В вазе 7 роз две красные одна белая а остальные желтые вероятность вытащить случайно

Обновлено: 02.07.2024

Классическое определение вероятности

Пример 1

В урне 10 красных и 8 синих шаров. Наугад вынимают один. Какова вероятность того, что вынут шар красного цвета?

Решение

Пример 2
В урне 2 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще один шар. Найти вероятность того, что этот шар тоже будет белым.
Решение

Пример 3
Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность следующих событий:
А₁ — появление нечетного числа очков;
A₂ — появление не менее 3 очков;
A₃ — появление не более 5 очков.
Решение

Пример 4
Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появился «герб».
Решение
Найдем все комбинации n подбрасывания монеты два раза, имеем:

«решка» — «герб»
«герб» — «решка»
«решка» — «решка»
«герб» — «герб»

Составим все комбинации события m А — «при бросании монеты два раза хотя бы один раз появился герб»

«решка» — «герб»
«герб» — «решка»
«герб» — «герб»

Пример 5
Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

А₁ — сумма выпавших очков равна 9;

2. A₂ — произведение выпавших очков равно 6;
3. A₃ — сумма выпавших очков больше 4.
Решение
Составим всевозможные комбинаций, при которых сумма очков двух игральных костей равна 9

Итак, m=4
Общее количество комбинаций равно

n=6·6=36

2. Составим таблицу, при котором произведение выпавших очков равно 6;

m=4, n=6·6=36
$p() = \frac = \frac<4> <36>= \frac<1><9>$

3. Чтобы найти сумму выпавших очков больше 4, сначала найдём сумму очков, которая меньше 4, для этого составим таблицу

m=36-6=30, n=6·6=36
Найдем событие A₃ — сумма выпавших очков больше 4

Пример 6
В коробке 6 одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
Решение
Событие «номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке» может произойти в одном случае, то есть m=1.
По формуле комбинаторики перестановка без повторений найдем число комбинаций извлечения шести кубиков

$n = = 6! = 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6 = 720$

Вероятность извлеченных кубиков в возрастающем порядке равна:

Пример 9
В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
Решение
А — «хотя бы одна из взятых деталей окрашена»
Событие A может произойти в трёх случаях:
«одна деталь окрашена», «две детали окрашены», «три детали окрашены»
Противоположное событие $\overline A $ событию A, это «все три детали не окрашены», получаем вероятность

А противоположное событие исходя из условия задачи находится по формуле

Общее число исходов извлечённых из ящика четыре окрашенных деталей из десяти равно
$m = $C_<6>^4$
Число извлечённых из ящика трех деталей из десяти
$m = $C_<10>^4$

Пример 11
В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
Решение
А — «три извлеченные детали сборщиком окажутся окрашенными».
Здесь,
m— количество комбинаций извлечения трех окрашенных деталей из десяти;
n— общее число извлечения трех деталей из пятнадцати.

Пример 12
Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.
Решение
А — «студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса»

Пример 13
В коробке 5 белых и 7 красных шара. Из нее одновременно наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.
Решение
$n = C_<7 + 5>^2$
$m = C_5^1 \cdot C_7^1$
Через формулу комбинаторики сочетание без повторений, найдём вероятность вынуть шары разных цветов (один красный и один белый шар), равна

Пример 14
На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода
Решение
А — «из пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода».
Число способов выбрать три кинескопа Львовского завода из десяти кинескопов Львовского завода равно $C_<10>^3$
Число способов выбрать два кинескопа, которые не изготовлены Львовским заводом из пяти равно $C_<5>^2$
Таким образом
$m = C_<10>^3 \cdot C_5^2$
Число комбинаций, которыми можно выбрать пять кинескопов из пятнадцати
$n=C_<15>^5$
Следовательно,

Пример 15
Устройство состоит из пяти элементов, два из которых изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

Решение
$P\left( A \right) = \frac<><> = \frac<3><<10>> = 0,3$

Пример 16
В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди двух извлеченных изделий окажутся:
1) одно окрашенное изделие;
2) два окрашенных изделия;
3) хотя бы одно окрашенное изделие.
Решение
1) А — «среди двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие»
Число способов выбрать одно изделие из трех окрашенных изделий $C_<3>^1$
Неокрашенное изделие можно выбрать $C_<2>^1$
тогда m равно
$m = $C_<3>^1 \cdot C_<2>^1$
Общее число способов, которыми можно выбрать два изделия из пяти равно
$n=C_<5>^2$
Имеем,

2) В — «два извлеченных изделия окрашены»
Число комбинаций извлечения двух окрашенных изделий $m = $C_<3>^2$
Общее число комбинаций извлечения два изделия из пяти $n=C_<5>^2$

3) С — «извлечено хотя бы одно окрашенное изделие»
Число благоприятных способов извлечения двух изделий нет двух неокрашенных соответствует единице. Тогда:

Решение задач про выбор шаров из урны

По классическому определению вероятности, искомая вероятность находится по формуле гипергеометрической вероятности (см. пояснения тут):

*Поясню, что значит "примерно": шары могут выниматься не из урны, а из корзины, или быть не черными и белыми, а красными и зелеными, большими и маленькими и так далее. Главное, чтобы они были ДВУХ типов, тогда один тип вы считаете условно "белыми шарами", второй - "черными шарами" и смело используете формулу для решения (поправив в нужных местах текст конечно:)).

Видеоурок и шаблон Excel

Посмотрите наш ролик о решении задач про шары в схеме гипергеометрической вероятности, узнайте, как использовать Excel для решения типовых задач.

Расчетный файл Эксель из видео можно бесплатно скачать и использовать для решения своих задач.

Примеры решений задач о выборе шаров

Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=10$, $N-K=8$, итого $N=10+8=18$, выбираем $n=5$ шаров, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=5-2=3$ черных. Получаем:

Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?

Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.

Подставляем в формулу (1) значения: $K=5$ (белых шаров), $N-K=5$ (красных шаров), итого $N=5+5=10$ (всего шаров в урне), выбираем $n=2$ шара, из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ красных. Получаем:

Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?

Здесь задача немного усложняется, и решим мы ее по шагам. Введем искомое событие
$A = $ (Выбранные шары одного цвета) = (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара).
Представим это событие как сумму двух несовместных событий: $A=A_1+A_2$, где
$A_1 = $ (Выбраны 2 белых шара),
$A_2 = $ (Выбраны 2 черных шара).

Выпишем значения параметров: $K=4$ (белых шаров), $N-K=2$ (черных шаров), итого $N=4+2=6$ (всего шаров в корзине). Выбираем $n=2$ шара.

Для события $A_1$ из них должно быть $k=2$ белых и соответственно, $n-k=2-2=0$ черных. Получаем:

Для события $A_2$ из выбранных шаров должно оказаться $k=0$ белых и $n-k=2$ черных. Получаем:

Тогда вероятность искомого события (вынутые шары одного цвета) есть сумма вероятностей этих событий:

Произведение вероятностей совместных событий (страница 2)

$\blacktriangleright$ Если для выполнения события $C$ необходимо выполнение обоих совместных (которые могут произойти одновременно) событий $A$ и $B$ ( $C=\$ ), то вероятность события $C$ равна произведению вероятностей событий $A$ и $B$ .

Заметим, что если события несовместны, то вероятность их одновременного происхождения равна $0$ .

$\blacktriangleright$ Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события совместны, то круги должны пересекаться. Вероятность события $C$ – это вероятность попасть в оба круга одновременно.

$\blacktriangleright$ Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность $C=$ <выпадение числа $6$ >.
Событие $C$ можно сформулировать как $A=$ <выпадение четного числа>и $B=$ <выпадение числа, делящегося на три>.
Тогда $P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16$ .

Танкист три раза стреляет по вражеским танкам. Вероятность попадания во вражеский танк при одном выстреле равна $0,4$ . Найдите вероятность того, что танкист попадет во вражеские танки ровно 2 раза. Результат округлите до сотых.

Вероятность того, что танкист промахнется только первым выстрелом равна $0,6\cdot 0,4\cdot 0,4$ . Вероятность того, что танкист промахнется только вторым выстрелом равна $0,4\cdot 0,6\cdot 0,4$ .

Вероятность того, что танкист промахнется только третьим выстрелом равна $0,4\cdot 0,4\cdot 0,6$ .

Вероятность того, что случится одно из этих несовместных событий равна сумме вероятностей каждого из них и равна $3\cdot 0,096 = 0,288$ . После округления получим $0,29$ .

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система контроля забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

(Задача от подписчиков)

Выберем произвольную батарейку. Нам удовлетворяют два случая: либо батарейка исправна, но система по ошибке ее забраковала (событие A), либо батарейка неисправна и система ее забраковала (событие B).

Так как это событие имеет вид: “событие A ИЛИ событие B” (причем события несовместны, то есть не могут произойти одновременно!), то вероятность его наступления равна сумме вероятностей событий A и B: \[P=P(A)+P(B)\] Найдем отдельно $P(A)$ и $P(B)$ .

1) событие A = батарейка исправна И система по ошибке ее забраковала.
Следовательно, вероятность события A равна произведению вероятностей событий “батарейка исправна” и “система забраковала”. Так как вероятность того, что батарейка неисправна, равна 0,05, то вероятность того, что она исправна, равна $1-0,05=0,95$ . Следовательно, \[P(A)=0,95\cdot 0,04=0,038.\]

2) событие B = батарейка неисправна И система ее забраковала.
Следовательно, аналогично событию A, вероятность события B равна произведению вероятностей событий “батарейка неисправна” и “система забраковала”. Следовательно, \[P(B)=0,05\cdot 0,96=0,048.\]

Основы вероятности
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Теоремы сложения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий.
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Для трех совместных событий имеет место формула:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Событие, противоположное событию A (т.е. ненаступление события A), обозначают . Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P(A)+P( )=1

Вероятность наступления события A, вычисленная в предположении, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A при условии B и обозначается (A) или P(A/B).
Если A и B – независимые события, то
P(B)- (B)= (B).

События A,B,C,… называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется в связи с наступлением или ненаступлением других событий по отдельности или в любой их комбинации.

Теоремы умножения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей независимых событий.
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB)=P(A)•P(B)

Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, вычисляется по формуле:
P( )=P( )•P( )… P( ).

Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго:
P(AB)=P(A)• (B)=P(B)• (A)

IV. Применение знаний при решении типовых задач
Задача 1.
В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Решение: Событие A-билет выигрышный. Общее число различных исходов есть n=1000
Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет m=200. Согласно формуле P(A)= , получим P(A)= = = 0,2

Задача 2.
Из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
Решение: Событие A-появление черного шара. Общее число случаев n=5+3=8
Число случаев m, благоприятствующих появлению события A, равно 3
P(A)= = = 0,375

Задача 3.
Из урны, в которой находятся 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наудачу два шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?
Решение: Событие A- появление двух черных шаров. Общее число возможных случаев n равно числу сочетаний из 20 элементов (12+8) по 2
n= = = 190
Число случаев m, благоприятствующих событию A, составляет
n= = = 28

Задача 4 .
В ящике в случайном порядке разложены 20 деталей, причем 5 из них стандартные. Рабочий берет наудачу 3 детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной.

Задача 5.
Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно

Задача 6.
В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение: Пусть A - появление белого шара из первой урны, а B – появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события A и B независимы. Найдем P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, получим
P(AB)=P(A)•P(B)=(1/3)•(1/4)=1/12=0,083

Задача 7.
В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Решение: Введем следующие обозначения: A – первая взятая деталь стандартная; B – вторая взятая деталь стандартная. Вероятность того, что первая деталь стандартная, составляет P(A)=8/12=2/3. Вероятность того, что вторая взятая деталь окажется стандартной при условии, что была стандартной первая деталь, т.е. условная вероятность события B, равна (B)=7/11.
Вероятность того, что обе детали окажутся стандартными, находим по теореме умножения вероятностей зависимых событий:
P(AB)=P(A)• (B)=(2/3)•(7/11)=14/33=0,424

Самостоятельное применение знаний, умений и навыков.
Вариант 1.

Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 40 до 70 является кратным 6?
Какова вероятность того, что при пяти бросаниях монеты она три раза упадет гербом к верху?

Какова вероятность того, что наудачу выбранное целое число от 1 до 30 (включительно) является делителем числа 30?
В НИИ работает 120 человек, из них 70 знают английский язык, 60 – немецкий, а 50 – знают оба. Какова вероятность того, что выбранный наудачу сотрудник не знает ни одного иностранного языка?

1. На столе 12 кусков пирога. В трех «счастливых» из них запечены призы. Какова вероятность взять «счастливый» кусок пирога?

2. В урне 15 белых и 25 черных шаров. Из урны наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым?

1. В коробке 24 карандаша, из них 3 красного цвета. Из коробки наугад вынимается карандаш. Какова вероятность того, что он красный?

2. Из чисел от 1 до 25 наудачу выбрано число. Какова вероятность того, что оно окажется кратным 5?

(чисел всего 25, кратных 5 – 5,

1. В лотерее 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша?

2. В корзине лежат 5 яблок и 3 груши. Из корзины наугад вынимается один фрукт. Какова вероятность того, что это яблоко?

1. В вазе 7 цветков, из них 3 розы. Из букета наугад вынимается цветок. Какова вероятность того, что это роза?

2. В корзине 10 яблок, из них 4 червивых. Какова вероятность того, что любое взятое наугад яблоко окажется не червивым?

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Элементы комбинаторики и основы теории вероятности

Данная программа элективного курса объёмом 34 часа рассчитана на учащихся 8 классов и является дополнением общеобразовательной программы, в которой данному вопросу внимания уделяется мало.

Представляю первй урок элективного курса "Основы теории вероятности".

Представляю второй урок элективного курса "Основы теории вероятности". По необходимости, если кого-то заинтересует мой материал (продолжение цикла уроков) могу выставить в формате дос.

Методическая разработка представляет собой презентацию в электронном виде, имеющую теоретическую и практическую составляющие к разделу Теория вероятностей. В разработке представлены 35 слайдов: слайд.

Элективный курс «Основы теории вероятностей и математической статистики» разработан для обеспечения учеников занятиями по выбору из вариативного компонента базисного учебного плана в школе.Курс позвол.

Цветные шары

В ящике лежат 70 шаров: 20 красных, 20 синих, 20 желтых, остальные черные и белые.
Какое наименьшее число шаров надо взять, не видя их, чтобы среди них гарантированно оказалось не меньше 10 шаров одного цвета?

Ответ: 38.

Логика решения задачи сходна с задачами о ключах или перчатках. Попробую объяснить так: будем рассматривать самый наихудший случай, когда шары не желают сразу вытаскиваться десятком. Во-первых, белые и черные шары: здесь ни по одному цвету не будет полного десятка, поэтому +10 к количеству пробных вытаскиваний. Второе: самый плохой вариант - вытаскивать по очереди по одному оставшиеся цвета, цветов 3, тогда количество проб +3*9=27. Итого: 10+27=37. Начина с 38 бросания - СОВЕРШЕННО ТОЧНО в наборе будет полный десяток одного цвета(красный, синий или желтый). Возможно, что в жизни потребуется меньше вытаскивай, но поскольку нужны гарантии, вытаскиваний все же нужно сделать 38. Глаза же вроде как завязаны?

Оставлен Гость Чт, 12/02/2010 - 15:24

а чё не написали как нашли?
я допустим не понял!

Оставлен Гость Пт, 06/17/2011 - 04:43

Наименьшее количествр шаров - 10, а наибольшее количество шаров - 38. То есть вопрос поставлен неверно

Оставлен Гость Пнд, 08/08/2011 - 19:17

Здесь же написано, не видя их. Если мы вытащим 10 шаров неглядя, вероятность успеха крайне мала. А если 38, то 100% )))

Оставлен андрей Вс, 11/29/2020 - 15:55

блять так если мы вытащим 49 или 50 или 51 то вероятность успеха ещё больше почему именно 38 почему не 63 что за херня а не задача

Оставлен Константин Втр, 07/26/2011 - 14:45

не согласен с ответом,если теория вероятности будет идеально выполняться, то:
- из 7 вытащенных шаров будет 2 красных, 2 синих, 2 желтых и 1 белого или черного цвета;
- из 14 - соответственно - 4,4,4,2;
- из 21 - 6,6,6,3;
- из 28 - 8,8,8,4, а дальше интересно. вытаскиваем пор одному:
-29, 30, 31 и 32 опять же с учетом теории вероятности будут каждый разного цвета,
то есть после 32 вытаскивания у нас 9,9,9,5, дальше на 33 раз выпасть должен либо красный, либо желтый, либо синий шар.
То есть максимальное количество вытаскиваний - 33, а не 38.

Оставлен Гость Пнд, 08/08/2011 - 19:21

Странная у вас теория вероятности, что на 33 раз не может быть ни чёрного ни белого.

Оставлен Гость Сб, 10/01/2011 - 04:58

то есть после 32 вытаскивания у нас 9,9,9,5, дальше на 33 раз выпасть должен либо красный, либо желтый, либо синий шар.

забыл про чёрный и белый =)))) тория вероятности не даёт 100% шансов у тебя =))
33 ход 9,9,9,6
34 ход 9,9,9,7
.
37 ход 9,9,9,10 (10 - чёрных и белых в смеси)
и 38 ход 100% даст 10 шаров одного цвета =)

Оставлен Андрей Чт, 07/28/2011 - 12:30

70 - 11 - 11 - 10 = 38

Оставлен Гость Пнд, 08/08/2011 - 19:25

Я заметил, что многие себя запутали колличеством вытаскиваний. Всё проще- взяли 10, или 20, или 38 и всё, про "по очереди " в условии ничего не сказано, это мы уже сами достраиваем несуществующие условия.)))

Оставлен Гость Ср, 09/07/2011 - 19:06

Согласен на все сто ))) Наименьшее кол-во, при ДАННОЙ постановке задачи - 10 шаров. )))

Оставлен Анон Втр, 01/15/2019 - 08:36

Написано же гарантированно!

Оставлен Гость Чт, 10/20/2011 - 17:55

Спасибо за комментарии! Но как это объяснить ребёнку второго класса?

Оставлен Гость Чт, 02/23/2012 - 09:17

дибилизм. автор! сам внимательно прочитай вопрос к задаче. правильный ответ 10 шаров с вероятностью 60x19x18x17x16x15x14x13x12x11/70x69x68x67x66x65x64x63x62x61 = 1938/1387078756

Оставлен Сильвия Чт, 12/27/2012 - 17:33

Дебилизм - писать слово "дебилизм" с буквой "и".

Оставлен Анон Втр, 01/15/2019 - 08:35

Дибилизм пишется через и

Оставлен Гость Втр, 02/28/2012 - 16:48

Оставлен Гость Пт, 03/16/2012 - 10:52

вот, умный человек=) все абсолютно верно!

Оставлен Гость Пнд, 10/15/2012 - 18:44

сПАСИБО ОГРОМНОЕ ПОНЯЛА)

Оставлен Гость Вс, 11/10/2013 - 14:20

но мы же не видим цветов шаров

Оставлен Гость Ср, 04/11/2012 - 17:22

Ясно, что 38. А как это решение оформить формулами комбинаторики? Где тут сумма, произведение, сочетания, перестановки и т.п.?

Оставлен Гость Чт, 01/09/2014 - 10:50

sredi 38 mojet bit 20 krasnix i 18 sinix, a gde ostolnoe 10 joltix? nado snyat 60 sharov

Оставлен Artem of 93 Пт, 02/07/2014 - 12:16

Если среди 38 шаров мы обнаружим 20 красных и 18 синих, то у нас уже есть 3 десятка одинаковых шаров. Дальше нет смысла вытаскивать. Если мы вытащим 60 шаров, то это даст нам гарантию обнаружения трёх десятков шаров разных цветов (10 красных, 10 синих и 10 жёлтых). Но в условии требуется другое.
Суть в том, что у нас есть набор из n шаров, который мы вытащим наугад из 70 шаров в ящике. Нам нужно найти минимальное значение n, при котором вероятность обнаружить в этом наборе 10 шаров одинакового цвета равнялась бы 100%. Как было правильно отмечено в комментариях ниже, надо исходить из худшего варианта:
n = 9+9+9+10 = 38 (это наименьшее значение n).
Мы гарантированно обнаружим среди 10 шаров одинакового цвета при любом количестве вытащенных шаров от 38 до 70.

Оставлен Artem of 93 Сб, 02/08/2014 - 17:39

Точнее, мы гарантированно обнаружим 10 шаров одинакового цвета, если вытащим из ящика от 38 до 70 шаров.

Оставлен Artem of 93 Чт, 12/25/2014 - 09:30

Обнаружил небольшую ошибку в старом комментарии:

n = 9 + 9 + 9 + 10 = 37.

Это максимальный набор шаров (37 штук), в котором может не оказаться десяти одинаковых. К нему прибавим ещё единицу и получим искомое число: 37 + 1 = 38.

Оставлен Наталья Втр, 11/10/2020 - 17:27

А если в нашем условии задачи другие цифры, но суть та же, то по вашей формуле у нас не получается. У нас общее число бусин 52. из них: красные - 18, зелёные - 15, голубые - 13, а остальные белые и чёрные. Найти минимальное необходимое число бусин, которое надо достать, чтобы среди них гарантированно оказалось 17 бусин одного цвета

Оставлен Широков Сб, 01/11/2014 - 15:08

Всё ещё никак не пойму как решать задачи подобного типа. Я думаю, что наименьшее число шаров равно 10. Смотрю ответ , а тут 38. Тупой я в общем.

Оставлен Гость Вс, 05/11/2014 - 02:15

я понимал так: Берешь по 9 шаров каждого цвета Красного,Желтого,Синего,Белого и 1 черный получается 37 , а что бы получить 10-ый шарик + 1 и = 38 шаров.

Оставлен лилия Ср, 01/15/2014 - 10:41

Оставлен Хома Сб, 06/21/2014 - 19:59

Читаем вопрос: "Какое наименьшее число шаров надо взять, не видя их, чтобы среди них было не меньше 10 шаров одного цвета?"

Итак, я засовываю руку в ящик и достаю шары, не видя их. Глупо отрицать существования вероятности достать 10 шаров одного цвета из 10 попыток, не так ли? Вероятность данная мала, но она есть. В случае, если я даже не вижу то, что достал с 10 попыток одинаковые шары - не отменяет того факта, что я достал 10 шаров одного цвета, не так ли?
В связи с этим, могу смело утверждать, что правильный ответ - 10, поскольку именно столько минимальных попыток мне необходимо, чтобы при определенной вероятности достать 10 шаров одинакового цвета, даже если я слепой, глухой и бухой.

Оставлен admin Втр, 06/24/2014 - 09:14

Подразумевалось, что не менее 10 шаров одного цвета должно оказаться при любом раскладе.

Поправил условие, чтобы не было разночтений

Оставлен Гость Пнд, 12/22/2014 - 00:24

Для начала разобьем 70 шаров на равные части по цветам. Получаем P1 (красный), P2 (кр), P3 (синий), P4 (с), P5 (желтый), P6 (ж), P7 (черные и белые). Итак, у нас есть 1 попытка взять 10 случайных шаров. Какова вероятность с первой попытки взять 1 красный шар из ящика? 1/7, а точнее, 2/7, т.к красных шаров у нас х2. Аналогично с остальными цветами. Ч/Б - 1/7.
Значит, 2/7 умножаем на 7, то бишь окунаем руку в ящик 7 раз, пока не вытащим 2 шара одного цвета (гарантированно). Итого, на руках мы имеем 7 шаров, из них 2 одного цвета, допустим, красного, а в ящике остается 63 шара. Окунаем руку еще 7 раз, и получаем еще 2 красных. И так еще 3 раза. В итоге, мы окунаем руку в ящик 5 раз по 7, это 35 раз. Значит, нужно вытащить минимум 35 шаров, чтобы получить 10 одного цвета.

Оставлен Artem of 93 Чт, 12/25/2014 - 09:26

Ваше решение неверно. Среди 35 шаров может не оказаться 10 одинаковых. Например, мы вытащим 9 красных шаров, 9 синих шаров, 9 жёлтых шаров и 8 белых и чёрных шаров. Итого - 35.
Эта элементарная задача решается одним арифметическим действием. В комментариях ниже уже писали об этом. Ответ, данный автором является правильным: если мы вытащим 38 шаров, то со 100%-ной вероятностью обнаружим среди них 10 одинаковых.

Оставлен Наталья Втр, 11/10/2020 - 17:32

А если дано 52 бусины: 18 красных, 15 зелёных и 13 голубых. есть белые и чёрные. А чтобы гарантированно окозалось 17 бусин одного цвета?

В вазе стоят 7 красных и 8 белых роз?

Какова вероятность, что букет будет составлен из 2 красных и 3 белых роз?

Результат округлите до сотых.

Кпц много вариантов.

Тебе на завтра надо?

Я смогу на после завтра решить или завтра вечером.

3 / 16 всего букета составляют розы причем 2 / 3 всех роз - красные?

3 / 16 всего букета составляют розы причем 2 / 3 всех роз - красные.

Какую часть всего букета составляют красные розы.

В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз?

В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз.

Сколькими способами из вазы можно выбрать букет состоящий из двух белых и одной красной розы?

В Вазе стоят 10 белых и 5 красных роз?

В Вазе стоят 10 белых и 5 красных роз.

Определите , сколькими способами можно составить букет , который состоит из 2 - х белых и 1 красной розы.

В вазе розы красного цвета и розы белого цвета?

В вазе розы красного цвета и розы белого цвета.

Известно, что число красных роз на три больше чем число белых роз.

Из вазы произвольно вынимают 2 розы.

Вероятность, что розы будут разного цвета, равна 10 / 21.

Найти исходное число роз находящихся в вазе.

У продавца было одинаковое количество гвоздик и роз?

У продавца было одинаковое количество гвоздик и роз.

Он составил букеты роз (по 3 цветка в букете) и из гвоздик (по 5 цветков в букете).

Всего получилось16 букетов.

Сколько роз было у продавца?

В вазе стоят 5 белых, 4 красных и 6 розовых роз?

В вазе стоят 5 белых, 4 красных и 6 розовых роз.

Какая вероятность того, то среди случайно вынутых из вазы роз не будет розовой?

В вазе стоит 2 розы и 1 гербера?

В вазе стоит 2 розы и 1 гербера.

Какова вероятность что это будет роза?

Сколько можно составить различных букетов из трёх роз, если в продаже белые и красные розы?

В каждом букете должно быть 2 красных и 3 белых розы?

В каждом букете должно быть 2 красных и 3 белых розы.

Какое наибольшее количество таких букетов можно составить из 40 красных и 50 белых роз?

Из 150 желтых , 240 белых и 360 алых роз сделали одинаковые букеты?

Из 150 желтых , 240 белых и 360 алых роз сделали одинаковые букеты.

Сколько вышло букетов, если в каждом букете было наибольшее количество роз каждого цвета, причем роз каждого цвета было поровну?

На этой странице находится вопрос В вазе стоят 7 красных и 8 белых роз?, относящийся к категории Алгебра. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 10 - 11 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Алгебра. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.

Задачи про шары

Пример 1. В первой урне: три красных, один белый шара. Во второй урне: один красный, три белых шара. Наугад бросают монету: если герб – выбирают из первой урны, в противном случае– из второй.
Решение:
а) вероятность того, что достали красный шар
A – достали красный шар
P₁ – выпал герб, P₂ - иначе

b) Выбран красный шар. Найти вероятность того, что он взят из первой урны, из второй урны.
B₁ – из первой урны, B₂ – из второй урны
,

Пример 2. В ящике 4 шара. Могут быть: только белые, только черные или белые и черные. (Состав неизвестен).
Решение:
A – вероятность появления белого шара
а) Все белые:
(вероятность того, что попался один из трех вариантов, где есть белые)
(вероятность появления белого шара, где все белые)

б) Вытащили, где все черные

в) вытащили вариант, где все белые или/и черные

- хотя бы один из них белый

P_а+P_б+P_в =

Пример 3 . В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение:
5 белых, 4 черных шара
P(A₁) – вынули белый шар

P(A₂) – вероятность того, что второй шар тоже белый

P(A) – подряд выбрали белые шары

Пример 3а . В пачке 2 фальшивых и 8 настоящих денежных купюр. Из пачки вытянули 2 купюры подряд. Найти вероятность что обе они фальшивые.
Решение:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

Пример 4. Имеется 10 урн. В 9 урнах по 2 черных и 2 белых шара. В 1 урне 5 белых и 1 черный. Из урны, взятой наугад, вынули шар.
Решение:
P(A) - ? белый шар взят из урны, где 5 белых
B – вероятность того, что вынули из урны, где 5 белых
, - вынули из других
C₁ – вероятность появления белого шара в 9 ур.

С₂ – вероятность появления белого шара, где их 5

P(A₀)= P(B₁) P(C₁)+P(B₂) P(C₂)

Пример 5. 20 цилиндрических валиков и 15 конусообразных. Сборщик берет 1 валик, а затем еще один.
Решение:
а) оба валика цилиндрические
P(Ц₁)= ; P(Ц₂)=
Ц₁ – первый цилиндр, Ц₂ – второй цилиндр
P(A)=P(Ц₁)P(Ц₂) =
б) Хотя бы один цилиндр
K₁ – первый конусообр.
K₂ - второй конусообр.
P(B)=P(Ц₁)P(K₂)+P(Ц₂)P(K₁)+P(Ц₁)P(Ц₂)
;

с) первый цилиндр, а второй нет
P(C)=P(Ц₁)P(K₂)

д) Ни один цилиндр.
P(D)=P(K₁)P(K₂)

е) Ровно 1 цилиндр
P(E)=P(Ц₁)P(K₂)+P(K₁)P(K₂)

Пример 6. В ящике 10 стандартных деталей и 5 бракованных.
Наугад извлекают три детали
а) Из них одна бракованная
P_n(K)=C_n k ·p k ·q n-k ,
P – вероятность бракованных изделий

q – вероятность стандартных деталей

n=3, три детали

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - вероятность того, что хотя бы одна деталь окажется стандартной

Пример 7 . В 1-й урне по 3 белых и черных шара, а во 2-й - 3 белых и 4 черных. Из 1-й урны во 2-ю не глядя перекладывают 2 шара, а затем из 2-й вытягивают 2 шара. Какова вероятность, что они разных цветов?
Решение:
При перекладывании шаров из первой урны возможны следующие варианты:
а) вынули за подряд 2 белых шара
P_ББ 1 =
На втором шаге всегда будет на один шар меньше, поскольку на первом шаге уже вынули один шар.
б) вынули один белый и один черный шар
Ситуация, когда первым вынули белый шар, а потом черный
P_БЧ=
Ситуация, когда первым вынули черный шар, а потом белый
P_ЧБ=
Итого: P_БЧ 1 =
в) вынули за подряд 2 черных шара
P_ЧЧ 1 =
Поскольку из первой урны переложили во вторую урну 2 шара, то общей количество шаров во второй урне будет 9 (7 + 2). Соответственно, будем искать все возможные варианты:
а) из второй урны вынули сначала белый, потом черный шар

Вероятность того, что извлеченные 2 шара окажутся разных цветов, равна:

Ответ: P = 0.54

Пример 7а . Из 1-ой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара наугад переложили 2 шара во 2-ую урну, содержащую 2 белых и 6 черных шаров. Затем из 2-ой урны наугад извлекли 1 шар.
1) Какова вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым?
2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым. Вычислите вероятность того, что из 1-ой урны во 2-ую были переложены шары разного цвета.
Решение.
1) Событие А - извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым. Рассмотрим следующие варианты наступления этого события.
а) Из первой урны во вторую положили два белых шара: P1(бб) = 5/8*4/7 = 20/56.
Всего во второй урне 4 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
б) Из первой урны во вторую положили белый и черный шары: P1(бч) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Всего во второй урне 3 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
в) Из первой урны во вторую положили два черных шара: P1(чч) = 3/8*2/7 = 6/56.
Всего во второй урне 2 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Тогда вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым равна:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым, т.е. полная вероятность равна P(A)=13/32.
Вероятность того, что во вторую урну были переложены шары разного цвета (черный и белый) и был выбран белый: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Пример 7б . В первой урне 8 белых и 3 черных шара, во второй 5 белых и 3 черных. Из первой наудачу выбирают один шар, а из второй два шара. После этого из выбранных трех шаров наудачу берут один шар. Этот последний шар оказался черным. Найти вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар.
Решение.
Рассмотрим все варианты события А – из трех шаров, вынутый шар оказался черным. Каким образом могло произойти, что среди трех шаров оказался черный?
а) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два белых шара.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
б) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два черных шара.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
в) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
г) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули два черных шара.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
д) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P5 = (8/11)( 3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Полная вероятность равна: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Вероятность того, что из белой урны был выбран белый шар, равна:
Pб(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Тогда вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар при условии, что из трех шаров был выбран черный, равна:
Pч = Pб(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Пример 7в . В первой урне 12 белых и 16 черных шаров, во второй 8 белых и 10 черных. Одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару, перемешивают и возвращают по одному в каждую урну. Затем из каждой урны вытаскивают по шару. Они оказались одного цвета. Определить вероятность того, что в 1-ой урне осталось столько же белых шаров, сколько было в начале.

Решение.
Событие А - одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару.
Вероятность вытащить белый шар из первой урны: P1(Б) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Вероятность вытащить черный шар из первой урны: P1(Ч) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Вероятность вытащить белый шар из второй урны: P2(Б) = 8/18 = 4/9
Вероятность вытащить черный шар из второй урны: P2(Ч) = 10/18 = 5/9

Событие А произошло. Событие В - из каждой урны вытаскивают по шару. После перемешивания, вероятность возвращения шара в урну белого или черного шара равна ½.
Рассмотрим варианты события В - они оказались одного цвета.

Для первой урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Для второй урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Шары оказались одного цвета:
а) белые
P1(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 9/98 + 13/98 + 33/392 + 6/49 = 169/392
P2(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 2/21+1/7+1/12+8/63 = 113/252
б) черный
P1(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) = 6/49 + 15/98 + 51/392 + 8/49 = 223/392
P2(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) =5/42+1/7+11/84+10/63 = 139/252

P = P1(Б)* P2(Б) + P1(Ч)* P2(Ч) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Пример 7г . В первом ящике 5 белых и 4 синих шарика, во втором 3 и 1, а в третьем - 4 и 5 соответственно. Наугад выбран ящик и из него вытащенный шарик, оказался синий. Какова вероятность того, что этот шарик со второго ящика?

Решение.
A - событие извлечения синего шарика. Рассмотрим все варианты исхода такого события.
H1 - вытащенный шарик из первого ящика,
H2 - вытащенный шарик из второго ящика,
H3 - вытащенный шарик из третьего ящика.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Согласно условию задачи условные вероятности события А равны:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1/3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Вероятность того, что этот шарик со второго ящика равна:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

Пример 8 . В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров (это ящик состава H1), в шести других ящиках с 20 шарами в каждом — по 4 красных шара (это ящик состава H2). Найти вероятность того, что наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.
Решение: Задача на применение формулы полной вероятности.

Пример 9 . В урне находятся 2 белых, 3 черных и 4 красных шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета?
Решение. Всего возможны три варианта исхода событий:
а) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два белых.
P_б(2) = P_2б
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 шара из 9:

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 белых.

Количество вариантов выбора из 2 белых шаров:

Количество вариантов выбора из 7 других шаров третий шар:

б) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два черных (т.е. или 2 черных или 3 черных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 черных.

Количество вариантов выбора из 3 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 6 других шаров одного шара:

P_2ч = 0.214
Найдем вероятность того, что все выбранные шары черные.

P_ч(2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

в) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два красных (т.е. или 2 красных или 3 красных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 красных.

Количество вариантов выбора из 4 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 5 белых шаров остальные 1 белых:

Найдем вероятность того, что все выбранные шары красные.

P_к(2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Тогда вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета равна: P = P_б(2) + P_ч(2) + P_к(2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили черный шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
из первой урны вытащили черный шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

Пример 11 . В ящике n теннисных мячей. Из них игранных m . Для первой игры наудачу взяли два мяча и после игры их положили обратно. Для второй игры также наудачу взяли два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Решение. Рассмотрим событие А – игра во второй раз проводилась новыми мячами. Посмотрим какие события могут привести к этому.
Обозначим через g = n-m, количество новых мячей до вытаскивания.
а) для первой игры вытащили два новых мяча.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
б) для первой игры вытащили один новый мяч и один уже игранный.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
в) для первой игры вытащили два игранных мяча.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Рассмотрим события второй игры.
а) Вытащили два новых мяча, при условии P1: поскольку ранее для первой игры уже вытащили новые мячи, то для второй игры их количество уменьшилось на 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1))
б) Вытащили два новых мяча, при условии P2: поскольку ранее для первой игры уже вытащили один новый мяч, то для второй игры их количество уменьшилось на 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1))
в) Вытащили два новых мяча, при условии P3: поскольку ранее для первой игры не использовали новых мячей, то для второй игры их количество не изменилось g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1))

Полная вероятность P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Ответ: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Пример 12 . В первом, втором и третьем ящиках находится по 2 белых и 3 черных шара, в четвертом и пятом по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик, если извлеченный шар - белый?
Решение.
Вероятность выбора каждого ящика равна P(H) = 1/5.
Рассмотрим условные вероятности события А - извлечения белого шара.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Полная вероятность извлечения белого шара:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Условная вероятность, что выбран четвертый ящик
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Условная вероятность, что выбран пятый ящик
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Итого, условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик равна
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

Пример 13 . В урне было 7 белых и 4 красных шара. Затем в урну положили ещё один шар белого или красного или черного цвета и после перемешивания вынули один шар. Он оказался красным. Какова вероятность, что был положен а) красный шар? б) черный шар?
Решение.
а) красный шар
Событие A - вытащили красный шар. Событие H - положили красный шар. Вероятность, того в урну был положен красный шар P(H=K) = 1 /₃
Тогда P(A|H=K)= 1 /₃* 5 /₁₂ = 5 /₃₆ = 0.139
б) черный шар
Событие A - вытащили красный шар. Событие H - положили черный шар.
Вероятность, того в урну был положен черный шар P(H=Ч) = 1 /₃
Тогда P(A|H=Ч)= 1 /₃* 4 /₁₂ = 1 /₉ = 0.111

Пример 14 . Имеются две урны с шарами. В одной 10 красных и 5 синих шаров, во второй 5 красных и 7 синих шаров. Какова вероятность того, что из первой урны наудачу будет вынут красный шар, а из второй синий?
Решение. Пусть событие A1 - из первой урны вынут красный шар; A2 - из второй урны вынут синий шар:
,
События A1 и A2 независимые. Вероятность совместного появления событий A1 и A2 равна

Пример 15 . Имеется колода карт (36 штук). Вынимаются наудачу две карты подряд. Какова вероятность того, что обе вынутые карты будут красной масти?
Решение. Пусть событие A₁ — первая вынутая карта красной масти. Событие A₂ - вторая вынутая карта красной масти. B — обе вынутые карты красной масти. Так как должны произойти и событие A₁, и событие A₂ , то B = A₁ · A₂. События A₁ и A₂ зависимые, следовательно, P(B) :
,
Отсюда

Читайте также: