В вазе лежат 3 яблока 3 апельсина и 5 нектаринов маша берет наугад

Обновлено: 05.07.2024

Решение задач по теории вероятности (страница 2)

В коробке 15 шоколадных конфет, 4 карамели и 1 грильяж. Ваня наугад выбирает одну конфету. Какова вероятность того, что эта конфета окажется грильяжем?

Так как вероятности выбора любой конфеты одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества грильяжей к общему количеству конфет в коробке. Вероятность того, что вытащенная конфета окажется грильяжем равна \[\dfrac<1> <15 + 4 + 1>= 0,05.\]

Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 12 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?

Найдем, сколько выступлений должно состояться в третий день. В первый день 12 выступлений, всего 75, следовательно, в последние три дня \(75-12=63\) выступления. Следовательно, в третий день \(63:3=21\) выступление.
Таким образом, вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день, равна \[\dfrac<21><75>=\dfrac7<25>=0,28\]

Из множества натуральных чисел от 21 до 30 наугад выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3 или на 13?

Так как вероятности выбора любого числа из данного множества одинаковы, то искомая вероятность есть просто отношение количества чисел из данного множества, которые делятся на 3 или на 13, к количеству всевозможных чисел из данного множества.

Так как число от 21 до 30 не может одновременно делиться на 3 и на 13, то события \( \) “число делится на 3” \(\ \) и \(\ \) “число делится на 13” \( \) несовместны.

В данном множестве на 3 делятся: 21, 24, 27, 30, а на 13 делятся: 26. Всего в множестве натуральных чисел от 21 до 30 имеется 10 чисел, тогда вероятность того, что наугад взятое из них делится на 3 или на 13 равна \[\dfrac<5> <10>= 0,5.\]

12.05.2021 Пригласительный школьный этап ВОШ по математике 3-6 класс задания и ответы

1)Вася на следующий день после своего дня рождения сказал: «Жаль, что мой день рождения в этом году не в субботу, ведь в этом случае ко мне бы пришло больше гостей! Но суббота будет послезавтра…» В какой день недели у Васи был день рождения?

2)Кубик повернули вокруг указанной оси так, что отмеченная грань повернулась указанным образом. А в вершину с каким номером перешла точка A?

3)Несколько букв А и несколько букв Б сидели на трубе. После того, как несколько А упало и несколько Б пропало, на трубе остались всего три буквы и между ними произошёл следующий диалог: Первая буква: «Буква Б среди нас одна.» Вторая буква: «Я здесь одна такая буква.» Третья буква: «Букв А тут точно меньше двух.» Оказалось, что каждая буква сказала правду, если она А, и соврала, если она Б. Определите, где какая буква.

4)Замените картинки на цифры так, чтобы суммы по столбцам и по строкам были равны указанным. Одинаковые картинки соответствуют одинаковым цифрам, а разные — разным. Какое число после замены картинок на цифры получится под таблицей?

6)Петя умеет рисовать всего 4 вещи: солнце, мячик, помидор и банан. Зато крайне правдоподобно! Сегодня он нарисовал несколько вещей, среди которых ровно 19 жёлтых, 22 круглых и 17 съедобных. Какое наибольшее количество мячиков он мог нарисовать? Петя считает, что все помидоры круглые и красные, все мячики круглые и могут быть любого цвета, а все бананы жёлтые и не круглые.

7)Катя коротает время, пока родители работают. На листке бумаги она задумчиво в два ряда нарисовала Чебурашек (в каждом ряду оказался нарисован хотя бы один Чебурашка). Потом, подумав, между каждыми двумя соседними Чебурашками в ряду она нарисовала по крокодилу Гене. А затем слева от каждого Чебурашки — по старухе Шапокляк. И напоследок между каждыми двумя персонажами в ряду она нарисовала по Кракозябре. Внимательно посмотрев на рисунок, она поняла, что красиво получились у неё только Кракозябры, и яростно стёрла всех остальных. В итоге родители увидели два ряда Кракозябр: всего 29 штук. Сколько Чебурашек было стёрто?

Видеоразбор заданий олимпиады для 3 класса:

Пригласительный этап ВОШ 2021 по математике 4 класс задания:

1)Поставьте в соответствие каждой букве цифру 1,2,3,4,5 так, чтобы выполнялись все неравенства. К < Н < И < Ж > К > А Разным буквам должны соответствовать разные цифры. В качестве ответа запишите число КНИЖКА.

2)Вторник будет через пять дней после позавчера. А какой день недели будет завтра?

3)Сколько на данной картинке существует прямоугольников со сторонами, идущими по линиям сетки? (Квадрат также является прямоугольником.)

4)Четыре девочки: Катя, Оля, Лиза и Рита — встали в круг в некотором порядке. На них были платья разных цветов: розовое, зелёное, жёлтое и голубое. Известно, что: на Оле было не розовое и не голубое платье; девочка в зелёном платье стоит между Ритой и девочкой в жёлтом; Катя не в зелёном и не в голубом платье; Лиза стоит между Катей и девочкой в розовом платье. Кто во что одет?

5)Напишите наибольшее девятизначное число, в котором встречаются все чётные цифры. (Чётные цифры: 0,2,4,6,8.)

6)Часть цифр в прямоугольнике уже расставлена. Расставьте на оставшихся местах цифры так, чтобы: сумма цифр в каждом столбце была одинаковой; сумма цифр в каждой строчке была одинаковой; сумма цифр в красных клетках была равна сумме цифр в любой строчке. В качестве ответа введите трёхзначное число ABC (т. е. составленное из цифр, оказавшихся на местах букв A, B, C).

7)У берега реки стоит Белоснежка, а рядом с ней 7 гномов в следующем порядке слева направо: Весельчак, Соня, Умник, Чихун, Ворчун, Скромник и Простачок. У берега качается лодка, вмещающая только 3 гномов и Белоснежку. Белоснежка единственная умеет грести. Любые два гнома, стоящие рядом в изначальном ряду, поссорятся без присмотра Белоснежки. Белоснежка должна перевезти всех гномов на другой берег и никого не поссорить. Отметьте всех, кого Белоснежка возьмёт с собой в последнюю поездку.

8)Если в числе 79777 зачеркнуть цифру 9, получится число 7777. Сколько существует различных пятизначных чисел, из которых можно получить 7777, зачеркнув одну цифру?

Видеоразбор заданий олимпиады для 4 класса:

Пригласительный этап ВОШ 2021 по математике 5 класс задания:

1)Саша выписал на доску все двузначные числа, делящиеся на 6, а затем стёр те из них, которые оканчиваются не на 4. Какое наибольшее число в итоге оказалось написано на доске?

2)На столе лежат апельсин, банан, мандарин, персик и яблоко. Их веса равны 100 г, 150 г, 170 г, 200 г, 280 г, но неизвестно, какой фрукт сколько весит. Известно, что: персик легче апельсина; мандарин тяжелее банана, но легче персика; яблоко легче мандарина; банан и мандарин вместе тяжелее апельсина. Какой фрукт сколько весит?

3)На стене висят часы с кукушкой. Когда начинается новый час, кукушка говорит «ку-ку» количество раз, равное числу, на которое показывает часовая стрелка (например, в 19:00 «ку-ку» звучит 7 раз). Как-то утром Максим подошёл к часам, когда на них было 9:05. Он стал крутить пальцем минутную стрелку, пока не перевёл часы на 7 часов вперёд. Сколько раз за это время прозвучало «ку-ку»?

4)На дискотеку по случаю окончания учебного года пришло в два раза больше мальчиков, чем девочек. Маша посчитала, что девочек, кроме неё самой, на дискотеке на 9 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков пришло на дискотеку?

5)Из клетчатого квадрата 7×7 вырезали голубые треугольники. Чему равна площадь оставшейся фигуры? Длина стороны каждой клетки равна 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

6)На доске написано одно трёхзначное число и два двузначных. Сумма чисел, в записи которых есть семёрка, равна 214. А сумма чисел, в записи которых есть тройка, равна 75. Найдите сумму всех трёх чисел.

7)Вася хочет расставить в квадратики числа от 1 до 6 (каждое — по одному разу) так, чтобы выполнялось следующее условие: если два квадратика соединены, то в том, который выше, число больше. Сколько существует способов это сделать?

Видеоразбор заданий олимпиады для 5 класса:

Пригласительный этап ВОШ 2021 по математике 6 класс задания:

1)Маша расставила числа от 1 до 16 в клетки таблицы 4×4 так, чтобы любые два числа, отличающиеся на единицу, стояли в соседних по стороне клетках. А Саша стёр все числа, кроме 1 , 4, 9 и 16. Какое число стояло в клетке с вопросом?

2)Для приготовления одной порции салата требуются 2 огурца, 2 помидора, 75 грамм брынзы и 1 перец. На складе ресторана есть 92 перца, 6,6 кг брынзы, 180 помидоров и 181 огурец. Сколько порций получится?

3)Витя и его мама одновременно вышли из дома и пошли в противоположные стороны с одинаковой скоростью: Витя — в школу, а мама — на работу. Через 16 минут Витя понял, что у него нет ключей от дома, а вернётся из школы он раньше мамы, поэтому он стал догонять её, увеличив скорость в пять раз. Через сколько минут с того момента, как он понял, что надо забрать ключи, Витя догонит маму?

4)Алексей, Борис, Вениамин и Григорий подозреваются в ограблении банка. Полиции удалось выяснить следующее: если Алексей невиновен, то Вениамин виновен, а Борис невиновен; если Григорий виновен, то Борис и Вениамин невиновны; если Алексей виновен, то Вениамин тоже виновен; если Вениамин виновен, то кто-то из двух — Борис и Григорий — точно виновен. Отметьте тех, кто участвовал в ограблении.

5)В парке проложены дорожки, как показано на рисунке. Двое рабочих начали их асфальтировать, одновременно стартовав из точки A. Они укладывают асфальт с постоянными скоростями: первый — на участке A−B−C, второй — на участке A−D−E−F−C. В итоге они закончили работу одновременно, потратив на неё 15 часов. Известно, что второй работает в 1,2 раза быстрее первого. Сколько минут второй укладывал асфальт на участке DE ?

6)С дерева сорвали несколько апельсинов (не обязательно равной массы). Когда их взвесили, то оказалось, что масса любых трёх апельсинов, взятых вместе, составляет меньше 4% от суммарной массы остальных апельсинов. Какое наименьшее количество апельсинов могло быть сорвано?

7)Петя загадывает четырёхзначное число вида 19∗∗ . Вася последовательно проверяет, делится ли загаданное Петей число на 1,3,5,7,9,11 , и если делится, то Вася платит Пете 1,3,5,7,9 или 11 рублей соответственно. Например, за число 1900 Вася заплатил бы Пете 1+5=6 рублей. Какое наибольшее количество рублей может получить Петя?

8)Существует ровно 120 способов закрасить пять клеток в таблице 5×5 так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке была закрашена ровно одна клетка. Существует ровно 96 способов закрасить пять клеток в таблице 5×5 без угловой клетки так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке была закрашена ровно одна клетка. Сколько существует способов закрасить пять клеток в таблице 5×5 без двух угловых клеток так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке была закрашена ровно одна клетка?

Контрольная работа №6 Профильный уровень

1.В вазе лежат 7 яблок и 4 груши. Не глядя из вазы последовательно берут 2 фрукта, не возвращая их обратно. Какова вероятность того, что второй будет извлечена груша, при условии, что первой также была извлечена груша?

После извлечения из вазы первой груши там останутся 7 яблок и 3 груши.

Появлению груши второй из десяти оставшихся благоприятствуют три исхода р (А)=0,3

2.В ящике лежат 15 красных и 5 синих шаров. Наугад вынимают 2 шара. Какова вероятность того, что вынуты шары разных цветов?

А-вынутые шары имеют разный цвет

Р(А)= = =

3.В коробке лежат 10 деталей, среди которых 4 легче остальных. Случайным образом на 6 из них сделали напыление. Какова вероятность того, что вынутая из коробки деталь окажется легкой без напыления?

А-появление легкой детали Р (А)=0,4

В-появление детали без напыления р(В)=0,4

АВ-деталь легкая без напыления

4.В вазе стоят 5 гвоздик и 6 нарциссов. Какова вероятность того, что среди трех случайным образом вынутых цветков окажется по крайней мере одна гвоздика

А-в букете из 3-х цветов оказалась хотя бы одна гвоздика

Р (А)=1- =

5. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,9.Какова вероятность того, что после четырех выстрелов мишень будет поражена хотя бы двумя пулями?

С p 0 (1-p) n + С p 1 (1-p) n -1 ++ С p 2 (1-p) n -2 +…+ С p n (1-p) 0

Каждый член представляет из себя вероятность к попаданий(к=0,1,2,…,n)

Поскольку нам нужно не меньше двух попаданий,то мы берем вероятности 2,3 и 4 попаданий,и складываем.

2 способ

Найдем вероятность одного и ни одного попадания и вычтем их из 1

6.Среди 10 деталей 4 бракованных. Наугад вынимают 3 детали. Какова вероятность того, что среди вынутых деталей две окажутся бракованными?

А-среди вынутых деталей 2 бракованные

Р(А)= =0,3

1.В вазе лежат 7 яблок и 4 груши .Не глядя из вазы последовательно берут 2 фрукта.,не возвращая их обратно.Какова вероятность того,что вторым будет извлечено яблоко,при условии,что первой была извлечена груша?

А-первой извлечена груша

В-вторым извлечено яблоко

После извлечения из вазы первой груши там останутся 7 яблок и 3 груши.Появлению яблоко вторым из десяти оставшихся благоприятствуют семь исходов

2.В ящике лежат 15 красных и 5 синих шаров.Наугад вынимают 2 шара .Какова вероятность того,что оба шара оказались красными?

А-вынутые шары оказались красными

Р(А)= =

3.В коробке лежат 10 деталей,среди которых 3 легче остальных.Случайным образом на 7 из них сделали напыление.Какова вероятность того,что вынутая из коробки деталь окажется тяжелой с напылением

А-появление тяжелой детали р(А)=0,7

В-появление детали с напылением р(В)=0,7

АВ-деталь тяжелая с напылением

4.В вазе стоят 5 гвоздик и 6 нарциссов.Какова вероятность того,что среди трех случайным образом вынутых цветков окажется по крайней мере один нарцисс?

А- в букете из 3-х цветков оказался хотя бы один нарцисс

-в букете не оказалось нарцисса,т.е.только гвоздики

Р. (А)=1- =

5. Вероятность поражения мишени стрелком равна 0,9.Какова вероятность того, что после пяти выстрелов мишень будет поражена хотя бы четырьмя пулями?

С p 0 (1-p) n + С p 1 (1-p) n -1 ++ С p 2 (1-p) n -2 +…+ С p n (1-p) 0

Каждый член представляет из себя вероятность к попаданий(к=0,1,2,…,n)

Поскольку нам нужно не меньше четырех попаданий ,то мы берем вероятности 4 и 5 попаданий ,и складываем.

Найдем вероятность одного , ни одного попадания ,двух и трех и вычтем их из 1

6.Среди 12 деталей 5 бракованных. Наугад вынимают 3 детали. Какова вероятность того,что среди вынутых деталей две окажутся бракованными?

masterok

Вам нельзя заглядывать ни в одну коробку, но можно попросить достать для примера фрукт из любой коробки. Какое минимальное количество примеров вам потребуется, чтобы переименовать все коробки правильно?

Сначала укажите ответ в опросе, а потом сверьтесь с правильным вариантом под катом:

А теперь — решение:

Многие люди думают, что необходимо достать несколько фруктов из разных коробок, чтобы решить эту задачку. Как ни крути, если вы достанете яблоко, оно может быть из коробки с яблоками или из коробки с яблоками и апельсинами.

Однако вы знаете, что в этой задаче все коробки подписаны неверно. Это позволяет вам решить головоломку, вытянув фрукт для примера лишь один раз из одной коробки. Суть в том, что вы должны попросить достать фрукт из коробки, подписанной «яблоки и апельсины».

Предположим, вы достали яблоко. Соответственно, эта коробка могла бы содержать яблоки и апельсины или только яблоки. Однако вы знаете, что надпись «яблоки и апельсины» на этой коробке неверна, таким образом, эта коробка может содержать исключительно яблоки, и вы уже можете подписать её правильно.

А теперь вы сможете правильно подписать и остальные коробки. Перейдём к коробке с надписью «апельсины». В ней могут быть только апельсины или апельсины и яблоки.

Поскольку надпись на ней неверна, у вас остаётся лишь один вариант — она должна содержать яблоки с апельсинами. Это значит, что в последней коробке могут быть только апельсины и никак иначе.

Таким образом, достав лишь один фрукт из одной коробки, вы сможете правильно подписать все три коробки.

Если же вы достали из коробки с надписью «яблоки и апельсины» апельсин, то логика будет та же самая: в коробке лежат только апельсины, поскольку надпись на ней неверна.

Коробка с надписью «яблоки» может содержать только яблоки или яблоки с апельсинами, но так как надпись неверна, то в ней лежат яблоки с апельсинами. И последняя коробка подписывается последним оставшимся вариантом – «яблоки».

Вот так можно подписать все коробки верно, достав лишь один фрукт из правильной коробки.

Есть и другой способ прийти к решению. Он основывается на количестве возможных вариантов названий коробок.

Первая коробка может иметь три варианта названия: «яблоки», «апельсины» или «яблоки и апельсины». Для второй коробки остаются лишь два возможных варианта. Последней коробке должно остаться последнее неиспользованное название. Мы должны сосчитать все возможные варианты названий для всех коробок.

Так как есть три варианта для первой коробки, два оставшихся варианта для второй коробки и лишь один вариант для третьей коробки, то всего есть шесть возможных вариантов названия для коробок. Затем надо исключить все варианты, в которых надписи будут совпадать с существующими надписями на коробках, поскольку мы знаем, что надписи неверны.

Таким образом, мы сможем убрать четыре неверных варианта, и остаётся лишь два варианта, в которых все коробки будут названы по-другому. Как же выяснить, какой из этих двух вариантов правильный? Мы снова просим пример из коробки с надписью «яблоки и апельсины», зная, что в этой коробке может лежать лишь один вид фруктов. Выяснив, что лежит в этой коробке, мы сможем оставить лишь один верный вариант надписей. Уловили?

Итоговая контрольная работа за 2 четверть по математике 3 класс. Контрольная работа 3.

Масса 4 одинаковых корзин со смородиной 20 кг. Найди массу 7 таких корзин со смородиной.

1) 20 : 4 = 5
2) 5 * 7 = 35
Выражение: 20 : 4 * 7
Ответ: 35

Туристы разместились в 4 одинаковых палатках, по 6 человек в каждой, и в 3 одинаковых домиках, по 10 человек в каждом. Сколько всего туристов разместилось в палатках и домиках?

1) 6 * 4 = 24
2) 3 * 10 = 30
3) 24 + 30 = 54
Выражение:6 * 4 + 3 * 10
Ответ: 54

В одном поселке 9 кирпичных домов и 36 деревянных. Во сколько раз больше деревянных домов, чем кирпичных, в этом поселке?

36 : 9 = 4
Ответ: 4

На полке магазина стояли такие игрушки: собачки, зайцы и медведи. Медведей было 6, зайцев 3. Собачек и зайцев вместе было в 2 раза больше, чем медведей. Сколько собачек было на полке?

1)2 * 6 = 12
2)12 - 3 = 9
Выражение: 2 * 6 - 3
Ответ: 9

Вариант 2

За 5 одинаковых тетрадей заплатили 30 р. Сколько рублей надо заплатить за 6 таких тетрадей?

1) 30 : 5 = 6
2) 6 * 6 = 36
Выражение: 30 : 5 * 6
Ответ: 36

На выставке рисунков на 3 больших стендах было по 8 рисунков, а на 4 маленьких — по 5 рисунков. Сколько всего рисунков было на этих стендах?

1) 3 * 8 = 24
2) 4 * 5 = 20
3) 24 + 20 = 44
Выражение: 3 * 8 + 4 * 5
Ответ: 44

За один день в магазине продали 18 спортивных костюмов и 6 курток. Во сколько раз больше продали спортивных костюмов, чем курток?

18 : 6 = 3
Ответ: 3

В вазе лежали конфеты, пряники и вафли. Конфет было 8, пряников 5. Вафель и пряников вместе было в 3 раза больше, чем конфет. Сколько вафель было в вазе?

1)8 * 3 = 24
2)24 - 5 = 19
Выражение: 8 * 3 - 5
Ответ:19

Вариант 3

Маме 32 года, а сыну 8 лет. Во сколько раз мама старше сына?

32 : 8 = 4
Ответ: 4

За 5 одинаковых тетрадей заплатили 35 р. Сколько стоят 7 таких тетрадей?

1) 35 : 5 = 7
2) 7 * 7 = 49
Выражение: 35 : 5 * 7
Ответ: 49

Все апельсины разложили в 3 пакета, по 6 апельсинов в каждый, и в 4 пакета, по 5 апельсинов в каждый. Сколько всего апельсинов разложили в эти пакеты?

1) 3 * 6 = 18
2) 4 * 5 = 20
3) 20 + 18 = 38
Выражение: 3 * 6 + 4 * 5
Ответ: 38

На столе лежали учебники, тетради и ручки. Учебников было 8, тетрадей 6, а учебников и ручек было в 3 раза больше, чем тетрадей. Сколько ручек было на столе?

1) 3 * 6 = 18
2) 18 - 8 = 10
Выражение: 3 * 6 - 18
Ответ: 10

Вариант 4

В 3 одинаковых упаковках 18 банок с компотом. Сколько банок с компотом в 7 таких упаковках?

1) 18 : 3 = 6
2) 6 * 7 = 42
Выражение: 18 : 3 * 7
Ответ: 42

Набор фломастеров стоит 54 р., а блокнот — 9 р. Во сколько раз набор фломастеров дороже, чем блокнот?

54 : 9 = 6
Ответ: 6

Для новогоднего праздника купили 3 коробки с пирожными, по 6 пирожных в каждой, и 5 коробок, по 4 пирожных в каждой. Сколько всего пирожных купили?

1) 3 * 6 = 18
2) 4 * 5 = 20
3) 18 + 20 = 38
Выражение: 3 * 6 + 4 * 5
Ответ: 38

В вазе лежали яблоки, груши и бананы. Груш было 7, бананов 5, а яблок и груш в 3 раза больше, чем бананов. Сколько яблок было в вазе?

04. Принцип сложения

Принцип сложения. Если элемент А можно выбрать из некоторого множества m способами, а другой элемент B – n способами, причём выборы А и В таковы, что взаимно исключают друг друга и не могут быть выбраны одновременно, то выбор какого-либо одного из этих элементов (либо А, либо В) можно осуществить (m+n) способами.

В качестве иллюстрации данного принципа рассмотрим следующий простой пример.

Пример 2.1. Пусть из города A в город B можно добраться одним авиамаршрутом, двумя железнодорожными маршрутами и тремя автобусными маршрутами. Сколькими способами можно добраться из города A в город B?

Решение. Все условия принципа сложения здесь выполнены, поэтому, в соответствии с этим принципом, получим 1+2+3=6 способов.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий различие принципов умножения и сложения.

Пример 2.2. В магазине электроники продаются три марки телевизоров и два вида видеомагнитофонов. У покупателя есть возможности приобрести либо телевизор, либо видеомагнитофон. Сколько способами он может совершить одну покупку? Сколько различных комплектов, содержащих телевизор и магнитофон, можно приобрести в этом магазине, если покупатель собирается приобрести в паре и телевизор, и видеомагнитофон?

Решение. Один телевизор можно выбрать тремя способами, а магнитофон – другими двумя способами. Тогда телевизор или магнитофон можно купить 3+2=5 способов.

Во втором случае один телевизор можно выбрать тремя способами, после этого видеомагнитофон можно выбрать двумя способами. Следовательно, в силу принципа умножения, купить телевизор и видеомагнитофон можно 3×2=6 способами.

Замечание. Обычно принцип сложения применяется в тех случаях, когда в задачах встречаются союзы «или», «либо, либо» (телевизор или видеомагнитофон), а принцип умножения – в задачах, содержащих союз «и» (телевизор и видеомагнитофон).

Рассмотрим теперь примеры, в которых применяются оба правила комбинаторики: и принцип умножения, и принцип сложения.

Пример 2.3. В корзине лежат 12 яблок и 10 апельсинов. Ваня выбирает либо яблоко, либо апельсин, после чего Надя выбирает из оставшихся фруктов и яблоко и апельсин. Сколько возможно таких выборов?

Решение. Ваня может выбрать яблоко 12 способами, апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает яблоко, то Надя может выбрать яблоко 11 способами, а апельсин – 10 способами. Если Ваня выбирает апельсин, то Надя может выбрать яблоко 12 способами, а апельсин – 9 способами. Таким образом, Ваня и Надя могут сделать свой выбор способами.

Пример 2.4. Есть 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 адресам. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. В данной задаче мы должны рассмотреть три случая: а) все письма рассылаются по разным адресам, б) все письма посылаются по одному адресу, в) только два письма посылаются по одному адресу. Если все письма рассылаются по разным адресам, то число таких способов легко находится из принципа умножения: n1=6×5×4=120 способов. Если все письма посылаются по одному адресу, то таких способов будет n2=6. Таким образом, остается рассмотреть только третий случай, когда только 2 письма посылаются по одному адресу. Выбрать какое-либо письмо мы можем 3 способами и послать его по какому-либо выбранному адресу можем 6 способами. Оставшиеся два письма мы можем послать по оставшимся адресам 5 способами. Следовательно, послать только два письма по одному адресу мы можем n3=3×6×5=90 способами. Таким образом, разослать 3 письма по 6 адресам в соответствие с принципом сложения можно

N1+n2+n3 = 120+6+90 = 216 способами.

2.1. В урне содержится 3 синих, 5 красных и 2 белых шара. Сколькими способами можно вытащить из урны либо два белых шара, либо два цветных шара, из которых один синий, а другой – красный?

Ответ: Все шары различимы и порядок важен. Поэтому все способов .

2.2. Имеется 6 различных конвертов без марок, 4 различные марки и 3 различных конверта с марками. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для отправки письма?

Ответ: .

2.3. Семья новоселов хочет приобрести письменный стол, книжный шкаф и диван. В мебельном магазине имеется 6 письменных столов, 4 книжных шкафа и 12 диванов, Кроме того, есть 2 гарнитура, содержащих письменный стол и диван, и 8 гарнитуров, содержащих книжный шкаф и письменный стол. Сколькими способами может быть сделана покупка?

Ответ: .

2.4. В букинистическом магазине лежат 6 разных изданий романа И. С. Тургенева «Рудин», 3 издания его романа «Дворянское гнездо» и 4 издания романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 разных сборников, в каждом из которых есть романы «Рудин» и «Дворянское гнездо», и 7 сборников с романами «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?

А если в магазине есть ещё 3 сборника, содержащие романы «Рудин» и «Отцы и дети», и 5 книг, содержащих все три романа?

Решение: Можно купить либо по экземпляру каждого романа, либо сборник, содержащий два романа, и экземпляр третьего романа. Из принципов сложения и умножения получаем способа. Во втором случае можно купить ещё сборник, содержащий романы «Рудин» и «Отцы и дети», и один экземпляр «Дворянского гнезда», либо сразу все романы. Всего имеем способов.

При решении комбинаторных задач важно уметь выделять случаи, где можно использовать те или иные формулы. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов, например, урна, содержащая n различных шаров. Выборкой будем называть любую совокупность k элементов этого множества; другими словами, выбор k шаров из урны. Однако при постановке такого эксперимента должно быть строго оговорено, каким способом производится выбор и что понимается под различными выборками.

Существует две принципиально различные схемы выбора. В первой схеме выбор осуществляется без возвращения элементов. Это означает, что в выборке невозможны повторения элементов. Во второй схеме выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента при каждом шаге. Это означает, что в выборке возможны повторения.

После того как выбор тем или иным способом осуществлен, отобранные элементы могут быть либо упорядочены, либо неупорядочены. В первом случае, выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но отличающиеся порядком следования этих элементов, объявляются различными. Во втором случае порядок следования элементов не принимается во внимание, и такие выборки объявляются тождественными.

В результате получаются четыре различные постановки эксперимента по выбору k элементов из общего числа n элементов некоторого множества.

masterok

Сначала укажите ответ в опросе, а потом сверьтесь с правильным вариантом под катом:

А теперь — решение:

Таким образом, достав лишь один фрукт из одной коробки, вы сможете правильно подписать все три коробки.

Вот так можно подписать все коробки верно, достав лишь один фрукт из правильной коробки.

Есть и другой способ прийти к решению. Он основывается на количестве возможных вариантов названий коробок.

Конкурс Кенгуру 18 марта 2021 года, вопросы и ответы для 3-4 класса

«Кенгуру» — это массовый международный конкурс-игра для школьников под девизом «Математика для всех». Главная цель конкурса — привлечь как можно больше ребят к решению математических задач, показать каждому школьнику, что обдумывание задачи может быть делом живым, увлекательным, и даже веселым!

В 2021 году конкурс «Кенгуру» будет проводиться 18 марта.

«Кенгуру — выпускникам» — это тестирования по математике для учеников 4-х, 9-х и 11-х классов, основная цель которых – независимая проверка учащимися своих знаний по математике и тренировка перед выпускным (переводным) экзаменом. По итогам тестирования каждый участник получит индивидуальную рецензию.

Вопросы и ответы для 3-4 класса Кенгуру

Задачи на 3 балла

Задание 1

У Эдуарда 4 кубика, какой из показанных ниже кубов он может сделать из своих 4 кубиков?

Правильный ответ: (В)

Задание 2

У скольких рыб головы будут направлены к кольцу, когда мы выпрямим леску?

Правильный ответ: (В) 6

Задание 3

Если правильно сложить кусочки, получится пример. Какой в нем ответ?

Правильный ответ: (Б) 15

Задание 4

Алла рисует солнце. Что из этого – часть её рисунка?

Правильный ответ: Б

Задание 5

Пять мальчиков соревновались в стрельбе. Гриша набрал больше всего очков. По какой мишени стрелял Гриша?

Правильный ответ: Д

6. У Розы есть шары 3-х разных цветов. Шары одного цвета имеют одинаковый вес. Какой вес у белого шара?

Правильный ответ: (В) 5 кг

Задачи на 4 балла

7. У Нины в игре есть 3 вида карт: яблоко, вишня и виноград. Она выбирает 2 карты из набора и меняет их местами, чтобы карты с одинаковыми фруктами лежали рядом. Для какого набора это невозможно?

Правильный ответ: А

8. Катя хочет выбрать из коробок пять разных фигур. Она может выбрать только одну фигуру из каждой коробки. Какую фигуру она должна достать из четвёртой коробки?

Правильный ответ: Д

9. 18 кубиков белого серого и чёрного цвета сложили как на первой картинке.
На второй и третьей картинке показаны белая и чёрная часть конструкции. На какой из картинок ниже, показана серая часть?

Правильный ответ: Д

10. В магазине «Мороженое» в кассе лежат деньги. После продажи 6 мороженых в кассе стало 70 рублей. После продажи 16 мороженых в кассе стало 120 рублей. Какая сумма денег была в кассе до продажи?

11. Как показано на рисунке, на высоком здании есть четыре пожарные лестницы. Высота 3-х лестниц показана на рисунке. Какова высота самой короткой лестницы?

12. Наташа играет с тремя чашками на кухонном столе. Она берет левую, переворачивает ее и ставит справа от других чашек. Как стоят чашки после того, как она проделает это 10 раз

Правильный ответ: Б

13. У Евы 5 наклеек. На каждый из квадратов она наклеила по одной наклейке:

Известно, что звездочка не на квадрате 5, яблоко на квадрате 1, и цветочек был рядом с кружочком и треугольником. На каком квадрате цветочек?

15. Маша бросает дротики в воздушные шары значимостью 3, 9, 13, 14 и 18 очков. Всего она набрала 30 очков. В какой воздушный шарик она точно попала?

16. В коробке не более 50 шоколадок. Их можно поровну поделить между 2, 3 или 4 детьми, а вот для дележа поровну между 7 детьми не достает б шоколадок. Сколько шоколадок в коробке?

17. В каждой из пяти коробок лежат или яблоки или бананы, но не то и другое вместе. Общий вес всех бананов в три раза превышает вес всех яблок, Какие коробки содержат яблоки?

Правильный ответ: Д. 1 и 4

18. Елена хочет расставить цифры от 1 до 9 по одному в каждом квадрате. Стрелки всегда указывают направление от меньшего числа к большему. Она уже написала 5 и 7. Какое число она должна написать вместо вопросительного знака?

Правильный ответ: 6

6 задачек, которые не могут решить взрослые

Уже несколько дней пользователи сети Интернет по всему миру ломают голову над детской задачей про яблоки, бананы и кокосы, которую опубликовала на своей страничке Facebook жительница Канады Лиза Уолке.

Популярная головоломка предлагает подсчитать количество фруктов на картинке. В итоге ответы пользователей сильно разнятся, причем, не в пользу правильного.

Одни пишут, что верный результат — 14, у кого-то выходит 15, а третьи уверенны, что правильный ответ — 16.

А что думаешь ты?

Европа Плюс собрала для тебя еще 5 задачек, которые предлагают решить детям младших классов в разных странах мира. Правильные ответы смотри ниже!

2. Найди верную диаграмму (США, для детей 12-13 лет)

"В коробке 50 шоколадок. Из них 30 с карамелью, 25 — с кокосом, 10 — и с карамелью, и с кокосом, а остальные вообще без начинки. Какая диаграмма верно отражает содержимое коробки?"

3. Чему равно четырехзначное число?(ззадачка для дошколят)

Чему равно четырехзначное число?

4. Номер парковочного места (тест для зачисления в начальную школу детей в Гонконге.)

5. Числовая пирамида (Сингапур, 3 класс)

6. Найди инопланетянина в 3 ряду? (Китай, 6-7 лет)

В первом ряду изображены инопланетяне, во втором - типичные жители планеты Земля. Задача: определить, сколько инопланетных представителей в третьем ряду и кто именно.

ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ СМОТРИ НИЖЕ:

1. Сколько фруктов на картинке?

Решение: Главный ее подвох состоит в том, что в финале количество фруктов меняется: бананов в связке становится на один меньше, а от расколотого надвое кокоса остается одна половина.

половина кокоса = 1

2. Шоколадная коробка

Ответ: диаграмма B

Решение: Сколько шоколадок только с карамелью? 30 — 10 = 20

Сколько шоколадок только с кокосом? 25 — 10 = 15 Сколько же остается шоколадок без начинки? 50 — (20 + 15 +10) = 5

3. Четырехзначные числа

Ответ: 2581 = 2

Решение: В каждой группе из 4 чисел нужно было всего лишь сосчитать замкнутые кружочки. Например, у цифры 6 один кружочек, у цифры 8 — два. А значит у числа 6889 их шесть. И так далее.

Решение: Просто мысленно поверни картинку вверх ногами.

5. Числовая пирамида

Ответ: D = 1345, E = 2440

Решение: Первым делом складываете два числа в нижнем ряду: 198 + 263 = 461 Получилась сумма больше того числа, что стоит над ними: 461 > 446 Вычитаете из большего меньшее: 461 — 446 = 15 Точно так же считаем остальные пары и видим, что везде получается 15.

6. Найди инопланетян.

Ответ: 1 - четвертый слева

Решение: У всех инопланетян есть два общих признака: три руки и треугольный нос. Все остальные признаки являются избыточными и нужны лишь для усложнения задания. Именно по этим совокупным признаком можно отличить "инопланетного шпиона", затесавшегося в ряды не менее чудоковатых землян.

Читайте также: