В пекарне 3 вида пирожных сколькими способами карина может выбрать 5 пирожных

Обновлено: 28.06.2024

Игра "Звездный час" по теме: "Комбинаторика"

Цель изучения темы «Комбинаторика»: формирование основных понятий комбинаторики и методов решения комбинаторных задач.

-овладеть понятием множества и операциями над множествами;
-познакомить с Биномом Ньютона;
-рассмотреть применение комбинаторики к теории вероятности.

Цель проведения игры: выявление степени усвоения учащимися изученного материала по теме «Комбинаторика».

- плакат «Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия». Дьердь Пойа, венгерский математик

- на доске звезды с цифрами, которые показывают уровень сложности задачи (на обратной стороне текст задачи; тексты задач в нескольких вариантах, так как одну и ту же звезду могут выбрать несколько учащихся)

Внимание! Внимание!
Скорей берись за дело!
Даешь соревнование
Смекалистых, умелых.

Уже готово все к сражению
Команды лишь сигнала ждут.
Одну минуточку терпения –
Мы вам представим грозный суд.

Приветствие жюри командами.

О жюри, родное, строгое такое,
Мы хотим пропеть вам
Небольшой романс.
Если станет скучно.
Если станет грустно,
Ты зови, зови к себе всех нас.
Будь же справедливым,
Самым неподкупным
И очко - другое незаметно припиши.
Ведь тебя не зря мы нежно называем
Птичкой на ветвях своей души.

Ведущий 1.

Трудный конкурс впереди, строгое жюри,
Но соперники твои уж не так страшны.
Если будешь помнить ты истину одну –
Смелый и решительный не идет ко дну.

Болельщики, предупреждаем,
Что будет встреча горяча.
И потому мы вам желаем
Болеть без вызова врача.

Ведущий 2.

Учащиеся выбирают звезду, решают задачу, затем берут следующую.

В конце игры жюри подводит итоги, выявляя самых смекалистых. Трое учащихся получают грамоты за призовые места, остальные – сертификат участника. (Можно поощрить учащихся отметками)

II. Задачи.

1 (2 балла). Сколькими способами можно выбрать 6 разных пирожных в кондитерской, где есть 11 разных сортов пирожных?

Ответ. 462 (С₁₁ 6 =462)

2 (2 балла). Сколькими способами могут разместиться 5 покупателей в очереди в кассу?

3 (3 балла). Из цифр 0,1,2 составлены всевозможные трехзначные числа без повторения цифр. Сколько получилось чисел?

4 (4 балла). Записать формулу (а + в) 4 .

Ответ. а 4 + 4а 3 в + 6а 2 в 2 + 4ав 3 + в 4 .

5 (5 баллов). За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ. 28800 (2*Р₅*Р₅ =2 * (120) 2 =2 * 14400 =28800)

6 (4 балла). На собрании должны выступать 5 человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что А должен выступать непосредственно перед Б?

Ответ. 24 (Р₄ = 24)

7 (4 балла). Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

Ответ. 1024 (С₁₀ 0 + С₁₀ 1 + С₁₀ 2 + … +С₁₀ 10 = 2 10 =1024)

8 (5 баллов). Из 20 сотрудников лаборатории 5 человек должны выехать в командировку. Сколько может быть различных составов отъезжающей группы, если заведующий лабораторией и два ведущих инженера одновременно уезжать не должны?

Ответ.15368 составов (С₂₀ 5 – С₂₀ 2 =15368)

9 (3 балла). Сколькими способами могут быть присуждены 1-я, 2-я и 3-я премии трем лицам, если число соревнующихся равно 10?

Ответ. 720 (А₁₀ 3 = 720)

10 (5баллов). Решить уравнение: А_х 2 – С_х 1 = 0.

11 (4 балла). Из цифр 0, 1, 2, 3, 4 составлены всевозможные пятизначные числа так, в каждом числе нет одинаковых цифр. Сколько получилось чисел?

Урок 32. Сочетания с повторениями

Перестановки элементов одного и того же множества отличаются только порядком расположения элементов друг относительно друга.

Если элементы множества расставлены по кругу, то это так называемые перестановки n элементов по кругу. Их количество равно (n - 1)!

Если множество содержит одинаковые элементы, то подсчет количества перестановок с повторениями производится следующим образом: элементы первого типа можно переставить между собой (n₁ – количество таких элементов) способами, второго типа – способами, k -го типа - способами. Значит, число перестановок с повторениями меньше n! в раз, чем число перестановок без повторения, то есть это число равно

В комбинаторике упорядоченные подмножества данного множества называются «размещениями из n элементов на k мест» или, проще: «размещениями из n по k».

Выбор m элементов из множества, содержащего n элементов с повторением и с упорядочиванием выбранных элементов в последовательную цепочку называют размещениями с повторениями из n элементов по m , а общее число обозначают

В комбинаторике подмножества данного множества называются «сочетаниями из n по k элементов» или, проще: «сочетания из n по k».

Основная литература:

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Представим себе, что из элементов множества мы составляем всевозможные трехэлементные комбинации, в которых порядок не важен (как в сочетаниях), но выбрав каждый элемент мы возвращаем его обратно в множество и можем выбирать его снова. Сколько же в таком случае мы получим комбинаций

Считаем, что aab, aba или baa одинаковые наборы

aba и abc –разные наборы

Изучение этого случая начнем с простого примера:

В кондитерской имеются пирожные трех видов. Сколькими способами можно заказать набор, состоящий из пяти пирожных?

Поскольку порядок расположения пирожных в коробке не важен, речь идет о сочетаниях. Кроме того, в наборах обязательно будут повторения.

Зашифруем каждый заказ нулями и единицами. Сначала напишем столько единиц, сколько заказали пирожных первого вида. Потом напишем ноль. Дальше напишем столько единиц, сколько заказали пирожных второго вида. Затем опять ноль. Опять напишем столько единиц, сколько заказали пирожных третьего вида.

14. Сочетания с повторениями

Пусть имеются предметы n различных типов. Сколькими способами можно составить из них комбинацию из k элементов, если не принимать во внимание порядок элементов в комбинации, но при этом предметы одного и того же типа могут повторяться? Иными словами, различные комбинации должны отличаться количеством предметов хотя бы одного типа. Такие комбинации называются сочетаниями с повторениями, а их общее число будем обозначать .

Поясним это на следующем примере. Пусть имеется три элемента: a, b и c. Тогда из этих трёх элементов можно составить шесть сочетаний с повторениями по два элемента: ab, ac, bc, aa, bb, cc.

Таким образом, сочетание с повторениями из n элементов по k элементов (при этом допускается, что m>n) может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно или не содержать его совсем, т. е. каждое сочетание с повторениями из n элементов по k элементов может состоять не только из k различных элементов, но и k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.

Следует отметить, что если, например, две комбинации по k элементов отличаются друг от друга только порядком расположения элементов, то они не считаются различными сочетаниями.

Существует специальная формула для вычисления числа сочетаний с повторениями:

(12.1)

Выведем эту формулу. Прежде всего надо занумеровать возможные типы элементов числами от 1 до n (иначе можно оказаться в положении мужа, который никак не мог вспомнить, что ему поручила купить жена: 5 пакетов молока и 2 банки пива или наоборот 2 пакета молока и 5 банок пива). Теперь можно каждую комбинацию зашифровать с помощью последовательности единиц и палочек: для каждого типа с 1-го до n-го по порядку написать столько единиц, сколько предметов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделять друг от друга палочками.

Например, в кондитерском магазине продаются пирожные 4 видов: корзиночки, наполеоны, песочные и эклеры. Если куплено 3 корзиночки (к), 1 наполеон (н), 2 песочных (п) и 1 эклер (э), то получим такую запись:

В этой записи палочки отделяют одну группу пирожных от другой. Если же куплено 2 корзиночки и 5 песочных, то получим запись . Ясно, что разным покупкам соответствуют при этом разные комбинации из 7 единиц и 3 палочек. Обратно, каждой комбинации единиц и палочек соответствует какая-то покупка. Например, комбинации соответствует покупка 3 наполеонов и 4 песочных (крайние группы отсутствуют).

В результате мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, т. е. k, а число палочек будет на 1 меньше, чем число типов предметов, т. е. n–1. Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из k единиц и n–1 палочек. Различным комбинациям при этом соответствуют различные перестановки с повторениями, а каждой перестановке с повторениями соответствует своя комбинация.

Итак, число сочетаний с повторениями из элементов n типов по k равно числу P(k, n–1) перестановок с повторениями из n–1 палочек и k единиц. А

. Поэтому .

Пример 12.1. В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Решение. В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые можно составить из данных трех различных элементов, причем указанные элементы в каждой группе могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из трех элементов по девять. Следовательно,

Пример 12.2. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

Решение. Данная задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 10 элементов по 10. Следовательно,

, .

В случае, когда требуется купить 8 различных открыток, получим сочетания без повторений:

Пример 12.3. Сколько всего чисел (не больше 100000) можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5 в каждом из которых цифры расположены в неубывающем порядке?

Решение. Это задача о числе сочетаний из пяти цифр по одному, по два, по три, по четыре и по пяти с повторениями в каждом случае. Поскольку , , , , , то существует чисел, удовлетворяющих условию задачи.

12.1. Сколькими способами Буратино, кот Базилио и лиса Алиса могут поделить между собой 5 одинаковых золотых монет?

Ответ: .

12.2. В кондитерской имеется пять разных сортов пирожных. Сколькими способами можно выбрать набор из четырёх пирожных?

Ответ: .

12.3. Сколько существует треугольников, длины сторон которых принимают одно из значений 4, 5, 6, 7?

Ответ: .

12.4. Сколько можно построить различных прямоугольных параллелепипедов, длина каждого ребра которых является целым числом от 1 до 10?

Сочетания

Например:
Из 10 программистов нужно отобрать 4 для участия в проекте. Сколькими способами это можно сделать?
$$\mathrm< n = 10,\ \ \ k=4 >$$ В данном случае, порядок отбора не важен (выборка неупорядоченная); каждый кандидат может войти только один раз в выборку (выборка без повторений). Поэтому рассматриваем неупорядоченные ⟨10,4⟩ –выборки без повторений. Количество способов отбора равно: $$\mathrm< C_<10>^4=\frac<10!><6!\ 4!>=\frac<10\cdot 9\cdot 8\cdot 7><1\cdot 2\cdot 3\cdot 4>=210 >$$ Ответ: 210.

п.2. Сочетания с повторениями

Например:
Нужно отобрать 4 программистов для участия в проекте. Многочисленных претендентов можно разделить на две категории: желающих работать удаленно и предпочитающих работу в офисе. Сколько всего комбинаций из любителей офиса и удалёнки может оказаться в выбранной четвёрке? $$\mathrm< n = 2,\ \ \ k=4 >$$ Порядок отбора не важен; кандидатов из каждой категории может быть несколько или ни одного. Поэтому рассматриваем неупорядоченные ⟨2,4⟩ –выборки с повторениями: $$ \mathrm< \overline_2^4=\frac<(2+4-1)!><(2-1)4!>=\frac<5!><4!>=5 > $$ Всего – 5 комбинаций: OOOO,OOOD,OODD,ODDD,DDDD
где O – любитель офиса; D – любитель удалёнки. Напоминаем, что порядок не важен – важен только состав группы.
Ответ: 5.

п.3. Биномиальные коэффициенты и их свойства

Подробно о биноме – см. §28 справочника для 7 класса.
Для n-й степени бинома справедливо выражение: $$ \mathrm< (a\pm b)^n=a^n+C_n^1a^b\pm C_n^2a^b^2+. +C_n^b^n > $$ где $\mathrm$ – биномиальные коэффициенты, к оторые одновременно являются количествами сочетаний без повторений из n по k: $$ \mathrm< C_n^k=\frac <(n-k)!k!>> $$ Таким образом, биномиальные коэффициенты можно определять как с помощью треугольника Паскаля, так и с помощью данной формулы.
Заметим, что в литературе также часто встречается обозначение $\mathrm<\left(_k^n\right)>$ для биномиальных коэффициентов $\mathrm<\left(C_n^k\right)>$.

Свойства биномиальных коэффициентов

Свойство симметрии

Свойство Паскаля

Замена индексов

Вынесение за скобки

Рекуррентные формулы

Свойство суммы

Свойство разности

Свойства максимума

Если n – четное, то максимальное значение $\mathrm$ имеет при $\mathrm<2>>$.
Если n – нечетное, то максимальное значение имеют два коэффициента $\mathrm$, при $\mathrm<2>>$ и $\mathrm<2>>$

Свёртка Вандермонда

Сумма квадратов

Взвешенное суммирование

Связь с числами Фибоначчи

п.4. Примеры

Пример 1. На столе лежит 10 яблок и 5 груш.
1) Сколькими способами можно выбрать 7 фруктов?
2) Сколькими способами можно выбрать 7 фруктов, чтобы среди них было 3 груши?

1) Всего у нас n = 10 + 5 = 15 фруктов. Нужно выбрать k = 7 фруктов.
Порядок выбора не важен, т.е. выборка неупорядоченная. Находим: $$ \mathrm< C_n^k=C_<15>^7=\frac<15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9><1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7>=6435 > $$ Существует 6435 способов выбрать 7 фруктов из 15.

2) Выбираем 4 яблока из 10 и 3 груши из 5.
Для яблок: $$ \mathrm< C_<10>^4=\frac<10\cdot 9\cdot 8\cdot 7><1\cdot 2\cdot 3\cdot 4>=210 > $$ Для груш: $$ \mathrm< C_3^5=C_<5>^2=\frac<5\cdot 4><1\cdot 2>=10 > $$ По правилу произведения, общее количество способов выбрать 4 яблока и 3 груши: $$ \mathrm< C_<10>^3\cdot C_<5>^3=210\cdot 10=2100 > $$ Ответ: 1) 6435; 2) 2100.

Пример 2. В кондитерском магазине продаётся 4 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 7 пирожных? $$ \mathrm < n=4,\ \ \ k=7 >$$ Порядок выбора пирожных неважен – выборка неупорядоченная; пирожные одного вида могут повторяться. Значит, находим количество сочетаний с повторениями: $$ \mathrm< \overline_4^7=C_<7+4-1>^7=C_<10>^7=C_<10>^3=\frac<10\cdot 9\cdot 8><1\cdot 2\cdot 3>=120 > $$ Ответ: 120

Пример 3. Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 15 рядовых. Сколькими способами можно выбрать из них отряд, состоящий из 1 офицера, 2 сержантов и 5 рядовых?

По всем трём множествам делаем неупорядоченную выборку (т.е., сочетания) без повторений.
Выбираем офицеров: $\mathrm$
Выбираем сержантов: $\mathrm<1\cdot 2>=15>$
Выбираем рядовых: $\mathrm^6=\frac<15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot 11><1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5>=3003>$
По правилу произведения, отряд можно выбрать:
$\mathrm<3\cdot 15\cdot 3003=135135>$ способами.
Ответ: 135135.

Пример 5. Рассчитайте все $\mathrm^k>$ по рекуррентной формуле $\mathrm^k=\fracC_n^>$.
Постройте график $\mathrm^k(k)>$. Сделайте выводы.

Математика

определения и теоремы, учебная литература, решение задач и примеров

Задачи на вероятность (Часть 1)

Задачи на вероятность. Элементы комбинаторики. Часть 1.

Для решения большинства задач на вероятность (по теории вероятностей) необходимы базовые знание комбинаторики (понятия сочетаний, перестановок, размещений). Ниже представлен ряд задач по комбинаторике, которые являются некой подготовкой к решению задач по теории вероятностей.

Задача 1. (Ниворожкина, Морозова. Основы статистики с элементами теории вероятностей)

Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на различные должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?

В условии задачи речь идет о расчете числа комбинаций из 10 элементов по 3. Так как группы по 3 человека могут отличаться и составом претендентов, и заполняемыми ими вакансиями, т.е. порядком, то для ответа необходимо рассчитать число размещений из 10 элементов по 3:

N = A 3 ₁₀ = 10·9·8=720.

Ответ. Можно составить 720 групп по 3 человека из 10.

Задача 2. (Ниворожкина, Морозова. Основы статистики с элементами теории вероятностей)

Правление коммерческого банка выбирает из 10 кандидатов 3 человек на одинаковые должности (все 10 кандидатов имеют равные шансы). Сколько всевозможных групп по 3 человека можно составить из 10 кандидатов?

Состав различных групп должен отличаться по крайней мере хотя бы одним кандидатом и порядок выбора кандидата не имеет значения, следовательно, этот вид соединений представляет собой сочетания. По условию задачи n = 10, m = 3.

Получаем C 3 ₁₀ = 10!/3!7! = 120.

Ответ. Можно составить 120 групп из 3 человек по 10.

Задача 3. (Ниворожкина, Морозова. Основы статистики с элементами теории вероятностей)

Сколькими способами можно выбрать 6 пирожных в кондитерской, где есть 4 разных сорта пирожных?

Это случай сочетания с повторениями.

Ответ. Существует 84 различных способа выбора пирожных.

Задача 4. (Ниворожкина, Морозова. Основы статистики с элементами теории вероятностей)

Менеджер ежедневно просматривает 6 изданий экономического содержания. Если порядок просмотра изданий случаен, то сколько существует способов его осуществления?

Способы просмотра изданий различаются только порядком, так как число, а значит, и состав изданий при каждом способе неизменны. Следовательно, при решении этой задачи необходимо рассчитать число перестановок.
По условию задачи n = 6. Следовательно,

Рn = 6! =1·2·3·4·5·6 = 720.

Ответ. Можно просмотреть издания 720 способами.

а) Сколько существует способов составления в случайном порядке списка из 7 кандидатов для выбора на руководящую должность?

б) Какова вероятность того, что кандидаты будут расставлены в списке по возрасту (от меньшего к большему)?

а) Так как порядок случаен, то количество способов равно числу перестановок из 7 человек:

P = 7! = 7 ⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 5040 (способов).

б) в предположении, что у всех кандидатов возрасты различные, то есть не найдется двух и более человек с одинаковым возрастом, количество способов расставить всех кандидатов по возрасту равно 1. Поэтому вероятность равна:

P = 1/5040 = 0,0002.

Ответ: а) 5040; б) 1/5040.

Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему сезону, создает модели в зеленой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что зеленый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0,3, что черный - в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет - в 0,15. Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов?

p1 = 0,3 - вероятность того, что зеленый цвет будет в моде,

p2 = 0,2 - вероятность того, что черный цвет будет в моде,

p3 = 0,15 - вероятность того, что красный цвет будет в моде.

Событие А - цветовое решение удачно хотя бы по одному из выбранных цветов.

Тогда вероятность P(A) будет равна:

P(A) = 1 - q1q2q3 = 1 - (1-p1)(1-p2)(1-p3) = 1-0,7 ⋅0,8⋅0,85 = 0,524.

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.

В пекарне 3 вида пирожных сколькими способами карина может выбрать 5 пирожных

При решении конкретной комбинаторной задачи надо сначала выяснить, не решается ли она непосредственно применением правил суммы и произведения. Если такое решение окажется затруднительным, то следует составить математическую схему решаемой задачи, выяснив, идет ли в ней речь о составлении подмножеств или кортежей, допустимы или нет повторения.

Приведем примеры решения комбинаторных задач.

1. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города В в город С — три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из

Каждый путь искомого вида задается парой где а — один из путей, соединяющих один из путей, соединяющих Так как по условию а можно выбрать пятью способами, тремя способами, то пару можно по правилу произведения выбрать способами.

Решение задачи может быть более наглядным, если составить схему, изображенную на рисунке 7. Здесь римские цифры — номера путей из а арабские — номера путей из

2. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «полка»?

В этом слове две гласные буквы и три согласные. По правилу произведения выбор может быть сделан способами.

3. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну перчатку на правую руку таку чтобы эти перчатки были различных размеров?

Эту задачу тоже можно решить по правилу произведения. Перчатка на левую руку может быть выбрана шестью способами. После того как она выбрана, перчатку на правую руку можно выбрать лишь пятью способами (размеры перчаток должны быть разными). Поэтому всего имеем способов выбора.

Другой способ решения этой задачи основан на формуле для размещений без повторений. Каждый выбор можно задать парой различных чисел где Число таких пар равно

4. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти различных цветов?

Обозначим пять имеющихся цветов буквами Тогда любой флаг «зашифровывается» кортежем из трех различных букв. Поэтому число флагов равно числу размещений без повторений из

5. Сколькими способами можно составить четырехцветный флаг из горизонтальных полос, имея четыре различных цвета?

В этом случае различные флаги отличаются друг от друга лишь порядком цветов. Их число равно числу перестановок из четырех элементов,

6. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Сколькими различными способами это можно сделать? В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? В скольких случаях окажется ровно один туз? В скольких случаях — ровно 4 туза?

Каждый выбор карт из колоды есть выбор -множества из -множества. Это может быть сделано

Найти число способов, когда среди выбранных карт есть хотя бы один туз, на первый взгляд сложнее — надо разбирать случаи, когда есть ровно один туз, ровно два туза, ровно три туза, ровно четыре туза. Но проще найти сначала, в скольких случаях среди выбранных карт нет ни одного туза — во всех остальных случаях будет хотя бы один туз. Но если среди выбранных карт нет ни одного туза, то выбор совершался не из 52, а из 48 карт (всех карт, кроме тузов), а потому число таких выборов равно Следовательно, хотя бы один туз будет в случаях.

Чтобы найти, в скольких случаях будет ровно один туз, разобьем операцию выбора карт на две — сначала выбирают из четырех тузов один туз — это можно сделать способами. А потом из оставшихся 48 карт выберем 9, что можно сделать способами. По правилу произведения получаем, что весь выбор можно сделать способами.

Наконец, выбор, содержащий четыре туза, можно сделать способами — надо взять 4 туза и выбрать еще 6 карт из 48.

7. В некотором государстве не было двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения государства (наибольшее число зубов равно 32)?

Каждому жителю государства соответствует подмножество множества состоящего из 32 зубов, показывающее, каков набор зубов у этого жителя. Общее число подмножеств -множества равно 232. Значит, в государстве не может быть больше, чем 232 жителей.

8. Пусть различные простые числа. Сколько делителей имеет число где некоторые натуральные числа (делители 1 и включаются)?

Каждый делитель числа имеет вид где

Значит, показатель может принимать значений. Но тогда по правилу произведения число кортежей (Эх, (а тем самым и число делителей равно

9. Сколькими способами можно расставить белые фигуры

(2 коня, 2 слона у 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?

В этой задаче надо найти число кортежей длины 8, имеющих заданный состав (2, 2, 2, 1, 1). Число таких кортежей (т. е. перестановок с повторениями) равно:

10. Пятнадцать занумерованных биллиардных шаров разложены по шести лузам. Сколькими способами это можно сделать?

Поставим каждому числу от 1 до 15 в соответствие номер лузы, в которую положен шар, номер шара равен этому числу. Получим кортеж длины 15, составленный из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (номеров луз). Число таких кортежей равно 615.

11. Сколькими способами можно расставить на 32 черных полях шахматной доски 12 белых и 12 черных шашек?

Поля для белых шашек можно выбрать способами. После этого остается 20 полей, из которых можно способами выбрать поля для черных шашек. Всего получаем

12. Сколькими способами можно составить набор из 8 пирожных, если имеется 4 сорта пирожных?

Поскольку в этой задаче порядок пирожных не играет роли, то каждый набор задается кортежем длины 8 из 4 элементов (названий сортов пирожных), причем порядок компонент кортежа не играет роли. Иными словами, нам надо найти число различных составов таких кортежей. А это число равно числу сочетаний с повторениями из 4 элементов по 8, т. е. Значит, существует 165 различных наборов.

комбинаторика
учебно-методический материал

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n 1 способами, второе действие n 2 способами, третье – n 3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов?

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m ( ) из этих (n*r) предметов?

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

Задача в театральном буфете имеется 5 сортов пирожных ?

Задача в театральном буфете имеется 5 сортов пирожных .

Сколькими способами девочка сластёна может выбрать два из них если она хочет взять обязательно разные пирожные.

10 способов : 1, 2 ; 1, 3 ; 1, 4 ; 1, 5 ; 2, 3 ; 2, 4 ; 2, 5 ; 3, 4 ; 3, 5 ; 4, 5.

В буфете было 4 сорта пирожных : слоеное , песочное, бисквитное и заварное ?

В буфете было 4 сорта пирожных : слоеное , песочное, бисквитное и заварное .

Сколько различгых наборов по 2 пирожных разных сортов можно из них составить.

В буфете было 4 сорта пирожных : слоеное, песочное, бисквитное и заварное?

В буфете было 4 сорта пирожных : слоеное, песочное, бисквитное и заварное.

Сколько различных наборов по 2 пирожных разных сортов можно из них составить.

Как решить эту задачу.

В театральный буфет привезли 7 подносов с пирожками по 28 штук на каждом?

В театральный буфет привезли 7 подносов с пирожками по 28 штук на каждом.

Всего в театральный буфет привезли 388 пирожков и пирожных.

Сколько подносов с пирожками привезли в театральный буфет?

В буфете было 4 сорта пирожных - слоеное, песочное, бисквитное, заварное?

В буфете было 4 сорта пирожных - слоеное, песочное, бисквитное, заварное.

Сколько различных наборов по 2 пирожных разных сортов можно из них составить.

Как это записать правильно в тетради по математике?

В виде действий?

В театральный буфет принесли 7 подносов с пирожными, по 28 пирожных на каждом, и несколько с бутербродами, по 32 бутеброда на каждом?

В театральный буфет принесли 7 подносов с пирожными, по 28 пирожных на каждом, и несколько с бутербродами, по 32 бутеброда на каждом.

Всего в театральный буфет принесли 388 пирожных и бутербродов.

Сколько подносов с бутербродами принесли в театральный буфет?

В буфете было 4 сорта пироженых : слоеное, песочное, бисквитное и заворное?

В буфете было 4 сорта пироженых : слоеное, песочное, бисквитное и заворное.

Сколько различных наборов по 2 пирожных разных сортов можно из них составить.

В кондитерской имеется пять сортов пирожных?

В кондитерской имеется пять сортов пирожных.

Сколькими способами сладкоежка может выбрать два пирожных так, чтоб они обьязательно были разными?

Подсказка : закодируйте сорта пирожных, например присвоив им номера тт 1 до 5 Можно подробнее!

Составить задачу в буфете продавали пироженое 10 блюд по пять пирожных на каждом после обеда осталось 13 пирожных сколько пирожных купили?

Составить задачу в буфете продавали пироженое 10 блюд по пять пирожных на каждом после обеда осталось 13 пирожных сколько пирожных купили.

В буфете продавали пирожные 10 блюд по пять пирожных на каждом после обеда осталось 13 пирожных сколько пирожных купили?

В буфете продавали пирожные 10 блюд по пять пирожных на каждом после обеда осталось 13 пирожных сколько пирожных купили.

В буфете продавали пирожные 10 блюд по 5 пирожных на каждом после обеда осталось 13 пирожных сколько пирожных купили?

В буфете продавали пирожные 10 блюд по 5 пирожных на каждом после обеда осталось 13 пирожных сколько пирожных купили?

С краткой записью пожалуйста!

На этой странице сайта, в категории Математика размещен ответ на вопрос Задача в театральном буфете имеется 5 сортов пирожных ?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 5 - 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

1 способ. 1) 140 - (100 - 30) % х - 100 % х = (140 * 100) / 70 = 200 увеличенное на 25% число 2) 1 / 4 = 0, 25 ⇒ 25% 200 - (100 + 25)% у - 100% у = (200 * 100) / 125 = 160 - задуманное число 2 способ. 30% = 30 / 100 = 0, 3 1 / 4 = 0, 25 140 : ((1 -..

Краткая запись! В упаковке - 240 шаров Одна шестся шаров зеленые Сколько з. Шаров - ? Решение : 240 : 6 = 40! Ответ : 40 зелёных шаров в упаковке.

240 надо разделить на шесть 240 : 6 = 40.

Площадь не может быть 65 кв. Ед.

4км меньше чем 4867 м. 502 брльше чем 5 ц.

Т. к 4км = 4000м = > 4000>4867 Т. К 5ц = 500кг = > 502>500.

3 - 1 = 2 18 : 2 = 9 9×3 = 27 27 + 9 = 36 27 - 3 : 2×3 = 36 x = 27 - 3 x = 24 x = 24 : 2 x = 12 x = 12×3 x = 36 (Наверное, сделала не так, но по другому не могу).

80 * 3 = 240(км) - расстояние 80 : 4 = 20(кмч / ) - cкорость велосипедиста 240 : 20 = 12(ч) Ответ : за 12 часов.

1)80умножить3 = 240 2)240 : 4 = 60.

Т. к. У квадрата все стороны равны и нам они известны, то S = ab S = 7дм * 7дм = 49дм² Ответ : 49 дм².

2. Краткие теоретические сведения и примеры типовых задач

Перестановки - это выборки (комбинации), состоящие из n элементов и отличающиеся друг от друга порядком следования элементов.

;
;

перестановки с повторениями
.

Размещениями из n элементов по k элементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие из k элементов, множества , состоящего из n элементов.(порядок важен).
; размещения с повторениями
. Одно размещение от другого отличается только не только составом выбранных элементов, но и порядком их расположения.

Сочетаниями из n элементов по m элементов будем называть любое подмножество, состоящие из m элементов, множества , состоящего из n элементов. (порядок не важен).
; сочетания с повторениями
.

Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов.

Сложная выборка
=
.

Решения задач:

1.Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 7,8,9, в которых цифра 8 повторяется 3 раза, а цифры 7 и 9 по одному разу.

Решение. Каждое пятизначное число отличается от другого порядком следования цифр, причем n₁=1 ,n₂=3, аn₃=1, а их количество равна 5, т.е. является перестановкой с повторениями из 5 элементов. Их число находим по формуле (3)
.

2. На карточках написаны буквы М,А,Т,Е,М,А,Т,И,К,А. Сколько различных 10-ти буквенных «слов» можно составить из этих карточек? (здесь и далее словом считается любая последовательность букв русского алфавита)

Решение. Перестановка двух букв М, осуществляемая Р₂= 2 способами, трех букв А, осуществляемая Р₃= 3!=6 способами и перестановка двух букв Т, осуществляемая Р₂= 2 способами не меняет составленное из карточек слово.
слов.

3. Студенты второго курса изучают 10 различных дисциплин. Определить – сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник планируется поставить 5 пар?

Решение:Каждый вариант расписания представляет собой выборку 5 элементов из 10, причем эти варианты отличаются друг от друга не только выбором этих дисциплин, но и порядком их следования, т.е. является размещением из 10 элементов по 5.
.

4. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?

5.Сколькими способами можно выбрать 4 монеты из четырех пятикопеечных монет и из четырех двухкопеечных монет?

Решение:порядок выбора монет неважен, и примерами соединений могут являться <5,5,5,5>, <2,2,2,2>, <5,2,5,5>и т.д. Это задача о числе сочетаний из двух видов монет по четыре с повторениями.

способов.