В вазе стояли 7 красных и 8 белых гвоздик сколькими способами можно выбрать
Добавил пользователь Morpheus Обновлено: 04.10.2024
Элементы комбинаторики
презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему
В презентации рассмотрены основные понятия комбинаторики, а также приведены решения задач. Данная работа можетбыть полезна на уроках алгебры в 9 классепри изучении темы "Элементы комбинаторики и теории вероятностей", а также на занятиях математического кружка.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| elementy_kombinatoriki.ppt | 1.07 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Теорема 1. Правило умножения : если из некоторого конечного множества первый объект (элемент а ) можно выбрать n 1 способами, а второй объект (элемент b ) – n 2 способами, то оба объекта ( а и b ) в указанном порядке можно выбрать n 1 ∙ n 2 способами. Теорема 2. Правило сложения : если некоторый объект а можно выбрать п 1 способами, а объект b можно выбрать n 2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов ( а или b ) можно выбрать n 1 + n 2 способами.
Схема выбора без возвращений Размещения из n элементов по k элементов (0 ≤ k ≤ n ) где n ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n, причем 1! = 1, 0! = 1 Перестановки из n элементов Сочетания из n элементов по k элементов (0 ≤ k ≤ n )
Схема выбора с возвращением Размещения с повторениями Сочетания с повторениями Перестановки с повторениями ( n 1 + n 2 + n k = n )
(1-я строка – без повторений, 2-я строка – с повторениями) Размещения Перестановки Сочетания 1 2 ( n 1 + n 2 + n k = n )
Задача 1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7 если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться? Решение: а) Первую цифру можно выбрать четырьмя способами (числа вида 025, 073, … не считаем трехзначными). Выбрав первую цифру (например, цифру 5) вторую цифру можно также выбрать четырьмя способами . Третью цифру, очевидно, можно выбрать тремя способами. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 4 ∙ 4 ∙ 3 = 48 способов расстановки цифр, т.е. искомых трехзначных чисел будет 48 . б) Если цифры могут повторяться, то трехзначные числа можно составить 4 ∙ 5 ∙ 5 = 100 способами .
Задача 2. Составить различные размещения по два элемента из элементов множества А = <3, 4, 5>и подсчитать их число. Решение: Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: (3,4); (4,3); (3,5); (5,3); (4,5); (5,4). Таким образом, всего их 6. Однако число размещений можно посчитать по формуле: или
Задача 3. Сколькими способами 3 награды (за I , II , III места) могут быть распределены между 10 участниками соревнований? Решение: Будем считать, что каждый участник соревнований может получить не более одной награды. Выбрать 3-х участников из 10 можно следующим образом, так как «призовые тройки» отличаются друг от друга либо составом участников, либо порядком их следования. Этот же результат можно получить, применяя правило умножения: претендентов на главную награду ( I место) 10, на вторую – 9, на третью – 8; число различных способов распределения наград равно 10∙9∙8=720.
Задача 4. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее: а) 3 гвоздики; б) 6 гвоздик одного цвета; в) 4 красных и 3 розовые гвоздики? Решение: а) Так как порядок выбора цветов не имеет значение, то выбрать 3 гвоздики из вазы, в которой стоят 16 гвоздик, можно б) Выбрать 6 гвоздик красного цвета можно
а 6 гвоздик розового цвета одного цвета (красных или розовых) можно способом. в) Выбрать 4 красных гвоздики из 9 имеющихся можно способами, а 3 розовых из 7 имеющихся можно способами. Поэтому букет из 4 красных и 3 розовых гвоздик можно составить по правилу умножения способами.
Задача 5. На диск сейфа нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова? Решение: Общее число комбинаций можно вычислить по формуле Значит, неудачных попыток может быть 248831. Впрочем, обычно делают сейфы так, что после первой же неудачной попытки открыть их раздается сигнал тревоги.
Задача 6. Пять человек вошли в лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах? Решение: Каждый из 5 пассажиров может выйти на любом из восьми этажей со 2-го по 9-ый включительно. Возможными вариантами их выхода являются, например, 2-3-5-5-5 (это значит, что на 2-ом этаже вышел один пассажир, на 3-ем – один, а трое вышли на 5-ом этаже) или 9-9-9-9-9, или 4-5-6-7-9 и т.д. Общее число выходов пассажиров, по формуле равно Этот же результат можно получить, используя правило умножения: для 1-го пассажира имеется 8 вариантов выхода на этаже, для 2-го тоже 8, и для 3-го тоже 8, и для 4-го – 8, и для 5-го – 8. Всего получается 8∙8∙8∙8∙8=8 5 вариантов для выхода 5-ти пассажиров.
Задача 7. Сколько различных « слов » (под « словом » понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове АГА? MISSISSIPPI ? Решение: Из трех букв можно составить Р 3 =3!=6 различных трехбуквенных « слов » . В слове АГА буква А повторяется, а перестановка одинаковых букв не меняет « слова » . Поэтому число перестановок с повторениями меньше числа перестановок без повторений во столько раз, сколько можно переставлять повторяющиеся буквы. В данном слове две буквы (1-ая и 3-я) повторяются; поэтому различных трехбуквенных « слов » из букв АГА можно составить столько: Впрочем, ответ можно получить и проще: каждое слово из букв А, Г и А однозначно определяется положением буквы Г; их всего три, поэтому и различных слов будет тоже три. .
Результат можно получить другой формулой: По этой же формуле найдем число одиннадцатибуквенных « слов » при перестановке букв в слове MISSISSIPPI . Здесь п =11, п 1 =1, п 2 =4 (4 буквы S ), п 3 =4 (4 буквы I ), п 4 =2 (2 буквы Р), поэтому
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Элементы комбинаторики и основы теории вероятности
Данная программа элективного курса объёмом 34 часа рассчитана на учащихся 8 классов и является дополнением общеобразовательной программы, в которой данному вопросу внимания уделяется мало.
Работа содержит все, что необходимо для подготовки к урокам: подробные поурочные планы, примеры, задачи с разбором решения, разноуровневые проверочные работы.
Работа содержит все, что необходимо для подготовки к урокам: подробные поурочные планы, примеры, задачи с разбором решения, разноуровневые проверочные работы.
Опорный конспект по теме "Элементы комбинаторики"
В данном конспекте даны основные определения и формулы для вычисления числа перестановок, размещений и сочетаний без повторений. Можно использовать на уроках комбинаторики в 11-м классе (базовый урове.
Тесты по теме "Элементы комбинаторики и теории вероятностей"
В материале предлагается 10 вариантов тестов по теме "Элементы комбинаторики и теории вероятностей". Тесты можно использовать с использованием любого учебника, рекомендованного или допущенного Ф.
Исторические сведения, дерево возможностей, перестановки, сочетания, размещения.
1.2. Задачи по комбинаторике
1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из одиннадцати дисциплин.
2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности?
3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?
4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?
5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т. е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.
8. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?
10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?
11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, если она находиться с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)
12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений?
13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?
14. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп?
Ответ: 30!/(10!) .
15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?
17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?
Ответ:
18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?
19. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.
Ответ: 12!/(2!) .
20. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются )?
21. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы №1 и №2 находились бы в соседних аудиториях?
22. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определить количество различных расписаний первого тура (расписания считаются различными, если отличаются участниками хотя бы одной партии; цвет фигур и номер доски не учитываются).
Ответ : 2 027 025.
23. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж доставлен какой-либо один материал?
24. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
25. Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?
26. Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
27. Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря и трех членов ревизионной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?
28. Из 10 теннисисток и 6 теннисистов составляют 4 смешанные пары. Сколькими способами это можно сделать?
29. Три автомашины №1,2,3 должны доставить товар в шесть магазинов. Сколькими способами можно использовать машины, если грузоподъемность каждой из них позволяет взять товар сразу для всех магазинов и если две машины в один и тот же магазин не направляются? Сколько вариантов маршрута возможно, если решено использовать только машину №1?
30. Четверо юношей и две девушки выбирают спортивную секцию. В секцию хоккея и бокса принимают только юношей, в секцию художественной гимнастики – только девушек, а в лыжную и конькобежную секции – и юношей, и девушек. Сколькими способами могут распределиться между секциями эти шесть человек?
31. Из лаборатории, в которой работает 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер одновременно уезжать не должны?
32. В фортепьянном кружке занимаются 10 человек, в кружке художественного слова –15, в вокальном кружке – 12, в фотокружке – 20 человек. Сколькими способами можно составить бригаду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?
33. Двадцать восемь костей домино распределены между четырьмя игроками. Сколько возможно различных распределений?
Ответ:
34. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?
35. Пять учеников следует распределить по трем параллельным классам. Сколькими способами это можно сделать?
36. Лифт останавливается на 10 этажах. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 8 пассажиров, находящихся в лифте?
37. Восемь авторов должны написать книгу из шестнадцати глав. Сколькими способами возможно распределение материала между авторами, если два человека напишут по три главы, четыре – по две, два – по одной главе книги?
38. В шахматном турнире участвуют 8 шахматистов третьего разряда, 6 – второго и 2 перворазрядника. Определить количество таких составов первого тура, чтобы шахматисты одной категории встречались между собой (цвет фигур не учитывается).
39. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа: не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.
40. Семь яблок и два апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и чтобы количество фруктов в них было одинаковым. Сколькими способами это можно сделать?
41. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?
42. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
43. Садовник должен в течение трех дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?
44. Из вазы, где стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики, выбирают один красный и два розовых цветка. Сколькими способами это можно сделать?
45. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
46. Каждый из десяти радистов пункта А старается установить связь с каждым из двадцати радистов пункта Б. Сколько возможно различных вариантов такой связи?
47. Шесть ящиков различных материалов доставляют на восемь этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на восьмой этаж будет доставлено не более двух материалов?
48. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков двух футбольных команд так, чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?
49. На книжной полке книги по математике и по логике – всего 20 книг. Показать, что наибольшее количество вариантов комплекта, содержащего 5 книг по математике и 5 книг по логике, возможно в том случае, когда число книг на полке по каждому предмету равно 10.
Ответ: C510–x × C510+x (C510)2 .
50. Лифт, в котором находятся 9 пассажиров, может останавливаться на десяти этажах. Пассажиры группами выходят по два, три и четыре человека. Сколькими способами это может произойти?
51. «Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком». Сколько различных осмысленных предложений можно составить, используя часть слов этого предложения, но не изменяя порядка их следования?
52. В шахматной встрече двух команд по 8 человек участники партий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьевкой. Каково число различных исходов жеребьевки?
Ответ:
53. A и B и еще 8 человек стоят в очереди. Сколькими способами можно расположить людей в очереди, чтобы A и B были отделены друг от друга тремя лицами?
54. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться; в) используются только нечетные цифры и могут повторяться; г) должны получиться только нечетные числа и цифры могут повторяться.
Ответ: а) 5 × 5 × 4 × 3=300; б) 5 × 6 = 1080; в) 34; г) 5 × 6 × 6 × 3 = 540.
55. В классе изучается 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник должно быть 6 уроков и все разные?
Ответ:
56. На одной прямой взято M точек, на параллельной ей прямой N точек. Сколько треугольников с вершинами в этих точках можно получить?
Ответ:
57. Сколько есть пятизначных чисел, которые читаются одинаково справа налево и слева направо, например, 67876.
Ответ: 9 × 10 × 10 = 900.
58. Сколько разных делителей (включая 1 и само число) имеет число
59. В прямоугольной матрице A = <Aij> M строк и N столбцов. Каждое AijÎ<+1, –1>, причем произведение Aij по любой строке или любому столбцу равно 1. Сколько таких матриц?
60. В комнате N лампочек. Сколько разных способов освещения комнаты,
При которых горит:
А) ровно K лампочек (K < N);
Б) хотя бы одна лампочка.
Ответ: а) ; б) = 2N –1.
61. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?
Ответ: = 126.
62. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?
Ответ: = 210.
63. Имеется P белых и Q черных шаров. Сколькими способами их можно выложить в ряд, чтобы никакие 2 черных шара не лежали рядом (Q £ P + 1)?
Ответ: .
64. Имеется P разных книг в красных переплетах и Q разных книг в синих переплетах (Q £ P + 1). Сколькими способами их можно расставить в ряд, чтобы никакие две книги в синих переплетах не стояли рядом?
Ответ: .
65. Сколькими способами можно упорядочить <1, 2, . N> чисел так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания?
66. На собрании должны выступить 4 докладчика: A, B, C и D, причем B не может выступить раньше A. Сколькими способами можно установить их очередность.
Ответ: 12 = 3! + 2× 2 +2.
67. Сколькими способами M + N + S предметов можно распределить на 3 группы, чтобы в одной группе было m предметов, в другой – N, в третьей – S предметов.
Ответ:
68. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение X1 + X2 + . + Xm = N.
Ответ: .
69. Найти число векторов Z = (A1 A2 . AN), координаты которых удовлетворяют условиям:
1) AI Î <0, 1>;
4) AI Î <0, 1>и A1 + A2 + . + AN = R.
Ответ: 1) 2N ; 2) Kn ; 3) K1 K2 . Kn ; 4) .
70. Каково число матриц <Aij>, где Aij Î <0,1>и в которой M строк и N столбцов? 1) строки могут повторяться; 2) строки попарно различны.
Ответ: 1) 2M×N ; 2) .
71. Дано M предметов одного сорта и N другого. Найти число выборок, составленных из R элементов одного сорта и S другого.
Ответ: .
72. Сколькими способами число N можно представить в виде суммы K натуральных слагаемых (представления, различающиеся лишь порядком слагаемых считаются разными).
Ответ: .
73. Бросаются 10 одинаковых игральных костей. Сколькими способами они могут упасть так, что :
1) ни на одной кости не выпадет 6 очков;
2) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков;
3) ровно на 3-х костях выпадет 6 очков;
4) ровно на 3-х костях выпадет 6 очков, на 2-х других выпадет 5 очков.
Ответ : 510, 610-510, 24´58, 630´46
74. Считая, что телефонные номера состоят из 7 цифр, причем могут начинаться и с 0 тоже, найти число телефонных номеров, таких что:
4 последние цифры одинаковы и не встречаются среди первых 3-х (первые 3 цифры различны.);
Все цифры различны ;
Номер начинается с цифры 5;
Номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2.
Ответ : 5040, , 106, 210.
75. 10 человек, среди которых Иванов и Петров, размещаются в гостинице в двух 3-х местных и в одном 4-х местном номерах. Сколькими способами они могут быть размещены? Сколькими способами их можно разместить, если Иванов и Петров помещены в 4-х местный номер?
76. 52 карты раздаются 4-м игрокам, каждому по 13 карт. Сколькими способами их можно раздать, если
Каждый игрок получит туза;
Один из игроков получит все 13 карт единой масти ;
Все тузы попадут к одному из игроков;
4) 2 определенных игрока не получат ни одного туза.
Ответ: , , , .
Регистр содержит ровно 2 одинаковые цифры ;
Регистр содержит ровно 2 пары одинаковых цифр;
Регистр содержит ровно 3 одинаковые цифры;
Регистр содержит не более 3-х различных цифр.
Ответ: , , , .
78. Сколькими способами можно выстроить 9 человек:
В колонну по одному;
В колонну по 3, если в каждой шеренге люди выстраиваются по росту и нет людей одинакового роста?
Ответ: 9!, .
79. Из N букв, среди которых A встречается α раз, буква B встречается β раз, а остальные буквы попарно различны, составляются слова. Сколько среди них будет различных R-буквенных слов, содержащих H раз букву A и K раз букву B?
Ответ: .
80. Имеется колода из 4N (N³5) карт, которая содержит карты 4-х мастей по N карт каждой масти, занумерованных числами 1,2…N. Подсчитать, сколькими способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся:
5 последовательных карт одной масти;
4 карты из 5-ти с одинаковыми номерами;
3 карты с одним номером и 2 карты с другим;
5 карт одной масти;
5 последовательно занумерованных карт;
3 карты из 5-ти с одним и тем же номером;
Не более 2-х карт каждой масти.
Ответ: 4(N–4), 4N(N–1), 12N(N–1), , 45(N–4), , .
81. Сколькими способами можно расставить N нулей и K единиц так, чтобы между любыми 2-мя единицами находилось не менее M нулей?
Комбинаторика
Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество
Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество
Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.
Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен, т.е. по условию задачи подмножества <1,2>и <2,1>не различны (соединены).
Число сочетаний без повторений
Число сочетаний с повторениями
Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле
При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу, определяющую число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов
| Выбор | Неупорядоченный | Упорядоченный |
| Без повтора | ||
| С повтором |
Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;1;2>– различные. Повторов в подмножестве быть не может, так как шары не возвращаются в коробку.
ПРИМЕР 13.2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;2;1>дают число 123, т.е. не являются различными.
ПРИМЕР 13.2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.5. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «комар»?
ПРИМЕР 13.2.6. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «задача»?
Решение: Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза меньше, то есть .
ПРИМЕР 13.2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?
Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать штук.
ПРИМЕР 13.2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?
Решение: Составим вспомогательную таблицу
Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта выбора класса, то для всех 5 учеников существует способов распределения по классам.
ПРИМЕР 13.2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?
Решение: Произведем рассуждения “от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.
Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до , т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.
Тогда искомое число способов расстановки есть
ПРИМЕР 13.2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести.
ПРИМЕР 13.2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от 3 до 7 основных цветов?
Решение: Составим схему.
Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C – 4, т.е. всего маршрутов .
На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось . Тогда всего вариантов маршрута .
ПРИМЕР 13.2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
Решение: Рассуждения произведем несколькими способами
I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать способами.
Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме
Поэтому всего способов распределения учеников будет .
II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!
Варианты контрольной работы могут распределиться
“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”
“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,
Таким образом, всего способов распределения учеников будет .
По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.
ПРИМЕР 13.2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей за круглым шестиместным столом?
Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.
Если считать, что нам важно, кто сидит на каком стуле, то это простая задача на перестановки и, следовательно, всего вариантов .
Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).
В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.
Отметим, что каждое решение будет считаться правильным при соответствующей постановке задачи.
ПРИМЕР 13.2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “хорошо” и “отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из них оценки по экзаменационным предметам совпадают?
Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида
Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 13.1.8., и получить количество вариантов . Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “дерево решений”,который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.
По “дереву решений” видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на “хорошо” и “отлично” так, что их результаты будут отличаться, но если студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.
При решении задач комбинаторики используются следующие правила.
Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран nспособами, то:
Правило суммы: выбрать либо A, либо B можно m+n способами.
Правило произведения. Пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана способами.
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить комбинаторную задачу.
13.2.1.1. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.2. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать актив группы, состоящий из старосты, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
Отв.: 3628800
13.2.1.4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?
Отв.: 126126
13.2.1.5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв: а) ровно 5 символов? б) не более пяти символов?
Отв.: а)32; б) 62
13.2.1.6. Кости для игры в домино метятся двумя цифрами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существенен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 0,1,2,3,4,5,6?
13.2.1.7. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти различных звуков?
Отв.: 9864000
13.2.1.8. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
13.2.1.9. В некоторых странах номера трамвайных маршрутов обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
13.2.1.10. Команда компьютера записывается в виде набора из восьми цифровых знаков – нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?
13.2.1.11. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?
Отв.: 725760
13.2.1.12. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
13.2.1.13. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
13.2.1.14. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
Отв.: 9000000
13.2.1.15. У одного студента есть 7 DVD дисков, а у другого – 9 дисков. Сколькими способами они могут обменять 3 диска одного на 3 диска другого?
Отв.: 105840
13.2.1.16. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может два раза подняться на гору и спуститься с нее, если по одной и той же дороге нельзя проходить дважды?
13.2.1.17. У ювелира было 9 разных драгоценных камней: сапфир, рубин, топаз и т.д. Ювелир планировал изготовить браслет для часов, однако три камня было украдено. Насколько меньше вариантов браслета он может изготовить по сравнению с первоначальными планами?
Отв.: 362160
13.2.1.18. В поезд метро на начальной станции вошли 10 пассажиров. Сколькими способами могут выйти все пассажиры на последующих 6 станциях?
Отв.: 60466176
13.2.1.19. За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?
13.2.1.20. В классе 25 учеников. Верно ли утверждение, что, по крайней мере, у трех из них день рождения в один и тот же месяц?
13.2.1.21. На участке железной дороги расположено 25 станций с билетной кассой в каждой. Касса каждой станции продает билеты до любой другой станции, притом в обоих направлениях. Сколько различных вариантов билетов можно выдать на этом участке?
13.2.1.22. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?
В вазе стояли 7 красных и 8 белых гвоздик?
Сколькими способами можно выбрать из этой вазы букет состоящий из 3 красных и 2 белых гвоздик ответ должен получиться 980.
1. Выбрать 3 красные из 7 - 35 способами
Выбрать 2 белые из 8 - 28 способами
Букет из 3 красных и 2 белых можно составить
35 х 28 = 980 способами.
В вазе стоят 7 красных и 8 белых роз?
В вазе стоят 7 красных и 8 белых роз.
Наудачу выбирают 5 роз для букета.
Какова вероятность, что букет будет составлен из 2 красных и 3 белых роз?
Результат округлите до сотых.
У продавца было одинаковое количество гвоздик и роз?
У продавца было одинаковое количество гвоздик и роз.
Он составил букеты роз (по 3 цветка в букете) и из гвоздик (по 5 цветков в букете).
Всего получилось 16 букетов.
Сколько роз было у продавца?
В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз?
В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз.
Сколькими способами из вазы можно выбрать букет состоящий из двух белых и одной красной розы?
В Вазе стоят 10 белых и 5 красных роз?
В Вазе стоят 10 белых и 5 красных роз.
Определите , сколькими способами можно составить букет , который состоит из 2 - х белых и 1 красной розы.
В вазе розы красного цвета и розы белого цвета?
В вазе розы красного цвета и розы белого цвета.
Известно, что число красных роз на три больше чем число белых роз.
Из вазы произвольно вынимают 2 розы.
Вероятность, что розы будут разного цвета, равна 10 / 21.
Найти исходное число роз находящихся в вазе.
В оранжерее было срезано 360 гвоздик?
В оранжерее было срезано 360 гвоздик.
Причем красных на 80 больше, чем белых, а розовых на 160 штук меньше, чем красных.
Какое наибольшее число одинаковых букетов можно составить из этого количества цветов?
Сколько и каких цветов было в каждом букете.
(Пожалуйста с решением)
В вазе стоят 5 белых, 4 красных и 6 розовых роз?
В вазе стоят 5 белых, 4 красных и 6 розовых роз.
Какая вероятность того, то среди случайно вынутых из вазы роз не будет розовой?
В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик?
В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик.
Сколькими способами можна выбрать 5 гвоздик одного цвета?
В вазе стоит 7 красных и 5 белых гвоздик?
В вазе стоит 7 красных и 5 белых гвоздик.
Необходимо составить букет с трех цветов, в котором будет не менее двоих белых гвоздик.
Способов : а) 35 б) 80 в) 43 г) 240.
В каждом букете должно быть 2 красных и 3 белых розы?
В каждом букете должно быть 2 красных и 3 белых розы.
Какое наибольшее количество таких букетов можно составить из 40 красных и 50 белых роз?
Геометрическое определение вероятности события
Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай, когда число равновозможных исходов бесконечно.
Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е.
где mes G — мера множества возможных исходов (длина отрезка, площадь или объем области), а mes g —мера множества благоприятных исходов.
Пример 1.4.1.В круг наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что она не попадет в правильный треугольник, вписанный в этот круг.
Решение.В этом случае мерой множества возможных исходов является площадь круга: S=p×R 2 , а мерой множества благоприятных исходов — разность площадей круга и треугольника: . Следовательно, вероятность заданного события равна
Задачи
1.24. Точка брошена в круг радиуса R. Найдите вероятность того, что она попадает внутрь данного вписанного квадрата.
1.25. В квадрат с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,1), (1,0) наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что координаты этой точки удовлетворяют неравенству y < 2x.
1.26. Расстояние от пункта А до пункта В автобус проходит за 2 мин, а пешеход – за 15 мин. Интервал движения автобусов 25 мин. Вы подходите в случайный момент времени к пункту А и отправляетесь в пункт В пешком. Найдите вероятность того, что в пути вас догонит очередной автобус.
1.27. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов равновозможно в течение данных суток. Найдите вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки первого парохода 1 ч, а второго – 2 ч.
(Ответ: 0,121.)
1.28. В прямоугольник со сторонами 1 и 2 брошена точка А. Найдите вероятности следующих событий: а) расстояние от точки А до ближайшей стороны прямоугольника не превосходит х; б) расстояние от точки А до любой стороны прямоугольника не превосходит х; в) расстояние от точки А до ближайшей диагонали прямоугольника не превосходит х.
1.29. В квадрат со стороной а брошена точка А. Найдите вероятность того, что расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата меньше, чем расстояние от А до ближайшей диагонали.
Элементы комбинаторики
Очень часто непосредственный перебор всех возможных исходов опыта затруднителен в силу их большого количества. Для решения таких задач полезно использовать некоторые комбинаторные формулы.
Пусть Аi (i = 1,2. n) — элементы конечного множества.
Правило суммы. Если элемент А1может быть выбран п1 способами, элемент А2— другими п2способами, А3 — отличными от первых двух п3 способами и т.д., Аk — пk способами, отличными от первых (k – 1) способов, то выбор одного из элементов: или А1,или А2,. ,или Аk может быть осуществлен п1+п2+…+ пk способами.
Правило произведения. Если элемент А1может быть выбран п1 способами, после такого выбора элемент А2 может быть выбран п2 способами и т.д., после каждого (k – 1) выбора элемент Аk может быть выбран пk способами, то выбор всех элементов А1, А2. Аk в указанном порядке может быть осуществлен п1´п2´. ´пk способами.
Виды комбинаций
Пусть дано множество из п различных элементов. Из этого множества могут быть образованы подмножества из т элементов ( ).
Размещением из п элементов по т называется любое упорядоченное подмножество из т элементов множества, состоящего из п различных элементов, т.е. комбинации из n элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем, и другим). Число размещений определяется по формуле
Пример 1.5.1. Сколько двузначных чисел можно составить из трех цифр 3, 5, 7?
Решение. Каждый вариант чисел представляет набор 2 цифр из 3, отличающийся от других вариантов как составом цифр, так и порядком их следования, т.е. является размещением из 3 элементов по 2. Число вариантов чисел, т.е. число размещений из 3 по 2, находим по формуле:
Сочетанием из п элементов по т любое подмножество из т элементов множества, состоящего из п различных элементов, то есть комбинации из n элементов по т отличаются только составом элементов. Число сочетаний из п элементов по т:
Свойства числа сочетаний:
Пример 1.5.2. Сколько различных произведений из двух цифр можно составить, используя цифры 3, 5, 7.
Решение. Каждое произведение чисел представляет набор двух цифр из трёх, отличающийся от других только составом пар, то есть представляет собой сочетание двух цифр из трёх. Число вариантов произведения равно:
Перестановкой из п элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все п различных элементов данного множества, то есть комбинации из п элементов отличаются только порядком расположения этих элементов. Число перестановок из п элементов определяется по формуле:
Пример 1.5.3.Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?
Решение. Каждый вариант комбинации четырех чисел отличается только порядком расположения этих чисел, то есть является перестановкой из четырех чисел. Их число определяется по формуле:
Если в размещениях (сочетаниях) из п элементов по т некоторые из элементов (или все) могут оказаться одинаковыми, то такие размещения (сочетания) называют размещениями (сочетаниями) с повторениями.
Число размещений с повторениями определяется по формуле:
а число сочетаний с повторениями определяется по формуле: .
Пример 1.5.4. В конкурсе участвуют 7 участников по двум номинациям. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены: а) различные призы; б) одинаковые призы?
Решение. а) Каждый вариант распределения призов представляет собой комбинацию 2 призов среди 7 участников, отличающуюся от других комбинаций как составом участников, так и порядком их номинирования, причем одни и те же участники могут повторяться, т.е. представляет собой размещение с повторениями из 7 элементов по 2. Их число по формуле:
б) Если по каждой номинации установлены одинаковые призы, то порядок следования участников не имеет значения, а число вариантов распределения призов представляет собой число сочетаний с повторениями из 7 участников по 2:
Если в перестановках из общего числа п элементов есть k различных элементов, при этом первый элемент повторяется n1 раз, 2-й элемент – n2 раз, k-й элемент – nk раз, причем n1+n2+…+nk = п, то такие перестановки называют перестановками с повторениями из п элементов. Число перестановок с повторениями из п элементов определяется по формуле
Пример 1.5.5. Сколько существует пятизначных чисел, составленных из цифр 1, 2 и 3, в которых цифра 1 встречается 1 раз, а цифры 2 и 3 – по 2 раза?
Решение. Каждое пятизначное число отличается от другого порядком следования цифр (причем n1+ n2+ n3=5), т.е. представляет собой перестановки с повторениями из 5 элементов. Их число по формуле:
Пример 1.5.6. В группе 25 студентов. Вызываются во время занятия 3 студента. Полагая, что вызов производится случайно, определить, какова вероятность того, что будут вызваны данные 3 студента в определенном порядке (событие А).
Решение. В качестве одного исхода будем считать вызов любых трёх студентов в определённом порядке. Таким образом, каждый исход представляет собой размещение по 3 элемента из 25. Всего таких исходов будет , среди них благоприятствующий исход 1. Следовательно,
Пример 1.5.7. 10 человек садятся случайным образом за круглый стол. Найти вероятность того, что два определённых лица окажутся рядом.
Пример 1.5.8. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина (событие А).
Решение. Общее число всех возможных исходов — это число сочетаний из 25 человек по 3, т.е. n = . Число исходов благоприятствующих событию А, найдем как произведение числа сочетаний из 5 женщин по 2 и числа сочетаний из 20 мужчин по 1, т.е. . Тогда
Задачи
1.30. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одинаковой стоимости. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?
1.31. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнить переводы с любого из 5 языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского – на любой другой из этих 5 языков?
1.32. У одного студента 5 книг, у другого – 9. Все книги различные. Сколькими способами студенты могут произвести обмен: а) одной книги на книгу? б) 2 книги на 2 книги?
(Ответ: а) 45; б) 360.)
1.33.На вершину горы ведут 5 тропинок. Сколькими способами турист может подняться в гору и потом спуститься с нее? Решите эту задачу с дополнительным условием: подъем и спуск должны происходить по разным тропинкам.
(Ответ: 25; 20.)
1.34. Сколькими способами на шахматной доске можно указать: а) 2 клетки; б) 2 клетки одного цвета; в) 2 клетки разного цвета?
(Ответ: а) 2016; б) 992; в) 1024.)
1.35. Имеются 3 письма, каждое из которых можно послать по 6 различным адресам. Сколькими способами можно осуществить рассылку писем, если: а) никакие 2 письма не посылать по одному адресу; б) по одному можно адресу посылать более одного письма.
(Ответ: а) 120; б) 216.)
1.36. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человек при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?
(Ответ: 3024.)
1.37. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых состоит не более чем из 3 цифр. Сколько таких чисел можно составить, если: а) повторение цифр в числах не разрешается; б) разрешается повторение цифр?
(Ответ: а) 85; б) 155.)
1.38. Сколькими способами 3 различных подарка А, В и С можно сделать каким-то 3 из 15 лиц, если: а) никто не должен получать более одного подарка; б) подарок А должно получить определенное лицо?
(Ответ: а) 2730; б) 182.)
1.39. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?
1.40. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из пяти цифр, если первая цифра не равна нулю?
(Ответ: 90000.)
1.41. Сколькими способами можно расставить на полке семь различных книг, если: а) две определенные книги должны стоять рядом; б) эти две книги не должны стоять рядом?
(Ответ: а) 1440; б) 3600.)
1.42. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую – 5 и в третью – 12. Сколькими способами это можно сделать?
1.43. Для участия в команде тренер отбирает пять мальчиков из десяти. Сколькими способами он может сформировать команду, если два определенных мальчика должны войти в команду?
1.44. В течение четырех недель студенты сдают четыре экзамена, в том числе два экзамена по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены по неделям так, чтобы экзамены по математике не следовали один за другим?
1.45.Восемь человек должны сесть в два автомобиля, причем в каждом должно быть по крайней мере три человека. Сколькими способами они могут это сделать?
1.46. Сколько различных слов можно получить из всех букв слова «перестановка»?
(Ответ: 119750400.)
1.47. Сколько различных чисел можно получить, переставляя цифры числа 2 233 344 455?
(Ответ: 25200.)
1.48. Имеется 20 наименований товаров. Сколькими способами их можно распределить по трем магазинам, если известно, что в первый магазин должно быть доставлено восемь наименований, во второй – семь наименований и в третий – пять наименований товаров?
1.49. В вазе стоят 9 красных и 7 белых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее а) 3 гвоздики; б) 6 гвоздик одного цвета; в) 4 красных и 3 белых гвоздики?
1.50. Сколькими способами могут быть распределены три призовых места среди 16 соревнующихся?
1.51. В студенческой группе 12 девушек и 16 юношей. Сколькими способами можно выбрать двух студентов одного пола?
1.52. Сколько чисел, содержащих не менее трех попарно различных цифр, можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, 9?
1.53. Если подбросить одновременно три игральные кости, то сколько имеется различных возможных комбинаций выброшенных очков?
1.54. Из отряда солдат в 50 человек, среди которых есть рядовой Иванов, назначаются в караул 4 человека. Сколькими способами может быть составлен караул? В скольких случаях в число караульных попадет рядовой Иванов?
1.55. В цветочном магазине 7 видов цветов. Сколькими различными способами можно составить букет, содержащий 3 цветка?
1.56. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7, если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться?
1.57. Сколькими способами 3 награды могут быть распределены между 10 участниками соревнования?
1.58. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг (три горизонтальные полосы), если имеется материал 5 различных цветов?
1.59. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 10-ти томное собрание сочинений, располагая их: а) в произвольном порядке; б) так, чтобы I, V и IX тома стояли рядом (в любом порядке); в) так, чтобы I, II и III тома не стояли рядом (в любом порядке);
1.60. В комнате имеется 7 стульев. Сколькими способами можно разместить на них 7 гостей? 3 гостя?
1.61. Студенты сдают 5 экзаменов, в том числе 2 экзамена по математике. Сколькими способами можно распределить экзамены, но так, чтобы экзамены по математике следовали один за другим? Не следовали один за другим?
1.62. Владимир хочет пригласить в гости троих из семи своих лучших друзей. Сколькими способами он может выбрать приглашенных?
1.63. Сколькими способами можно разбить 8 предметов на две равные по количеству предметов группы?
1.64. Пять авторов должны написать задачник по математике, состоящий из 14 глав. Два автора напишут по 2 главы, два других – по 3 и еще один – 4 главы книги. Сколькими способами может быть распределен материал между авторами?
1.65. В ящике 15 деталей, среди которых 6 бракованных. Наудачу выбирается комплект из 5 деталей. Сколько всего комплектов, в каждом из которых 2 детали бракованные?
1.66. Пять человек вошли в лифт на первом этаже 9-ти этажного дома. Сколькими различными способами пассажиры могут выйти из лифта на нужном этаже? На восьмом этаже?
1.67. Встретившись перед занятиями 25 студентов, обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
1.68. Из состава конференции, на которой присутствуют 52 человека, надо избрать счетную комиссию, состоящую из 5 человек. 1) Сколькими способами это можно сделать? 2) Предположим, что в состав делегатов конференции входит Петров. Сколько существует способов выбора комиссии, при которых Петров входит в состав комиссии? 3) Сколько существует способов выбора комиссии, при которых Петров не входит в состав комиссии?
1.69. Сколько аккордов можно взять на 10 выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд может содержать от 3 до 10 звуков?
1.70. В гостиницу прибыли 12 человек, в которой есть один четырехместный, два трехместных и один двухместный номера. Сколько существует способов их размещения?
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.
Читайте также: