Расширение газа при нагревании в цилиндре с подвижным поршнем

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 05.10.2024

Разрушители легенд. Двигатель внутреннего сгорания. Часть №5. Степень расширения.

Когда читаешь очередную умную статью по теории ДВС — постоянно проскакивает мнение, что было бы замечательно придумать такой механизимь, чоп степень сжатия у двигателя была поменьше(для предотвращения детонации и уменьшения образования вредных веществ), а вот степень расширения побольше(для максимальной утилизации давления сгорающих газов)…

И вот вроде всё логично пишут — придраться особо не к чему.
А начинаешь разбираться сам — получается всё навыворот… :(

В прошлом моём опусе мы выяснили, что бензиновый двигатель должен иметь "степень сжатия" не менее 18 для того, чтобы можно было и на холостом ходу и на минимальной нагрузке воспламенять смесь после ВМТ для достижения минимального расхода и максимальной мощности(читай — для получения приемлемого КПД).

Сегодня я предлагаю сосредоточится на "степени расширения".

И чтобы нам не отвлекаться ПОКА на всяческое сгорание и прочую лабудень типа преобразования возвратно-поступательного движения в движение вращательное — я предлагаю поиграться вначале с голой ЦПГ(цилиндро-поршневой группой).

Возьмём поршень и цилиндр длиной… ну скажем 200 миллиметров. Поршень у нас будет двигаться внутри этого цилиндра на расстояние в 100 миллиметров. В цилиндр через впускной вентиль будет подаваться из огромного баллона сжатый воздух давлением в 100 атмосфер — ну а мы будем наблюдать за тем, что происходит:

Небольшое лирическое отступление.
Привычные нам термины типа "степень сжатия", "камера сгорания" имеют смысл только на двигателях внутреннего сгорания. В паровых и пневматических двигателях нет даже понятий таких. Зазор между днищем поршня и головкой блока в ВМТ(то, что обзывают "камерой сгорания" у ДВС) цилиндров может быть, а может и не быть — не принципиально. Соответственно — ничего в цилиндре при обратном ходе поршня сжиматься не должно, а потому цикла сжатия в этом двигателе нет и в помине.
При рабочем ходе и расширения тоже может не быть, как ни глупо это прозвучит на первый взгляд. Опять таки не принципиально.

Простейший пневматический двигатель:

Резонный вопрос — а нахрена нам этот пневматический двигатель, если разбираемся мы с двигателем внутреннего сгорания? Дело в том, что я хочу пока немного абстрагироваться от процессов сгорания и разобраться подробнее — как вообще происходит преобразование давления газов в цилиндре в момент на выходном валу двигателя.

В цилиндр пневматического(парового) двигателя рабочее тело поступает "полностью готовое к употреблению". Нагрев, сжатие — все нужные издевательства над рабочим телом производят ДО ТОГО КАК подать его в цилиндр. ЦПГ занята только узкоспециализированным делом — преобразует ДАВЛЕНИЕ в механическую РАБОТУ.

Рассмотрим несколько возможных режимов работы нашего "двигателя":

1). Режим максимальной мощности.
Тот самый режим, когда РАСШИРЕНИЯ в цилиндре не происходит.
Давление в цилиндре поддерживается на одном уровне на всём ходу поршня от ВМТ до НМТ.
Диаграмма давления в цилиндре при движении поршня выглядит вот так:

В термодинамике режим протекающий при постоянном давлении обзывают "изобарным"…
Правда при более внимательном ознакомлении с терминологией оказывается что не только давление, но и масса газа должна быть постоянна…
В нашем случае постоянны и давление и температура и теплоёмкость и наверняка ещё куча других страшных слов, но масса РТ в цилиндре однозначно не константа. Я не нашёл как обозвать одним словом первый же режим нашего двигателя. Наверное не там искал.
Неважно. Я нихрена не понимаю в теплотехнике, но раз режим двигателя такой существует — то пускай теплотехника и страдает по этому поводу. А я буду объясняться на пальцах, раз термина нет… Сорри.

В двигателе внутреннего сгорания такой режим невозможен принципиально — просто невозможно так организовать сгорание топлива. В пневматическом(паровом) двигателе таких ограничений нет — рабочее тело подаётся из баллона(котла), который размерами значительно превосходит размеры нашего цилиндра. При этом, если задуматься — то и на данном режиме работы двигателя мы всё равно используем энергию РАСШИРЕНИЯ сжатого РТ. Просто расширяется в данном случае одномоментно ВСЁ рабочее тело в баллоне(или в котле) — выдавливая часть себя самого в цилиндр двигателя, выдавливая и поршень из цилиндра — совершая при этом полезную механическую работу.

Если объём "камеры сгорания" у нашего двигателя сделать 0 мм хода поршня(в ВМТ поршень упирается в головку блока цилиндров) — то при каждом рабочем ходе поршня у нас будет затрачиваться 100 условных единиц объёма рабочего тела. Если объём "камеры сгорания" сделать равным 1 мм хода поршня — то будет затрачиваться 101 условная единица объёма рабочего тела. Если 2 мм хода поршня — то будет затрачиваться 102 условных единиц объёма рабочего тела…
При прочих равных увеличение объёма "камеры сгорания" увеличивает только прямые потери рабочего тела — т.е. для данного режима оптимально когда объём "камеры сгорания" минимален. Сама "камера сгорания" никакой функциональной нагрузки на данном режиме работы двигателя не имеет.

После завершения рабочего хода через открывающийся выпускной клапан давление сбрасывается в атмосферу, а потом туда же вытесняется поршнем на обратном ходу и весь не нужный уже газ…

Понятное дело что энергия сжатого газа при таком режиме работы двигателя используется не полно — почти вся энергия той порции рабочего тела, что попала в цилиндр двигателя, будет выброшена в атмосферу при открытии выпускного клапана.
Потому в попытках полнее использовать зазря пропадающую энергию додумались выпускать давление не в атмосферу, а в ещё один двигатель… и в ещё один… Как то так:

Даже на паровозе режим максимальной мощности двигателя используют редко(тем не менее такой режим абсолютно штатный и никакого стресса для двигателя не представляющий) — слишком высокий расход рабочего тела и, соответственно, нерациональное использование горючего.
Зато и МАКСИМАЛЬНЫЙ крутящий момент такого двигателя — просто дурной по сравнению с ДВС такого же размера и массы.
Посмотрите на паровоз — что там из себя представляет непосредственно двигатель на общем фоне?!
Такому двигателю не нужен чрезмерный запас прочности — максимальное давление цикла на этом режиме равно среднему давлению цикла.

Размер ЦПГ теоретически не ограничен ничем. Можно сделать ЦПГ длиной 10 см, а можно 10 метров.

2). Режим частичной мощности.
Если обеспечивать давление в 100 атмосфер только на части пути поршня(например прерывать подачу РТ впускным клапаном) — то оставшийся путь поршень будет проходить при давлении, уменьшающемся пропорционально увеличению объёма "камеры сгорания".
Часть цикла до закрытия клапана у нас будет протекать по "изобарному" закону, другая часть — по "адиабатному".

Кривые давления в цилиндре при движении поршня будут выглядеть как-то так:

По мере того, как "адиабатный" процесс начинает превалировать над "изобарным" — мы не можем не заметить существенное уменьшение расхода рабочего тела над выполненной работой. Поскольку на приготовление рабочего тела мы затрачиваем энергию — то соответственно увеличивается эффективность(КПД) двигателя. На выполнение единицы работы затрачивается всё меньше энергии. Например при подаче 50% рабочего тела суммарная мощность на валу падает всего на 20%; 25% рабочего тела обеспечивают 50% мощности на валу и так далее… Максимум эффективности получается когда "камера сгорания" заполняется рабочим телом только в момент нахождения поршня в ВМТ и весь дальнейший рабочий цикл происходит за счёт максимально полного РАСШИРЕНИЯ рабочего тела, находящегося в цилиндре.

Объём потерь энергии можно элементарно просто оценить по конечному давлению газов в самой правой части графика. Чем выше давление в конце рабочего хода поршня — тем выше потери и тем меньше КПД.

Внимание!
Поскольку рабочее тело часть работы совершает, расширяясь уже непосредственно в цилиндре — то, как ни странно это прозвучит, объёмом "камеры сгорания" можно считать весь тот объём цилиндра, что заполняет РТ до момента закрытия впускного клапана. Тот зазор между поршнем и головкой блока цилиндров, что мы привыкли обзывать "камерой сгорания" просто является минимально возможным объёмом "КС".
Этот минимальный объём определяет максимальную(геометрическую) степень расширения нашего двигателя.
Но сама по себе СТЕПЕНЬ РАСШИРЕНИЯ нашего двигателя константой не является!
Чем больше фактический объём "КС" — тем больше мощность двигателя, но тем меньше его эффективность в условиях конечной длины цилиндра. И наоборот.
Запомните этот важный момент. Он нам сильно пригодится в дальнейшем.

3). Режим малой мощности.
Если открывать впускной клапан нашего "двигателя" в ВМТ только на мгновение, и обеспечивать при нахождении поршня в ВМТ давление не 100 атмосфер, а ниже(например — 90, 50, 15) — то ВЕСЬ рабочий цикл будет протекать по "адиабатному" закону. Вырабатываемая двигателем работа уменьшается пропорционально уменьшению расхода рабочего тела, правда эффективность рабочего процесса уже не увеличивается, а начинает уменьшаться…

Кривые давления в цилиндре при движении поршня в этом режиме выглядят так:

На этом режиме объём зазора между поршнем и головкой блока цилиндров(то, что мы привыкли обзывать "камерой сгорания") начинает играть определяющую роль в протекающих процессах так как напрямую определяет мощность двигателя. Чем больше объём "камеры сгорания" в ВМТ — тем бОльший путь придётся пройти поршню для каждого удвоения объёма газов, ну а расстояние напрямую влияет на объём совершаемой РАБОТЫ.
Потому на этом режиме работы уже не прокатят прежние вольности с длиной ЦПГ — ведь длина рабочего хода поршня строго лимитирована объёмом "камеры сгорания" и требуемой СТЕПЕНЬЮ РАСШИРЕНИЯ рабочего тела.

Какие ещё выводы можно сделать на основании вышерассмотренных графиков?
1). Самый эффективный процесс в двигателе на основе цилиндро-поршневой группы — это несомненно "адиабатный". Мгновенный подвод(выделение) всей энергии в ВМТ при минимальном объёме "камеры сгорания" обуславливает создание максимального ДАВЛЕНИЯ газов, РАСШИРЕНИЕ которых в процессе движения поршня и выполняет механическую работу.
Если пытаться подводить дополнительные порции энергии(изотермный процесс или его подобие) во время рабочего хода поршня, ограниченного в перемещении — то каждая последующая порция энергии будет выделяться во всё увеличивающейся "камере сгорания" и будет создавать всё меньший прирост ДАВЛЕНИЯ, а как мы уже выяснили — это чревато неполным расширением рабочего тела к концу рабочего хода поршня и увеличением потерь энергии с выхлопными газами. Часто мелькающее утверждение о том, что самым эффективным является двигатель на основе детонационного сгорания — полностью подтверждается. Но дело тут вовсе не в скорости сгорания топлива(на эту тему поговорим отдельно), а в механизме преобразования создаваемого ДАВЛЕНИЯ в МОМЕНТ и ПЕРЕМЕЩЕНИЕ(читай — в РАБОТУ) с помощью ЦПГ.
2). Ход поршня в цилиндре напрямую завязан на степень РАСШИРЕНИЯ объёма "камеры сгорания".
Расширение не может быть слишком маленьким — иначе значительная часть энергии будет выбрасываться в атмосферу вместе с высокими давлением и температурой выхлопных газов.
Расширение не может быть слишком большим — иначе давление рабочего тела приблизится к атмосферному давлению(а может даже стать ниже атмосферного!), а как мы знаем — поршень в цилиндре движется только за счёт разницы давлений. Чем больше разница давлений над поршнем и под поршнем — тем выше момент двигателя на валу. Самое минимальное давление в цилиндре при самой малой мощности двигателя в конце рабочего хода должно превышать давление атмосферы раза в два-три. Иначе поршень в конце хода начнёт создавать уже не РАБОТУ, а отрицательную работу — СОПРОТИВЛЕНИЕ. Следовательно СТЕПЕНЬ РАСШИРЕНИЯ определяется в первую очередь максимальным давлением цикла в цилиндре. Чем выше максимальное давление в начале цикла расширения — тем выше можно задирать и степень расширения!
3). Если проанализировать график режима малой мощности — то мы увидим как стремительно падает давление цикла при движении поршня от ВМТ(читай — при увеличении объёма "камеры сгорания"). Даже при беглом рассмотрении графика понятно, что добиваться степени РАСШИРЕНИЯ свыше 10 не имеет особого смысла(борьба будет за сущие проценты КПД двигателя), а свыше 20 — вообще бессмысленно!
4). Высокая степень расширения требует огромного запаса оборудования по прочности. С ростом степени расширения пиковые механические и термические нагрузки стремительно растут, а средние — так же стремительно падают. В результате КПД двигателя растёт всё медленнее, а литровая мощность, как ни странно покажется — СНИЖАЕТСЯ всё опережающими темпами.

На практике при БЫСТРОМ расширении(как и при быстром сжатии) давление и температура падают по адиабатному закону, а не по изотермному, как на моих графиках.
Если вы помните — при степени сжатия 10 давление конца такта сжатия(так называемая "компрессия") равно не 10 атм, а атмосфер этак 17… Так и при обратном БЫСТРОМ расширении в десять раз давление со 100 атмосфер уменьшится не до 10 атмосфер, а до 6-7 и даже чуть меньше. Т.е. уже при степени расширения 10 неиспользованной остаётся не более 5% первоначальной энергии ДАВЛЕНИЯ.

На лицо противоречие — степень СЖАТИЯ нужна высокая(для обеспечения благоприятных условий ВОСПЛАМЕНЕНИЯ топлива), а степень РАСШИРЕНИЯ высокая не нужна.

Да её высокой и нет по факту.

В предыдущей статье я уже показал, что ФАКТИЧЕСКАЯ степень СЖАТИЯ обычной бензинки отличается от ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ в бОльшую сторону раза эдак в два за счёт поджига топлива до ВМТ.

Давайте посмотрим, что происходит в цилиндре обычной бензинки на такте расширения.
Возьмём для анализа стандартный график давления в цилиндре обычной бензинки со СС=8:

Как видно на графике в норме максимальное давление цикла возникает в цилиндре только в районе 25 градусов после ВМТ.

Выпускной клапан на бензинке открывается на 130 градусах после ВМТ:

Итого фактическое расширение, производящее механическую работу, в реальном бензиновом двигателе происходит на участке около 100 градусов по коленвалу.
Это всего около 75% хода поршня.
Получаем ФАКТИЧЕСКУЮ степень РАСШИРЕНИЯ на уровне 6… :(

Если же вспомнить, что значительная часть топлива догорает значительно позднее пика давления — то ФАКТИЧЕСКАЯ степень расширения получается ещё меньше.

ФАКТИЧЕСКАЯ СТЕПЕНЬ РАСШИРЕНИЯ имеет также мало общего с ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СТЕПЕНЬЮ СЖАТИЯ, как и ФАКТИЧЕСКАЯ СТЕПЕНЬ СЖАТИЯ(о чём я писал в предыдущей статье).

Именно поэтому неплохой рост КПД привычных ДВС наблюдается и при геометрической "степени сжатия" 12-14, когда даже теоретически весь прирост КПД должен исчисляться уже только процентами:

Забавный вывод? Сделаем себе ещё одну зарубку в голове! :)

Живые есть ещё?
Краткий итог первой части статьи — основная часть работы цикла преобразования давления газов выполняется при НАЧАЛЕ расширения рабочего тела, пока давление рабочего тела максимально превышает давление атмосферы. В ходе дальнейшего расширения выполняемая работа стремительно падает к нулю. Фактическая степень расширения рабочего тела свыше 10 имеет мало смысла.

Давайте теперь ещё раз вспомним о том, что нам необходимо каким-то макаром регулировать мощность двигателя. В идеале для изменения генерируемого момента нам нужно менять ОБЪЁМ двигателя — только при таком регулировании процессы сгорания остаются оптимальными на всех режимах — только так можно получить неизменно высокий КПД двигателя.
По факту же мы меняем СТЕПЕНЬ СЖАТИЯ и ОБОРОТЫ двигателя.

Оборотов я касаться не буду — с ними всё более-менее ясно. Чем выше обороты — тем больше рабочих циклов — тем больше вырабатывается мощности при прочих равных. Процессы сгорания при изменении оборотов, конечно, меняются — но не критично.

А вот со степенью сжатия ситуация намного более запутанная.
И неудачная терминология только скрывает истинную картину происходящего.

У современного бензинового двигателя объём потребляемого воздуха меняется в зависимости от нагрузки раз эдак в 5 за счёт дросселирования. У современного дизеля картина та же самая абсолютно — только вместо дросселирования работает турбирование. Можете сами прикинуть как сильно меняется потребление воздуха на холостом ходу и на режиме максимальной мощности у дизеля со степенью сжатия 14 и давлением наддува на уровне 4-5 бар избытка.
Соответственно РЕАЛЬНАЯ СТЕПЕНЬ СЖАТИЯ этих двигателей в процессе работы ЗНАЧИТЕЛЬНО меняется пропорционально количеству воздуха(смеси) в цилиндрах.
Это очень сильно меняет скорость сгорания топлива и, главное, очень заметно рассинхронизирует три основных процесса, протекающих в ДВС:
1). процесс сгорания;
2). процесс преобразования давления образующихся при сгорании газов в момент на поршне;
3). процесс преобразования возвратно-поступательного движения поршня во вращательное движение коленвала;

Про кривошипно-шатунный механизм детально поговорим в следующей статье — давно пора окончательно разобраться, что с ним не так, а сейчас давайте посмотрим — что происходит при изменении наполняемости цилиндра в разрезе рассмотренных выше процессов.

Чем меньше в цилиндр поступает воздуха — тем меньше температура и давление газов в ВМТ. Тем более вяло будет протекать воспламенение и сгорание топливно-воздушных смесей. Пик давления можно выставить в более-менее удачное положение, но тогда начало сгорания приходится отодвигать далеко до ВМТ, а окончание сгорания всё одно вылезет в зону НМТ. Максимальное давление цикла получается невысоким и растянутым во времени, а чем чревато для КПД КШМ затягивание выделения энергии с точки зрения процесса РАСШИРЕНИЯ(и преобразования ДАВЛЕНИЯ газов в РАБОТУ) — разобрано выше.
А ещё есть такие побочные негативные явления как неполное сгорание, повышенные теплопотери и значительное противодавление до ВМТ…

Так что при том, что степень расширения больше 10 не нужна — степень расширения меньше 10 недопустима в условиях реального двигателя, которому приходится работать не только в режиме "педаль в полик"…

Как ни крути — для максимального КПД ДВС идеальна ЦПГ с изменяемым объёмом КС. Читай — с изменяемой "степенью сжатия", что по сути — одно и тоже.

Как этого добиться в рамках конструктива обычного ДВС — тема последующих статей.

Физика

Для идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем , необходимо учитывать следующее:

масса газа, находящегося в сосуде под поршнем, вследствие изменения термодинамических параметров газа не изменяется:

постоянным остается также количество вещества (газа):

плотность газа и концентрация его молекул (атомов) изменяются:

ρ ≠ const, n ≠ const.

Пусть изменение состояния идеального газа, находящегося в цилиндрическом сосуде под поршнем, вызвано действием на поршень внешней силы F → (рис. 5.9).

Начальное и конечное состояния газа в сосуде под поршнем описываются следующими уравнениями:

p 1 V 1 = ν R T 1 , p 2 V 2 = ν R T 2 , >

где p 1 , V 1 , T 1 — давление, объем и температура газа в начальном состоянии; p 2 , V 2 , T 2 — давление, объем и температура газа в конечном состоянии; ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К).

Условия равновесия поршня, закрывающего идеальный газ в сосуде (см. рис. 5.9), в начале процесса и в конце процесса выглядят следующим образом:

M g + F A = F 1 , M g + F A + F = F 2 , >

где M — масса поршня; g — модуль ускорения свободного падения; F A — модуль силы атмосферного давления, F A = p A S ; p A — атмосферное давление; S — площадь сечения поршня; F 1 — модуль силы давления газа на поршень в начале процесса, F 1 = p 1 S ; p 1 — давление газа в сосуде в начальном состоянии; F — модуль силы, вызывающей сжатие газа; F 2 — модуль силы давления газа на поршень в конце процесса, F 2 = p 2 S ; p 2 — давление газа в сосуде в конечном состоянии.

Температура идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, может как изменяться, так и оставаться неизменной:

если процесс движения поршня происходит достаточно быстро, то температура газа изменяется —

если процесс происходит медленно, то температура газа остается постоянной –

Давление идеального газа, находящегося в сосуде под поршнем, также может изменяться или оставаться неизменным:

если в задаче сказано, что поршень является легкоподвижным, то давление газа под поршнем — неизменно (в том случае, когда из условия задачи не следует обратное) — p = const;
в остальных случаях давление газа под поршнем изменяется — p ≠ const.

Масса поршня , закрывающего газ в сосуде, либо равна нулю, либо имеет отличное от нуля значение:

если в задаче сказано, что поршень является легким или невесомым, то масса поршня считается равной нулю —

в остальных случаях поршень обладает определенной ненулевой массой —

Пример 19. В вертикальном цилиндре под легкоподвижным поршнем сечением 250 мм 2 и массой 1,80 кг находится 360 см 3 газа. Атмосферное давление равно 100 кПа. На поршень поставили гири, и он сжал газ до объема 240 см 3 . Температура газа при его сжатии не изменяется. Определить массу гирь.

Решение . На рисунке показаны силы, действующие на поршень:

сила тяжести поршня M g → ;
сила атмосферного давления F → A ;
сила давления газа F → 1 , действующая со стороны газа (до его сжатия);
сила давления газа F → 2 , действующая со стороны газа (после его сжатия);
m g → — вес гирь.

Условие равновесия поршня запишем в следующем виде:

до сжатия газа —

где F 1 — модуль силы давления газа, F 1 = p 1 S ; p 1 — давление газа до сжатия; S — площадь поршня; Mg — модуль силы тяжести поршня; M — масса поршня; F A — модуль силы атмосферного давления, F A = p A S ; p A — атмосферное давление; g — модуль ускорения свободного падения;

после сжатия газа —

F 2 = Mg + F A + mg ,

где F 2 — модуль силы давления газа, F 2 = p 2 S ; p 2 — давление газа после сжатия; mg — вес гирь; m — масса гирь.

Считая процесс сжатия газа изотермическим, запишем уравнение Менделеева — Клапейрона для газа под поршнем следующим образом:

до его сжатия —

где V 1 — первоначальный объем газа под поршнем; ν — количество газа под поршнем; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T — температура газа (не изменяется в ходе процесса);

после его сжатия —

где V 2 — объем сжатого поршнем газа.

p 1 V 1 = p 2 V 2

и два условия равновесия, записанные в явном виде, образуют полную систему уравнений:

p 1 S = M g + p A S , p 2 S = M g + p A S + m g , p 1 V 1 = p 2 V 2 , >

которую требуется решить относительно массы гирь m .

Для этого выразим отношение давлений p 2 / p 1 из первой пары уравнений:

p 2 p 1 = M g + p A S + m g M g + p A S

и из третьего уравнения:

p 2 p 1 = V 1 V 2 ,

запишем равенство правых частей полученных отношений:

M g + p A S + m g M g + p A S = V 1 V 2 .

Отсюда следует, что искомая масса определяется формулой

m = ( M + p A S g ) ( V 1 V 2 − 1 ) .

Вычисление дает результат:

m = ( 1,80 + 100 ⋅ 10 3 ⋅ 250 ⋅ 10 − 6 10 ) ( 360 ⋅ 10 − 6 240 ⋅ 10 − 6 − 1 ) = 2,15 кг.

Указанное сжатие газа вызвано гирями массой 2,15 кг.

Пример 20. Открытый цилиндрический сосуд сечением 10 см 2 плотно прикрывают пластиной массой 1,2 кг. Атмосферное давление составляет 100 кПа, а температура окружающего воздуха равна 300 К. На сколько градусов нужно нагреть воздух в сосуде, чтобы он приподнял пластину?

Решение . На рисунке показаны силы, действующие на пластину после нагревания газа:

сила тяжести пластины M g → ;
сила атмосферного давления F → A ;
сила давления газа F → 2 , действующая на пластину со стороны нагретого газа.

Пластина находится в состоянии неустойчивого равновесия; условие равновесия пластины выглядит следующим образом:

где F 2 — модуль силы давления нагретого газа, F 2 = p 2 S ; p 2 — давление нагретого газа; S — площадь сечения сосуда; Mg — модуль силы тяжести пластины; M — масса пластины; g — модуль ускорения свободного падения; F A — модуль силы атмосферного давления, F A = p A S ; p A — атмосферное давление.

Запишем уравнение Менделеева — Клапейрона следующим образом:

для газа в сосуде до его нагревания

где p 1 — давление газа в сосуде до нагревания (совпадает с атмосферным давлением), p 1 = p A ; V — объем газа в сосуде; ν — количество вещества (газа) в сосуде; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К); T 1 — температура газа в сосуде до нагревания (совпадает с температурой окружающей среды);

для газа в сосуде после его нагревания

где p 2 — давление нагретого газа; T 2 — температура нагретого газа.

Два уравнения состояния газа (до и после нагревания) и условие равновесия пластины, записанные в явном виде, образуют полную систему уравнений:

p A V = ν R T 1 , p 2 V = ν R T 2 , p 2 S = M g + p A S ; >

систему необходимо решить относительно температуры T 2 , до которой следует нагреть газ.

Для этого делением первой пары уравнений

p A V p 2 V = ν R T 1 ν R T 2

получим выражение для давления нагретого газа:

p 2 = p A T 2 T 1

и подставим его в третье уравнение системы:

p A T 2 S T 1 = M g + p A S .

Преобразуем полученное выражение к виду

T 2 = T 1 ( M g + p A S ) p A S = T 1 ( M g p A S + 1 ) ,

а затем найдем разность

Δ T = T 2 − T 1 = M g T 1 p A S .

Δ T = 1,2 ⋅ 10 ⋅ 300 100 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 − 4 = 36 К = 36 °С.

Пример 21. В цилиндрическом сосуде поршень массой 75,0 кг и площадью сечения 50,0 см 2 начинает двигаться вверх. Давление газа под поршнем постоянно и равно 450 кПа, атмосферное давление составляет 100 кПа. Считая, что поршень движется без трения, определить модуль скорости поршня после прохождения им 3,75 м пути.

Решение . На рисунке показаны силы, действующие на поршень:

сила тяжести поршня M g → ;
сила атмосферного давления F → A ;
сила давления газа F → , действующая на поршень со стороны нагретого газа.

Под действием указанных сил, направленных вверх, поршень движется с ускорением a → :

F → + F → A + M g → = m a → ,

или в проекции на вертикальную ось —

где F — модуль силы давления газа под поршнем, F = pS ; p — давление газа; S — площадь поршня; Mg — модуль силы тяжести поршня; M — масса поршня; g — модуль ускорения свободного падения; a — модуль ускорения поршня.

Преобразуем записанное уравнение, выразив модуль ускорения и выполнив подстановку выражений для модулей сил:

a = F − F A − M g M = ( p − p A ) S M − g .

Скорость поршня, его ускорение и пройденный путь связаны между собой соотношением

где l — пройденный путь; v — модуль скорости поршня.

Выразим отсюда модуль скорости поршня:

и подставим в записанную формулу выражение для модуля ускорения:

v = 2 l ( ( p − p A ) S M − g ) .

v = 2 ⋅ 3,75 ( ( 450 − 100 ) ⋅ 10 3 ⋅ 50 ⋅ 10 − 4 75,0 − 10 ) ≈ 10 м/с.

После прохождения 3,75 м пути поршень приобретет скорость, приблизительно равную 10 м/с.

Тепловое расширение. Газовые законы

В два сосуда конической формы, расширяющихся кверху и книзу, и цилиндрический налита вода при температуре T = 100 °C. Как изменится давление на дно сосудов после охлаждения воды до комнатной температуры?

В сосуде конической формы, расширяющемся кверху, давление на дно увеличится. В сосуде конической формы, расширяющемся книзу, давление на дно уменьшится. В цилиндрическом сосуде давление на дно не изменится.

Две линейки — одна медная, другая железная — наложены одна на другую так, что они совпадают только одним концом. Определить длины линеек при t = 0 °C, зная, что разность их длин при любой температуре составляет Δl = 10 см. Коэффициент линейного расширения меди α₁ = 17·10 -6 К -1 , железа — α₂ = 12·10 -6 К -1 .

Длина медной линейки 24 см, длина железной — 34 см.

Часы, маятник которых состоит из груза малых размеров и легкой латунной нити, идут правильно при 0 °C. Найти коэффициент линейного расширения латуни, если при повышении температуры до t = +20 °C часы отстанут за сутки на 16 с.

На сколько часы будут уходить вперед за сутки при t₀ = 0 °C. если они выверены при t = 20 °C, и материал, из которого сделан маятник, имеет коэффициент линейного расширения α = 0,000012 К -1 ?

При t₀ = 0 °С часы спешат в сутки на τ = 20 с. При какой температуре часы будут идти точно? Коэффициент линейного расширения материала маятника α = 1,9·10 -5 К -1 .

Какую силу F надо приложить к стальному стержню сечением S = 1 см 2 , чтобы растянуть его на столько же, на сколько он удлиняется при нагревании на Δt = 1 °С? Коэффициент линейного расширения α = 12·10 -6 К -1 . Модуль Юнга E = 2,1·10 11 Н/м 2 .

Толщина биметаллической пластинки, составленной из одинаковых полосок стали и цинка, равна d = 0,1 см. Определить радиус кривизны r пластинки при повышении температуры на Δt = 11 °С. Коэффициент линейного расширения цинка α₁= 25·10 -6 К -1 , а стали α₂ = 12·10 -6 К -1 .

Концы стального стержня сечением S = 1 см 2 , находящегося при температуре t = 20 °С, прочно закреплены. С какой силой стержень будет действовать на опоры, если его нагреть до t₁ = 200 °С? Модуль Юнга стали E = 2,0·10 11 Н/м 2 , коэффициент линейного расширения α =1,2·10 -5 К -1 ?

F = 39600 Н.

Каково давление газа p₀ в электрической лампочке, объем которой V = 1 л, если при отламывании кончика последней под поверхностью воды на глубине h = 1 м в лампочку вошло m = 998,7 г воды? Атмосферное давление нормальное.

Стеклянный баллон объемом V = 1 л был наполнен испытуемым газом до давления p = 10 5 Па и взвешен. Его вес оказался равным Q = 0,9898 Н. Затем часть газа была удалена так, что давление в баллоне упало до р₁ = 5·10 4 Па. Новый вес баллона оказался равным Q₁ = 0,9800 Н. Какова плотность испытуемого газа при нормальном атмосферном давлении? Температура постоянна.

ρ = 2,1 кг/м 3 .

p₁ = 751 мм рт. ст.

Открытую стеклянную трубку длиной l = 1 м наполовину погружают в ртуть. Затем трубку закрывают пальцем и вынимают. Какой длины столбик ртути останется в трубке? Атмосферное давление равно H = 750 мм рт. ст.

В запаянной с одного конца стеклянной трубке длиной l = 90 см находится столбик воздуха, запертый сверху столбиком ртути высотой h = 30 см; столбик ртути доходит до верхнего края трубки. Трубку осторожно переворачивают открытым концом вниз, причем часть ртути выливается. Какова высота столбика ртути, которая останется в трубке, если атмосферное давление H = 750 мм рт. ст.?

В сосуд со ртутью опускают открытую стеклянную трубку, оставляя над поверхностью конец длиной l = 60 см. Затем трубку закрывают и погружают еще на 30 см. Определить высоту столба воздуха в трубке. Атмосферное давление p₀ = 760 мм рт. ст.

Посередине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки длиной L = 1 м находится столбик ртути длиной h = 20 см. Если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на l = 10 см. До какого давления была откачана трубка? Плотность ртути ρ = 1,36·10 4 кг/м.

Расположенная горизонтально запаянная с обоих концов стеклянная трубка разделена столбиком ртути, на две равные части. Длина каждого столбика воздуха 20 см. Давление 750 мм рт. ст. Если трубку повернуть вертикально, ртутный столбик опускается на 2 см. Определить длину столбика ртути.

Цилиндрический сосуд делится на две части тонким подвижным поршнем. Каково будет равновесное положение поршня, когда в одну часть сосуда помещено некоторое количество кислорода, в другую — такое же по массе количество водорода, если длина сосуда l = 85 см?

В закрытом цилиндрическом сосуде с площадью основания S находится газ, разделенный поршнем массой M на два равных отсека. Масса газа под поршнем при этом в k раз больше массы газа над ним. Температуры газов одинаковы. Пренебрегая трением и массой газа по сравнению с массой поршня, найти давление газа в каждом отсеке.

; .

Имеются два мяча различных радиусов, давление воздуха в которых одинаково. Мячи прижимают друг к другу. Какой формы будет поверхность соприкосновения?

Выгнута в сторону мяча с большим радиусом.

Найти число n ходов поршня, которое надо сделать, чтобы поршневым воздушным насосом откачать воздух из сосуда емкостью V от давления p₀ до давления p, если емкость насоса ΔV.

Упругость воздуха в сосуде равна 97 кПа. После трех ходов откачивающего поршневого насоса упругость воздуха упала до 28,7 кПа. Определить отношение объемов сосуда и цилиндра насоса.

Два баллона соединены трубкой с краном. В первом находится газ при давлении p = 10 5 Па, во втором — при p₁ = 0,6·10 5 Па. Емкость первого баллона V₁ = 1 л, второго — V₂ = 3 л. Какое давление установится в баллонах (в мм рт. ст.), если открыть кран? Температура постоянная. Объемом трубки можно пренебречь.

Три баллона емкостями V₁ = 3 л, V₂ = 7 л и V₃ = 5 л наполнены соответственно кислородом (p₁ = 2·10 5 Па), азотом (p₂ = 3·10 5 Па) и углекислым газом (p₃ = 6·10 4 Па), при одной и той же температуре. Баллоны соединяют между собой, причем образуется смесь той же температуры. Каково давление смеси?

На гладком горизонтальном столе находится сосуд, разделенный перегородкой на две равные части. В одной части сосуда находится кислород, а в другой — азот. Давление азота вдвое больше давления кислорода. На сколько сдвинется сосуд, если перегородка станет проницаемой? Длина сосуда l = 20 см. Массой сосуда пренебречь. Процесс считать изотермическим.

В цилиндре, закрытом легко подвижным поршнем массой m и площадью S, находится газ. Объем газа равен V. Каким станет объем газа, если цилиндр передвигать вертикально с ускорением: а) +a; б) -a? Атмосферное давление равно p₀, температура газа постоянна.

а) ; б) .

Начертить графики изотермического, изобарического и изохорического процессов в идеальном газе в координатах p, V; p, T; V, T. Объяснить, почему коэффициент объемного расширения идеальных газов равен термическому коэффициенту давления.

На рисунке изображены две изотермы одной и той же массы газа.

1. Чем отличаются состояния газов, если газы одинаковы?

2. Чем отличаются газы, если температуры газов одинаковы?

Как менялась температура идеального газа — увеличивалась или уменьшалась — при процессе, график которого в координатах p, V изображен на рисунке.

При нагревании газа получен график зависимости давления от абсолютной температуры в виде прямой, продолжение которой пересекает ось p в некоторой точке выше (ниже) начала координат. Определить, сжимался или расширялся газ во время нагревания.

На рисунке дан график изменения состояния идеального газа в координатах p, V.

Представить этот круговой процесс (цикл) в координатах p, T и V, T, обозначив соответствующие точки.

Сколько ртути войдет в стеклянный баллончик объемом 5 см 3 , нагретый до t₁ = 400 °С, при его остывании до t₂ = 16 °С, если плотность ртути при t = 16 °С равна ρ = 13,6 г/см 3 ?

При какой температуре находился газ, если при нагревании его на Δt = 22 °С при постоянном давлении объем удвоился? Для каких газов это возможно?

До какой температуры нужно нагреть воздух, взятый при t = 20 °С, чтобы его объем удвоился, если давление останется постоянным?

Определить, каким был бы коэффициент объемного расширения идеального газа, если бы за начальный объем его принимали объем не при t₀ =0°С, а при t₁ = 100 °С?

В цилиндре, площадь основания которого равна S = 100 см 2 , находится воздух при температуре t₁ = 12 °С. Атмосферное давление p₁ = 101 кПа. На высоте h₁ = 60 см от основания цилиндра расположен поршень. На сколько опустится поршень, если на него поставить гирю массой m = 100 кг, а воздух в цилиндре при этом нагреть до t₂ = 27 °С? Трение поршня о стенки цилиндра и вес самого поршня не учитывать.

Два одинаковых баллона, содержащие газ при t = 0 °С, соединены узкой горизонтальной трубкой диаметром d = 5 мм, посередине которой находится капелька ртути.

Капелька делит весь сосуд на два объема по V = 200 см 3 . На какое расстояние x переместится капелька, если один баллон нагреть на Δt = 2 °С, а другой на столько же охладить? Изменением объемов сосудов пренебречь.

Два одинаковых сосуда соединены трубкой, объемом которой можно пренебречь. Система наполнена газом и находится при абсолютной температуре T. Во сколько раз изменится давление в такой системе, если один из сосудов нагреть до абсолютной температуры T₁, а другой поддерживать при прежней температуре T?

1. В горизонтально расположенном сосуде, разделенном легко подвижным поршнем, находятся с одной стороны от поршня m₁ граммов кислорода, а с другой — m₂ граммов водорода. Температуры газов одинаковы и равны T₀. Каким будет отношение объемов, занимаемых газами, если температура водорода останется равной T₀, а кислород нагреется до температуры T₁?

2. Вертикально расположенный сосуд разделен на две равные части тяжелым теплонепроницаемым поршнем, который может скользить без трения. В верхней половине сосуда находится водород при температуре T и давлении p. В нижней части — кислород при температуре 2T. Сосуд перевернули. Чтобы поршень по-прежнему делил сосуд на две равные части, пришлось охладить кислород до температуры T/2. Температура водорода осталась прежней. Определить давление кислорода в первом и втором случаях.

На некоторой высоте давление воздуха p = 3·10 4 Па, а температура t = -43 0 С. Какова плотность воздуха на этой высоте?

Определить давление кислорода, масса которого m = 4 кг, заключенного в сосуд емкостью V = 2 м 3 , при температуре t = 29 °С.

Определить удельный объем азота при температуре 27 °С и давлении p = 4,9·10 4 Па.

Определить массу кислорода, заключенного в баллоне емкостью V = 10 л, если при температуре t = 13 °С манометр на баллоне показывает давление p = 9·10 6 Па.

Какова разница в массе воздуха, заполняющего помещение объемом V = 50 м 3 , зимой и летом, если летом температура помещения достигает t₁ = 40 °С, а зимой падает до t₂ = 0 °С? Давление нормальное.

Сколько молекул воздуха выходит из комнаты объемом V₀ = 120 м 3 при повышении температуры от t₁ = 15 °С до t₂ = 25 °С? Атмосферное давление p₀ = 10 5 Па.

Компрессор захватывает при каждом качании V₀ = 4 л воздуха при атмосферном давлении p = 10 5 Па и температуре t₀ = -3 °С и нагнетает его в резервуар емкостью V = 1,5 м 3 , причем температура воздуха в резервуаре держится около t₁ = 45 °С. Сколько качаний должен сделать компрессор, чтобы давление в резервуаре увеличилось на Δp = 1,96·10 5 Па?

На весах установлены два одинаковых сосуда. Один заполнен сухим воздухом, другой — влажным (насыщенный водяными парами) при одинаковых давлениях и температурах. Какой из сосудов тяжелее?

По газопроводу течет углекислый газ при давлении p = 5·10 5 Па и температуре t = 17 °С. Какова скорость движения газа в трубе, если за τ = 5 мин через площадь поперечного сечения трубы S = 6 см 2 протекает m = 2,5 кг углекислого газа?

Из баллона со сжатым водородом емкостью V = 10 л вследствие неисправности вентиля утекает газ. При температуре t₁ = 7 °С манометр показывал p = 5·10 6 Па. Через некоторое время при температуре t₂ = 17 °С манометр показал такое же давление. Сколько утекло газа?

Какая часть газа осталась в баллоне, давление в котором было равно p = 1,2·10 7 Па, а температура t = 27 °С, если давление упало до p₁ = 10 5 Па? Баллон при этом охладился до t₁ = -23 °С.

До какой температуры нужно нагреть запаянный шар, содержащий m = 17,5 г воды, чтобы шар разорвался, если известно, что стенки шара выдерживают давление 10 7 Па, а объем шара V = 1 л?

В цилиндре объемом V, заполненном газом, имеется предохранительный клапан в виде маленького цилиндрика с поршнем. Поршень упирается в дно цилиндра через пружину жесткости k.

При температуре T₁ поршень находится на расстоянии l от отверстия, через которое газ выпускается в атмосферу. До какой температуры T₂ должен нагреться газ в цилиндре, для того чтобы клапан выпустил часть газа в атмосферу? Площадь поршня S, масса газа в цилиндре m, его молярная масса µ. Объем цилиндрика клапана пренебрежимо мал по сравнению с объемом цилиндра.

В баллоне емкостью V = 110 л помещено m₁ = 0,8 кг водорода и m₂ = 1,6 кг кислорода. Определить давление смеси на стенки сосуда. Температура окружающей среды t = 27 °С.

В сосуде объемом 1 л заключено m = 0,28 г азота. Азот нагрет до температуры T = 1500 °С. При этой температуре α = 30% молекул азота диссоциировано на атомы. Определить давление в сосуде.

В сосуде находится смесь азота и водорода. При температуре T, когда азот полностью диссоциирован на атомы, давление равно p (диссоциацией водорода можно пренебречь). При температуре 2T, когда оба газа полностью диссоциированы, давление в сосуде 3p. Каково отношение масс азота и водорода в смеси?

Оболочка аэростата объемом V = 1600 м 3 , находящегося на поверхности Земли, наполнена водородом на n = 7/8 при давлении p = 101 кПа и температуре t = 15 °С. Аэростат поднялся на некоторую высоту, где давление p₁ = 79,3 кПа и температура t₁ = 2 °С. Сколько водорода потерял аэростат при своем подъеме в результате расширения газа?

Доказать, что в атмосфере с постоянной температурой независимо от закона изменения давления с высотой подъемная сила воздушного шара с эластичной оболочкой постоянна. Газ из воздушного шара не вытекает. Пренебречь давлением, обусловленным кривизной оболочки.

Работа газа. Рассмотрим газ, находящийся в цилиндре с поршнем, позволяющем менять объем газа (рис 9.2)

Рассмотрим газ, находящийся в цилиндре с поршнем, позволяющем менять объем газа (рис 9.2). Отметим, что слово «газ» здесь совершенно условно. Это может быть жидкость, кристалл и вообще любое тело. Цилиндр контактирует с нагревателем или холодильником, который может сообщать газу тепло или отбирать его.

Пусть на поршень оказывается внешнее давление, величина которого может быть любой.

Все процессы, которые будем рассматривать ниже, будут квазистатическими, т.е. медленными настолько, чтобы можно было считать, что в каждый момент газ находится в состоянии т.д.р. Если очень быстро сжать газ, то давление его у поршня окажется на какой-то момент больше, чем в стальном объеме, и тогда нельзя будет говорить о давлении газа вообще. Такой процесс не является квазистатическим. Приближенно квазистатическими являются и процессы, достаточно быстрые с технической точки зрения, например процессы, происходящих в цилиндрах двигателя автомашины во время работы мотора (оказывается, для приближенной квазистатичности требуется, чтобы скорость поршня была мала по сравнению со скоростью звука в газе).

Работа над газом выполняется внешними силами при его сжатии. Работа самого газа выполняется при его расширении. Пусть газ расширяется так, что поршень на рис.9.2 поднимается на величину dx. Тогда газ выполнит работу (S – площадь поршня). Получим

Эта величина называется элементарной работой газа. Работа при расширении газа от объема V₁до V₂ будет равна

Если по одной оси отложить объем газа, по другой – его давление (плоскость P – V), то работа (9.9) будет изображаться площадью под кривой P(V) (рис.9.3).

Процесс расширения от объема V₁ до объема V₂ может происходить различным образом: например, можно при этом изолировать газ от нагревателя или, наоборот, нагревать газ и т.д. Иначе говоря, при перемещении из точки 1 в точку 2 в газе могут происходить различные процессы, даже если зафиксировано начальное и конечное состояния. В каждом процессе работа будет иметь свое значение, так как площадь под кривой процесса будет различной (кривые I, II, и III на рис.9.3). Таким образом, выполняемая газом работа зависит от процесса, который с ним происходит.

Заметим, что работа положительна, если она выполняется газом, и отрицательна, если внешние силы выполняют ее над газом.

Разделив величину силы на площадь поршня, получим давление P, а умножив на S, получим изменение объема газа dV . Таким образом, производимая над газом работа

dA= PdV. (2.30)

Такую же по величине работу совершает газ при расширении, перемещая поршень. При этом dV положительно, если газ расширяется, и отрицательно при сжатии газа. Соответственно работа dA положительна или отрицательна: в первом случае система производит работу сама, во втором — внешние силы производят работу над системой.

Графически процесс изменения состояния газа при его расширении или сжатии изображается на кривой P, V участком 1-2 на рис. Полная работа, совершаемая газом, при расширении от V₁ до V₂:

Эта работа численно равна заштрихованной площади, заключенной под кривой P(V).

Рассмотрим способы передачи телу тепла. При соприкосновении тел либо при взаимодействии тел через излучение, изменение внутренней энергии происходит за счет передачи энергии хаотически движущихся частиц одного тела частицам другого.

Энергия, передаваемая от одного тела другому, представляет собой теплоту. Обозначим ее через Q. Теплота измеряется в тех же единицах, что и энергия.

Связь между переданным теплом, изменением внутренней энергии системы и произведенной работой выражается уравнением

dQ = dE + dA = dE + PdV. (2.32)

Это уравнение представляет собой закон сохранения энергии применительно к механической и тепловой энергии макроскопических тел. Он получил название первого начала термодинамики.

Важно учесть, что в выражении (2.32) работа и количество тепла не есть полные дифференциалы каких-либо величин, в то время как внутренняя энергия является таковой. Можно говорить о внутренней энергии в данном состоянии, а не о количестве тепла или работы, которыми обладает тело. Нельзя делить энергию тела на тепловую и механическую, речь идет лишь об изменении внутренней энергии тела за счет количества тепла, переданного ему или отданного им, и количества совершенной работы. Это разделение неоднозначно и зависит от начального и конечного состояний тела и от характера совершаемого процесса. Поэтому, например, в процессе перехода из состояния 1 в состояние 2 изменение внутренней энергии может быть равно нулю, а тело при этом может приобрести или потерять энергию.

Читайте также: