 раза: \(T_2=\dfrac<4>\) . Затем газ адиабатически расширяется, при этом его температура изменяется до значения \(T_3=\dfrac<8>\) . Найдите работу газа \(A_2\) при адиабатном расширении. Количество вещества в процессах остаётся неизменным.

При изобарном сжатии над гелием совершается работа, модуль которой \(A_1=|p\Delta V|\) где \(p\) – давление гелия в этом процессе, \(\Delta V\) – изменение его объёма.
В соответствии с уравнением Менделеева–Клапейрона для этого процесса можно записать: \[p\Delta V =\nu R (T_1-T_2)\] В адиабатном процессе (процессе без теплообмена) в соответствии с первым законом термодинамики сумма изменения внутренней энергии газа и его работы равна нулю: \[\dfrac<3><2>\nu R (T_3-T_2)+A_2=0\] При записи последнего соотношения учтено выражение для изменения внутренней энергии идеального одноатомного газа: \[\Delta U =\dfrac<3><2>\nu R (T_3-T_2)\] Преобразуя записанные уравнения с учётом соотношений температур, заданных в условии задачи, получаем: \[A_1=3\nu RT_2\hspace<5 mm>A_2=\dfrac<3><4>\nu RT_2\] Получаем: \[A_2=\dfrac<4>=600\text< Дж>\]

Количество теплоты, полученное системой равно \[Q=L\Delta m,\quad (1)\] где \(\Delta m\) – масса образовавшегося пара.
Так как процесс испарения прошел не до конца, то данный процесс изотермический, а значит изменение внутренней энергии будет за счет изменения массы пара \[A=\dfrac<\Delta m>RT,\quad (2)\] где \(T\) – температура газа в Кельвинах.
Объединим (1), (2) и (3) и найдем отношение \(\dfrac\) \[\dfrac=\dfrac<\dfrac<\Delta m>RT>=\dfrac=\dfrac< 8,31 \text< Дж/(К$\cdot$моль)>\cdot 353\text< К>>< 396\cdot 10^3\text< Дж/кг>\cdot 78\cdot 10^<-3>\text< кг/моль>> = 9,5\%\]

С одним молем идеального одноатомного газа проводят циклический процесс 1-2-3-1, где 1-2 – адиабата, 2-3 – изобара, 3-1 – изохора. Температуры в точках 1, 2, 3 равны 600 К, 455 К и 300 К соответственно. Найдите КПД цикла.

“Досрочная волна 2019 вариант 2”

Цикл не является циклом идеальной тепловой машины. Поэтому воспользуемся общей формулой через теплоту нагревателя и теплоту холодильника. \[\eta = \dfrac-_\text<х>><_\text<н>>=1-\dfrac>>\] Необходимо выяснить, на каком из участков цикла газ получает тепло от нагревателя, а на каком – отдаёт холодильнику. Для этого проведём подсчёт теплоты каждого участка по 1-му началу термодинамики \[Q=A+\Delta U\] 1. На участке 1–2 представлена адиабата — по определению количество теплоты на этом участке равно нулю: \(Q_<12>=0\) 2. На участке 2–3 представлен изобарный процесс. Тут нужно подсчитать и работу газа и внутреннюю энергию

\[Q_<23>=A_<23>+\Delta U_<23>=p_<2>\left(V_<3>-V_<2>\right)+\frac<3> <2>v R\left(T_<3>-T_<2>\right)=\] \[=\left(p_ <2>V_<3>-p_ <2>V_<2>\right)+\frac<3> <2>v R\left(T_<3>-T_<2>\right)=\left(v R T_<3>-v R T_<2>\right)+\frac<3> <2>v R\left(T_<3>-T_<2>\right)=\] \[=\frac<5> <2>v R\left(T_<3>-T_<2>\right)<0\] \[Q_\text<х>=\left|Q_<23>\right|=\frac<5> <2>v R\left(T_<2>-T_<3>\right)\] 3.На участке 3–1 объём газ постоянен, работа равна нулю: \[Q_<31>=A_<31>+\Delta U_<31>=\Delta U_<31>=\frac<3> <2>v R\left(T_<1>-T_<3>\right)>0\] Теплота получилась на этом участке положительной, а значит, газ получает теплоту от нагревателя \[Q_\text<н>=Q_<31>=\frac<3> <2>v R\left(T_<1>-T_<3>\right)\] 4. Найдём значение КПД: \[\eta=1-\frac>>=1-\frac <\sum_<2>v R\left(T_<2>-T_<3>\right)><3 v R\left(T_<1>-T_<3>\right)>=1-\frac<5> <3>\cdot \frac-T_<3>>-T_<3>>\] \[\eta=1-\frac<5> <3>\cdot \frac<455-300><600-300>=1-\frac<31><36>=\frac<5> <36>\approx 0,139=13,9 \%\]

Идеальная тепловая машина использует в качестве рабочего тела 1 моль идеального одноатомного газа

Газовые законы. Законы термодинамики

3 901 . КПД тепловой машины равен 18 %. Чему будет равен КПД, если потери тепла уменьшить в 2 раза? решение

3 9 0 2 . Кислород массой 20 г, находящийся при температуре 640 K , сначала изохорно охлаждают так, что его давление падает в 2 раза, а затем изобарно расширяют до первоначальной температуры. Определите работу, совершенную газом в этом процессе. решение

3 9 0 3 . Идеальный газ расширяется по закону p = a V . Найти графически работу, произведенную газом при увеличении объема от V₁ до V ₂. Поглощается или выделяется тепло при этом процессе? решение

390 4 . Температура некоторой массы m идеального газа с молекулярным весом m меняется по закону T = a V 2 . Найти графически работу, совершенную газом при увеличении объема от V₁ до V ₂. Поглощается или выделяется теплота при этом? решение

3905. В осях V (объем), p (давление) график процесса в идеальном одноатомном газе имеет вид прямой, соединяющей точки (0,8 л; 100 кПа) и (1 л; 80 кПа). Определите максимальное значение внутренней энергии газа в ходе процесса. Масса газа постоянна. решение

3906. 5 моль идеального газа нагревают на 10 К так, что температура газа меняется пропорционально квадрату объема газа. Какую работу совершает газ при нагревании? решение

3907. Имеется n одинаковых кубов, температуры которых T ₁ > T ₂ > … > T_n , а теплоемкость не зависит от температуры. До какой максимальной температуры T можно нагреть один из кубов, используя тепловую машину, которая может работать на любом перепаде температур. решение

3908. Докажите, что молярные теплоемкости (молярная теплоемкость численно равна количеству теплоты, необходимому для нагревания одного моля вещества на 1 К) идеального газа при постоянном давлении C _p и при постоянном объеме C_V связаны соотношением C _p – C_V = R, где R – универсальная газовая постоянная. решение

3909. Чему равны молярные теплоемкости идеального одноатомного газа при постоянном объеме C_V и при постоянном давлении C _p ? Найти их отношение g = C _V /C _p . Что можно сказать о величине этого отношения для жидкости? решение

3 910 . Приведите пример процесса, в котором газ нагревается, отдавая тепло. решение

Гелий – одноатомный газ, и для него

Решение.

Так как газ получает тепло от нагревателя лишь на участке 1-2,

Подставляя эти выражения, получим A = А₁₂=3/2 RDТ/(1-h).

5. К идеальному одноатомному газу, заключенному внутри масляного пузыря, подводится тепло. Найти молярную теплоемкость этого газа, если давлением снаружи можно пренебречь. ( МФТИ, до1992г)

Ответ: С = 3R

Решение.

Воспользуемся 1-ым началом термодинамики:

Если радиус пузыря r , давление газа в пузыре по формуле Лапласа равно

объем газа V = 4/3pr 3 , так что

Для одноатомного газа

PV =RT т.е. (4s/r)(4/3pr 3 ) = RT

Изменяя r на малую величину и пренебрегая членом с (Dr) 2 , получаем, что 32/3psrDr = RDT ,

Подставляя это соотношение в первое начало, получаем

С = С_v + (4s/r) 4pr 2 3R/(32psr) = С_v + 3/2R = 3R

6. Два сосуда заполнены одним и тем же идеальным газом и сообщаются при помощи узкой трубки. Отношение объемов сосудов V₁/V₂ = 2 . Первоначально газ в первом сосуде имел температуру Т₁ = 300К. В результате перемешивания происходит выравнивание температур. Найти первоначальную температуру газа во втором сосуде, если конечная температура Т = 350К. Теплообменом газов со стенками сосудов и трубки пренебречь.

Ответ: Т₂ = 525К.

Решение.

Система, состоящая из газов в обоих сосудах, работы над другими телами не производит и теплом с окружающими телами не обменивается. Следовательно, внутренняя энергия системы сохраняется:

Подставив эти выражения в первое уравнение, получим после упрощений

Решение.

Рассмотрим систему из двух газов. Оба газа двухатомные. У них постоянная теплоемкость при постоянном объеме С_v . Система из двух газов тепла от других тел не получает и работы над телами, не входящими в систему, не совершает. Поэтому внутренняя энергия системы сохраняется:

Отсюда температура смеси

Решение.

Удельная теплоемкость в данном процессе

По первому закону термодинамики

Ответ: m = 22г.

Решение.

При конденсации пара массой m при 100 о С выделяется количество теплоты

При охлаждении получившейся воды до t = 40 o C выделяется количество теплоты

При нагревании льда от t₁ = -10 o C до t_o = 0 o C поглощается количество теплоты

При плавлении льда поглощается количество теплоты

При нагревании получившейся воды от t_o до t поглощается количество теплоты

Для нагревания калориметра от t₁ до t требуется количество теплоты

По закону сохранения энергии

Решение.

По определению КПД тепловой машины

где А_П – полная работа газа за цикл (площадь цикла в координатах P,V), а Q_H – тепло, получаемое рабочим газом извне (от нагревателя). Согласно первому началу термодинамики работа на адиабате 1-2

Работа на изотерме по условию А₂₃ = -А, работа на изохоре А₃₁ = 0. Таким образом, полная работа газа за цикл равна

т.к. Т₁ и Т₂ и есть максимальная и минимальная температуры в цикле. Итак,

т.к. С_v = 3/2R (газ одноатомный).

11. Над идеальным газом постоянной массы проводится циклический процесс, состоящий из двух изобар и двух изохор, как показано на рисунке. Заданы значения давлений Р₁ и Р₂ и температуры Т₂. При каком соотношении температур Т₂ и Т₄ полная работа за цикл больше: в случае Т₄ > Т₂ или Т₄ < Т₂ ?(МГУ,1999)

Решение.

Работа за цикл равна

Из уравнения Клапейрона-Менделеева:

Следовательно, работа за цикл будет больше, если Т₄ > T₂.

P 2 ) от начального значения Т₁ = 300К до конечного
Т₂ = 400К. Определить работу, совершаемую газом в этом процессе, и количество подведенного к нему тепла.

Решение.

Нарисуем график процесса в координатах Р, V. Из уравнения состояния идеального газа

где k = const, получаем

т.е. уравнение прямой, проходящей через начало координат. Работа газа равна заштрихованной площади трапеции:

Количество тепла найдем из первого закона термодинамики:

Решение.

Нарисуем цикл в координатах Р, V (см. рис.);

минимальная температура – T₁, максимальная Т₃ ,

Работа за цикл равна площади цикла

Решение.

Уравнение состояния газа запишется в виде

Подставляя полученные соотношение в первое начало термодинамики, запишем

15. Моль идеального газа нагревается при постоянном давлении, а затем при постоянном объеме переводится в состояние с температурой, равной начальной Т_о = 300К. Оказалось, что в итоге газу сообщено количество теплоты Q = 5кДж. Во сколько раз изменился объем, занимаемый газом?

Ответ: n = Q/RT_o + 1

Решение.

Нарисуем график процесса в координатах

P – V (см. рис.). Пусть конечный объем равен nV_o. Тогда, т.к. 1 – 2 – изобара, температура в точке 2 равна nT_o.

Ответ: Т₂ = 312.8К

Решение.

Вычитая из второго уравнения первое, получим

Решение.

Работу, совершенную паровой машиной можно определить как

где N – мощность машины. Паровая машина отдает количество теплоты

где m – масса сгоревшего угля. Тогда

КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно

Решение.

КПД реального теплового двигателя определяет формула

где Q₁ – количество теплоты, переданной нагревателем рабочему веществу в процессе его изохорного нагревания, которому соответствует участок 1 – 2, Q₂ – количество теплоты, переданной газом холодильнику в процессе его изохорного охлаждения, чему соответствует участок 3 – 4. При изохорных процессах работа А = 0, тогда согласно первому закону термодинамики

где в соответствии с уравнением Менделеева-Клайперона при изохорных процессах

Максимальный КПД идеального теплового двигателя определяется формулой

где Т₁ – абсолютная температура нагревателя, Т₂ – абсолютная температура холодильника. Если в состоянии 2 газ находится в тепловом равновесии с нагревателем, то его температура в этом состоянии равна температуре нагревателя Т₁ . Аналогично, если в состоянии 4 газ оказался в тепловом равновесии с холодильником, то его температура в этом состоянии равна температуре холодильника Т₂ , т.е. в состоянии 4 температура газа стала равна Т₂. Для нахождения температур Т₁ и Т₂ воспользуемся уравнением Менделеева-Клайперона, применив его к состояниям газа 2 и 4:

После этого для КПД идеального двигателя получим

19. В горизонтальном неподвижном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем, площадь сечения которого равна S, находится один моль газа при температуре Т_о и давлении Р_о (см. рис.). Внешнее давление постоянно и равно Р_о. Газ нагревают внешним источником теплоты. Поршень начинает двигаться, причем сила трения скольжения равна f. Найти зависимость температуры газа Т от получаемого им от внешнего источника количества теплоты, если в газ поступает еще и половина количества теплоты, выделяющегося при трении поршня о стенки сосуда. Построить график этой зависимости. Внутренняя энергия одного моля газа U = cT. Теплоемкостью сосуда и поршня пренебречь. (Меледин, 2.65)

Решение.

Пока поршень покоится, вся теплота идет на нагрев газа:

Найдем, используя условие равновесия и закон Шарля, критическую температуру Т_кр, при превышении которой поршень начнет двигаться:

Газовые законы. Термодинамика

Метод решения задач с использованием диаграмм состояния успешно зарекомендовал себя при изуче- нии тем «Газовые законы», «Термодинамика», «Тепловые двигатели». Этот метод может быть использован также и на уроках, и на факультативных занятиях.

1. При нагревании газа получена зависимость, показанная на рисунке. Определите, сжимался газ или расширялся? [Масса газа постоянна. – Ред. ]

Нужно провести из начала координат прямые (пунктир на чертеже),
проходящие через состояния 1 и 2.
Эти прямые соответствуют процессам при постоянных объемах V 1 и V 2 .
Поскольку V 2 > V 1 , газ расширялся.

2. Как менялась температура [заданной массы. – Ред .] идеального газа (увеличивалась или уменьшалась) в процессе, график которого в координатах p, V изображен на рисунке?

Проведем гиперболы, касательные к кривой. Так как гипербола в координатах p, V является графиком изотермы: pV = n RT = const, то T 1 < T 2 . Следовательно, от состояния 1 до состояния 2 температура газа повышалась, а от состояния 2 до состояния 1 – понижалась.

3. Получены две экспериментальные зависимости (см. рисунок). В каком случае масса газа больше? Давление в первом и во втором случае одинаково.

Так как V 1 > V 2 , то m 1 > m 2 .

4. Над идеальным газом производят два замкнутых процесса: 1–2–3–1 и 3–2–4–3 . В каком из них газ совершает бо1льшую работу?

Изобразим изменение состояния газа на p–V-диаграмме.
Очевидно, что А 2 > А 1 .

5. Моль идеального одноатомного газа переводится из начального состояния 1 в конечное состояние 4 в ходе процесса 1 – 2 – 3 – 4 . определите подведенное к газу количество теплоты, если разность начальной и конечной температур D T = 100 К. Считать R = 8,3 Дж/(моль • К).

Из р–Т- диаграммы видно, что T 2 – T 1 = T 4 – T 3 = D Т .

Воспользуемся формулой Q = D U + A ':

6. Моль одноатомного [идеального. – Ред .] газа совершает замкнутый цикл, состоящий из трех процессов: адиабатического расширения, изотермического сжатия и изохорного нагревания. Какая работа была совершена газом в адиабатическом процессе, если при изохорном нагревании подвели Q = 10 кДж тепла? R = 8,3 Дж/(К • моль). [Для произвольного идеального газа результат тот же. – Ред .]

T 2 = T 3 Ю – D U 31 = D U 12 .

V 1 = V 3 Ю Q 31 = D U 31 = 10 кДж, т.к. A' 31 = 0.

Таким образом, A ' 12 = – D U 12 = D U 31 = Q 31 = 10 кДж.

7. Один моль одноатомного идеального газа совершает замкнутый цикл, состоящий из процесса с линейной зависимостью давления от объема, изобары и изохоры. Найдите количество теплоты, подведенное к газу на участках цикла, где его температура растет. Температура газа в состояниях 1 и 2 равна 300 К. Отношение объемов на изобаре
Направление обхода цикла указано стрелками. R = 8,3 Дж/(моль • К).

б ) На участке 1–2 p = a – b V , т.е.:

p 1 = a – b V 1 ;
p 2 = a – b V 2 .

Решая систему, находим:

Умножив обе части на V , получим:

На участке 1–4 температура растет!

Q подвед = Q 31 + Q 14 = 1245 Дж + 726,25 Дж d 1970 Дж.

8. Состояние [одного моля идеального одноатомного. – Ред. ] газа меняется, как представлено на диаграмме p, T , причем p

T на участке 1–2 и на участке 2–3 . Найдите теплоемкости газа на участках 1–2 и 2–3 .

а ) На участке 1–2

б ) На участке 2–3 таким образом, V

p . Работа газа в этом случае:

[В решении этой задачи помещен рисунок, предложенный редакцией, т.к. авторский рисунок ошибочен. – Ред ]

9. КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоящему из изотермы 1–2 , изохоры 2–3 и адиабаты 3–1 , равен h . Разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна D T .

Найдите работу, совершенную n молями одноатомного идеального газа в изотермическом процессе.

Q 12 – количество теплоты, полученное от нагревателя; Q 23 – количество теплоты, отданное холодильнику; Q 31 = 0, т.к. 3–1 – адиабата.

Задачи для самостоятельного решения

1. Поршень в цилиндре с воздухом прилегает к стенкам цилиндра неплотно, поэтому медленно пропускает воздух. Снятая во время нагревания при постоянном давлении зависимость объема от температуры изображена на рисунке. Увеличивалась или уменьшалась масса воздуха в цилиндре? ( Ответ . Масса газа в состоянии 1 больше, чем в состоянии 2. )

2. На рисунке показан циклический процесс, проведенный над некоторой массой [идеального. – Ред .] газа. Изобразите этот процесс в координатах p, T и V , T ( 1–2 и 4–5 – изотермы).

3. На p–T- диаграмме изображен замкнутый процесс, который совершает некоторая масса кислорода. Известно, что максимальный объем, который занимал газ в этом процессе, V макс = 16,6 дм 3 . Определите массу газа и его объем в точке 1 . Значения T 1 , T 2 , p 1 и p 2 указаны на рисунке.
( Ответ . V 1 = 12,4 дм 3 ; m = 16 г.)

4. Найдите работу, совершаемую молем идеального газа в цикле, состоящем из двух участков линейной зависимости давления от объема и изохоры. Точки 1 и 3 лежат на прямой, проходящей через начало координат. Температуры в точках 2 и 3 одинаковы. Считать заданными температуры T 1 и T 2 в точках 1 и 2 . ( Ответ )

5. В тепловом процессе моль [одноатомного. – Ред .] идеального газа переводят из начального состояния в конечное, как показано на рисунке. Какое количество теплоты подведено к газу, если разность начальной и конечной температур D T = 100 °C? ( Ответ . 415 Дж.)

6. Моль идеального газа переводят из состояния 1 в состояние 2 : в первом случае – адиабатически, а во втором – сначала по изобаре 1–3 , а затем по изохоре 3–2 .

Минимальная температура T мин = 300 К. Количество теплоты, подведенное к газу в процессе 1 – 3 – 2 , равно 2,6 кДж. Чему равна работа газа в адиабатическом процессе?

( Ответ . А 12 = – 12 560 Дж.)

7. Один моль идеального газа изменяет свое состояние согласно представленному циклу. 1–4 и 2–3 – изохоры, 3–4 – изобара, 1 – 2 – прямая. Температуры в состояниях 1 , 2 , 3 , 4 равны соответственно T 1 , T 2 , T 3 , T 4 . Какую работу совершает газ за один цикл?

8. В каждом из процессов, изображенных на диаграмме, температура изменяется на одну и ту же величину. В каком из этих процессов газ получает наибольшее количество теплоты? ( Ответ . в изобарном процессе.)

9. Состояние [моля идеального. – Ред .] газа меняется, как представлено на диаграмме p, V , причем p

V 2 на участке 1–2 . Найдите теплоемкость газа в этом процессе. ( Ответ . . )

[Авторский ответ ошибочен. – Ред .]

4 10. Найдите КПД тепловых машин, работающих по циклам 1–2–3–1 и 1–3–4–1 , если КПД машины, работающей по циклу 1–2–3–4–1 , равен h . В качестве рабочего тела во всех слу-

чаях используется [один и тот же. – Ред .] идеальный газ.

44 11. Определите КПД цикла, состоящего из двух адиабат и двух изохор, совершаемого одноатомным идеальным газом. Известно, что в процессе адиабатного расширения устанавливается температура T 2 = 0,75 T 1 , а в

Читайте также:

  
• Замена вкладышей на газель
  
• Что лучше киа оптима или ниссан теана
  
• Разбираю мерседес вито 638
  
• Как развести колодки на тойота спасио
  
• Кузовной ремонт опель инсигния