Какой знак будет иметь работа газа при его сжатии расширении в цилиндре

Добавил пользователь Алексей Ф.
Обновлено: 04.10.2024

Работа газа. Рассмотрим газ, находящийся в цилиндре с поршнем, позволяющем менять объем газа (рис 9.2)

Рассмотрим газ, находящийся в цилиндре с поршнем, позволяющем менять объем газа (рис 9.2). Отметим, что слово «газ» здесь совершенно условно. Это может быть жидкость, кристалл и вообще любое тело. Цилиндр контактирует с нагревателем или холодильником, который может сообщать газу тепло или отбирать его.

Пусть на поршень оказывается внешнее давление, величина которого может быть любой.

Все процессы, которые будем рассматривать ниже, будут квазистатическими, т.е. медленными настолько, чтобы можно было считать, что в каждый момент газ находится в состоянии т.д.р. Если очень быстро сжать газ, то давление его у поршня окажется на какой-то момент больше, чем в стальном объеме, и тогда нельзя будет говорить о давлении газа вообще. Такой процесс не является квазистатическим. Приближенно квазистатическими являются и процессы, достаточно быстрые с технической точки зрения, например процессы, происходящих в цилиндрах двигателя автомашины во время работы мотора (оказывается, для приближенной квазистатичности требуется, чтобы скорость поршня была мала по сравнению со скоростью звука в газе).

Работа над газом выполняется внешними силами при его сжатии. Работа самого газа выполняется при его расширении. Пусть газ расширяется так, что поршень на рис.9.2 поднимается на величину dx. Тогда газ выполнит работу (S – площадь поршня). Получим

Эта величина называется элементарной работой газа. Работа при расширении газа от объема V₁до V₂ будет равна

Если по одной оси отложить объем газа, по другой – его давление (плоскость P – V), то работа (9.9) будет изображаться площадью под кривой P(V) (рис.9.3).

Процесс расширения от объема V₁ до объема V₂ может происходить различным образом: например, можно при этом изолировать газ от нагревателя или, наоборот, нагревать газ и т.д. Иначе говоря, при перемещении из точки 1 в точку 2 в газе могут происходить различные процессы, даже если зафиксировано начальное и конечное состояния. В каждом процессе работа будет иметь свое значение, так как площадь под кривой процесса будет различной (кривые I, II, и III на рис.9.3). Таким образом, выполняемая газом работа зависит от процесса, который с ним происходит.

Заметим, что работа положительна, если она выполняется газом, и отрицательна, если внешние силы выполняют ее над газом.

Разделив величину силы на площадь поршня, получим давление P, а умножив на S, получим изменение объема газа dV . Таким образом, производимая над газом работа

dA= PdV. (2.30)

Такую же по величине работу совершает газ при расширении, перемещая поршень. При этом dV положительно, если газ расширяется, и отрицательно при сжатии газа. Соответственно работа dA положительна или отрицательна: в первом случае система производит работу сама, во втором — внешние силы производят работу над системой.

Графически процесс изменения состояния газа при его расширении или сжатии изображается на кривой P, V участком 1-2 на рис. Полная работа, совершаемая газом, при расширении от V₁ до V₂:

Эта работа численно равна заштрихованной площади, заключенной под кривой P(V).

Рассмотрим способы передачи телу тепла. При соприкосновении тел либо при взаимодействии тел через излучение, изменение внутренней энергии происходит за счет передачи энергии хаотически движущихся частиц одного тела частицам другого.

Энергия, передаваемая от одного тела другому, представляет собой теплоту. Обозначим ее через Q. Теплота измеряется в тех же единицах, что и энергия.

Связь между переданным теплом, изменением внутренней энергии системы и произведенной работой выражается уравнением

dQ = dE + dA = dE + PdV. (2.32)

Это уравнение представляет собой закон сохранения энергии применительно к механической и тепловой энергии макроскопических тел. Он получил название первого начала термодинамики.

Важно учесть, что в выражении (2.32) работа и количество тепла не есть полные дифференциалы каких-либо величин, в то время как внутренняя энергия является таковой. Можно говорить о внутренней энергии в данном состоянии, а не о количестве тепла или работы, которыми обладает тело. Нельзя делить энергию тела на тепловую и механическую, речь идет лишь об изменении внутренней энергии тела за счет количества тепла, переданного ему или отданного им, и количества совершенной работы. Это разделение неоднозначно и зависит от начального и конечного состояний тела и от характера совершаемого процесса. Поэтому, например, в процессе перехода из состояния 1 в состояние 2 изменение внутренней энергии может быть равно нулю, а тело при этом может приобрести или потерять энергию.

Какой знак будет иметь работа газа при его сжатии расширении в цилиндре

Модель иллюстрирует учебную тему «Термодинамика. Работа газа».

Вводится понятие «работа газа», рассматриваются особенности работы газа при изохорном, изобарном, изотермическом и адиабатном процессах.

При расширении работа, совершаемая газом, положительна, при сжатии – отрицательна. В общем случае при переходе из некоторого начального состояния (1) в конечное состояние (2) работа газа выражается формулой: или в пределе при :

В изохорном процессе () газ работы не совершает,

В изобарном процессе () работа, совершаемая газом, выражается соотношением:

В изотермическом процессе температура газа не изменяется, следовательно, не изменяется и внутренняя энергия газа, .

Первый закон термодинамики для изотермического процесса выражается соотношением .

Количество теплоты , полученной газом в процессе изотермического расширения, превращается в работу над внешними телами. При изотермическом сжатии работа внешних сил, произведенная над газом, превращается в тепло, которое передается окружающим телам.

Наряду с изохорным, изобарным и изотермическим процессами в термодинамике часто рассматриваются процессы, протекающие в отсутствие теплообмена с окружающими телами. Сосуды с теплонепроницаемыми стенками называются адиабатическими оболочками , а процессы расширения или сжатия газа в таких сосудах называются адиабатическими .

Работа газа в адиабатическом процессе выражается через температуры и начального и конечного состояний:

Модель может быть использована в режиме ручного переключения кадров и в режиме автоматической демонстрации ( Фильм ).

Первый закон термодинамики

Газ, находящийся в сосуде под поршнем, действует на поршень с силой , где — давление газа, — площадь поршня. Если при этом поршень перемещается, то газ совершает работу.

При расширении газа эта работа будет положительной (сила давления газа и перемещение поршня направлены в одну сторону). При сжатии работа газа отрицательна (сила давления газа и перемещение поршня направлены в противоположные стороны).

Работа газа в изобарном процессе

Предположим, что газ расширяется при постоянном давлении . Тогда сила , с которой газ действует на поршень, также постоянна. Пусть поршень переместился на расстояние (рис. 1 ).

Работа газа равна:

Но — изменение объёма газа. Поэтому для работы газа при изобарном расширении мы получаем формулу:

Если и — начальный и конечный объём газа, то для работы газа имеем: . Изобразив данный процесс на -диаграмме, мы видим, что работа газа равна площади прямоугольника под графиком нашего процесса (рис. 2 ).

Рис. 2. Работа газа как площадь

Пусть теперь газ изобарно сжимается от объёма до объёма . С помощью аналогичных рассуждений приходим к формуле:

Но , и снова получается формула (1) .

Работа газа опять-таки будет равна площади под графиком процесса на -диаграмме, но теперь со знаком минус.

Итак, формула выражает работу газа при постоянном давлении — как в процессе расширения газа, так и в процессе сжатия.

Работа газа в произвольном процессе

Геометрическая интерпретация работы газа (как площади под графиком процесса на -диаграмме) сохраняется и в общем случае неизобарного процесса.

Действительно, рассмотрим малое изменение объёма газа — настолько малое, что давление будет оставаться приблизительно постоянным. Газ совершит малую работу . Тогда работа газа во всём процессе найдётся суммированием этих малых работ:

Но данный интеграл как раз и является площадью криволинейной трапеции (рис. 3 ):

Рис. 3. Работа газа как площадь

Работа, совершаемая над газом

Наряду с работой , которую совершает газ по передвижению поршня, рассматривают также работу , которую поршень совершает над газом.

Если газ действует на поршень с силой , то по третьему закону Ньютона поршень действует на газ с силой , равной силе по модулю и противоположной по направлению: (рис. 4 ).

Рис. 4. Внешняя сила , действующая на газ

Следовательно, работа поршня равна по модулю и противоположна по знаку работе газа:

Так, в процессе расширения газ совершает положительную работу 0 \right )' alt='\left ( A> 0 \right )' /> ; при этом работа, совершаемая над газом, отрицательна . Наоборот, при сжатии работа газа отрицательна , а работа, совершаемая поршнем над газом, положительна 0 \right )' alt='\left ( ' > 0 \right )' /> .

Будьте внимательны: если в задаче просят найти работу, совершённую над газом, то имеется в виду работа .

Как мы знаем, существует лишь два способа изменения внутренней энергии тела: теплопередача и совершение работы.

Опыт показывает, что эти способы независимы — в том смысле, что их результаты складываются. Если телу в процессе теплообмена передано количество теплоты , и если в то же время над телом совершена работа , то изменение внутренней энергии тела будет равно:

Нас больше всего интересует случай, когда тело является газом. Тогда (где , как всегда, есть работа самого газа). Формула (2) принимает вид: , или

Соотношение (3) называется первым законом термодинамики. Смысл его прост: количество теплоты, переданное газу, идёт на изменение внутренней энергии газа и на совершение газом работы.

Напомним, что величина может быть и отрицательной: в таком случае тепло отводится от газа. Но первый закон термодинамики остаётся справедливым в любом случае. Он является одним из фундаментальных физических законов и находит подтверждение в многочисленных явлениях и экспериментах.

Применение первого закона термодинамики к изопроцессам

Напомним, что в изопроцессе остаётся неизменным значение некоторой величины, характеризующей состояние газа — температуры, объёма или давления. Для каждого вида изопроцессов запись первого закона термодинамики упрощается.

1. Изотермический процесс, .
Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Если температура газа не меняется, то не меняется и внутренняя энергия: . Тогда формула (3) даёт:

Всё подведённое к газу тепло идёт на совершение газом работы.

2. Изохорный процесс, .
Если объём газа остаётся постоянным, то поршень не перемещается, и потому работа газа равна нулю: . Тогда первый закон термодинамики даёт:

Всё тепло, переданное газу, идёт на изменение его внутренней энергии.

3. Изобарный процесс, .
Подведённое к газу тепло идёт как на изменение внутренней энергии, так и на совершение работы (для которой справедлива формула (1) ). Имеем:

Адиабатный процесс

Процесс называется адиабатным, если он идёт без теплообмена с окружающими телами.

Адиабатный процесс совершается газом, находящимся в теплоизолированном сосуде. Такой сосуд препятствует всем видам теплопередачи: теплопроводности, конвекции, излучению. Пример теплоизолированного сосуда — термос.

Приблизительно адиабатным будет всякий процесс, протекающий достаточно быстро: в течение процесса теплообмен просто не успевает произойти.

При адиабатном процессе . Из первого закона термодинамики получаем: , или .

В процессе адиабатного расширения газ совершает положительную работу, поэтому (работа совершается за счёт убыли внутренней энергии). Следовательно, газ охлаждается. Если заставить газ совершить достаточно большую работу, охладить его можно весьма сильно. Именно на этом основаны методы сжижения газов.

Наоборот, в процессе адиабатного сжатия будет , поэтому 0' alt='\Delta U > 0' /> : газ нагревается. Адиабатное нагревание воздуха используется в дизельных двигателях для воспламенения топлива.

Кривая, изображающая ход адиабатного процесса, называется адиабатой. Интересно сравнить ход адиабаты и изотермы на -диаграмме (рис. 5 ).

Рис. 5. Сравнительный ход изотермы и адиабаты

В обоих процессах давление убывает с увеличением объёма, но в адиабатном процессе убывание идёт быстрее. Почему?

При изотермическом расширении давление падает потому, что уменьшается концентрация частиц газа, в результате чего удары частиц по стенкам сосуда становятся реже. Однако интенсивность этих ударов остаётся прежней: ведь температура газа не меняется — значит, не меняется и средняя кинетическая энергия его частиц.

А при адиабатном расширении, наряду с уменьшением концентрации частиц, падает также и температура газа. Удары частиц становятся не только более редкими, но и более слабыми. Вот почему адиабата убывает быстрее изотермы.

Работа при расширении или сжатии газа

Найдем работу, которая совершается при расширении или сжатии газа, заключенного в сосуде с подвижным поршнем площадью . Внешняя сила, действующая на поршень . При перемещении поршня вверх на малое расстояние газ совершает элементарную работу , где - изменение объема газа. Если изменение объема происходит квазистатически, то в любой момент времени газ находится в равновесном состоянии с внешней средой и его давление Элементарная работа газа в равновесном (квазистатическом) процессе изменения его объема: . Т.к., > 0, то при расширении газ совершает положительную работу. При сжатии < 0, значит, < 0 – работа газа отрицательна, положительную работу в этом случае совершают внешние силы.

Если давление постоянное, то работа , при работа вычисляется как сумма элементарных работ, т.е., путем интегрирования:

. Это численно равно площади под кривой на соответствующем графике, рис. Эти выражения справедливы при любых изменениях объема твердых, жидких и газообразных тел.

Б-8

1. Третий закон Ньютона.

наблюдения и опыты свидетельствуют, что механическое действие тел одного на другое всегда является взаимодействием. Если тело 2 действует на тело 1, то тело 1 обязательно действует на тело 2. на ведущие колеса автомобиля со стороны шоссе действует сила трения покоя в сторону движения автомобиля, а колеса действуют на шоссе с силами трения покоя в противоположные стороны.

Количественное описание механического взаимодействия было дано Ньютоном в его III-ем законе динамики.

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, взаимодействия двух тел друг на друга равны между собой и направлены в противоположные стороны.

для точек: две материальные точки действуют друг на друга с силами равными по величине, направленные в противоположные стороны вдоль линий их соединения.

2. Гармонические колебания. Уравнение гармонических колебаний.

Потенциальная и кинетическая энергия колебаний.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

или

3. Изопроцессы идеального газа: изохорный.

Изохорный процесс, .(закон Шарля).

На диаграмме это вертикальная прямая: 1 – 2 нагрев , а 1 - 3 охлаждение. Практически этот процесс проводят, изменяя температуру газа, находящегося в толстостенном сосуде с неизменным объемом. В этом процессе работа не совершается: . Вся теплота идет на изменение его внутренней энергии. ,

(1), где - молярная теплоемкость при постоянном объеме. Из опытов известно, что зависит от химического состава газа и его Т. Для не очень широкой области температур можно считать, что =const.

При изохорном конечном нагреве газа от температуры Т₁ до температуры Т₂ изменение внутренней энергии равно

(2), и теплота, сообщенная системе:

Для идеального газа внутренняя энергия это энергия теплового движения молекул, непосредственно не зависящая от объема (расстояния между молекулами), как в реальных газах. При расширении и сжатии газа его будет изменяться только за счет изменения кинетической энергии теплового движения, т.е., за счет температуры. Таким образом, соотношения (1) и (2) справедливы для любого процесса изменения состояния идеального газа, а не только изохорного. Внутренняя энергия газа зависит только от его массы, химического состава и температуры. Это подтверждается опытами Гей – Люссака и Джоуля.

Значит, для любого равновесного процесса изменения состояния идеального газа уравнение первого закона термодинамики имеет вид:

Б-9

1. Затухающие колебания. Период колебаний. Добротность.

Добротность — характеристика колебательной системы, определяющая остроту резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в реактивных элементах контура больше, чем потери энергии на активных за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии в течение каждого периода. Колебания в системе с высокой добротностью затухают медленно

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

f — частота колебаний

W — энергия, запасённая в колебательной системе

P_d — рассеиваемая мощность.

2. Принцип относительности Галилея.

Значит ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно одинаково. Тогда если одна из систем инерциальная, то другая также будет инерциальная .

А значит и силы действующие на тела в разных инерциальных системах одинаковы. Масса в Ньютоновской механике также одинакова во всех системах отсчета. Из сказанного следует вывод, что уравнение динамики не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой или как говорят они инвариантны по отношению к преобразованию координат, соответствующему переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это значит что, с механической точки зрения все инерциальные системы отсчета эквивалентны, ни одной из них нельзя отдать предпочтение перед другими. Практически ни какими опытами нельзя установить находится ли данная ИСО в покое или движется равномерно и прямолинейно. Находясь, например, в вагоне поезда, движущегося равномерно и прямолинейно нельзя установить (не выглянув в окно) движется ли он или находится в состоянии покоя. Мяч в вагоне поезда получит такое же ускорение, как и на Земле при действии одинаковой силы. Свободное падение тел и другие механические процессы будут происходить в вагоне также как если бы он покоился. подобное наблюдение и опыты проводил еще Галилей, поэтому положение о том, что все механические явления в разных ИСО протекают одинаковым образом это называется принципом относительности Галилея.

(Галилей установил, что если взять различные тела, движущиеся равномерно и прямолинейно и связать с каждым из них систему отсчета (такие системы называются инерциальными), то никакими механическими опытами внутри каждой из систем нельзя установить движется эта система или покоится. Мяч в вагоне поезда, который движется прямолинейно с постоянной скоростью, получит такое же ускорение, как и мяч на земле при действии на него такой же силы.

Все подобные опыты и наблюдения показывают, что относительно всех инерциальных систем отсчета тела получают одинаковое ускорение при одинаковых воздействиях на них других тел: значит все инерциальные системы равномерны относительно причин ускорений, т.е. силы одинаковы. Во всех инерциальных системах свойства пространства и времени одинаковы, одинаковы также все законы механики. Это утверждение называется принципом относительности Галилея, одного из важнейших принципов ньютоновской механики, (т.е. при ). Этот принцип выделяет инерциальные системы отсчета, как наиболее важные при изучении механических явлений.)

3. Изопроцессы идеального газа: изобарный.

Изобарный процесс, . ( Закон Гей -Люссака)

Он реализуется при нагревании газа в цилиндре с подвижным поршнем, на который действует постоянное внешнее давление.

На рис. изображены процессы изобарного расширения газа при его нагревании (1-2) и изобарного сжатия при его охлаждении (2-3).

Элементарная теплота, сообщенная газу в изобарном процессе:

(5), где - молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Элементарная работа, совершенная идеальным газом при этом:

(6), учитывая уравнение Менделеева –Клапейрона.

Из последнего уравнения можно выяснить смысл :

, т.е. универсальная газовая постоянная численно равна работе, совершенной одним молем идеального газа при его изобарном нагревании на 1К.

Подставим в первый закон выражения для и и найдем связь между и :

, откуда: (7) – уравнение Майера для молярных теплоемкостей. Отсюда видно, что при изобарном нагревании газа к нему должна быть подведена большая теплота, чем для такого же изохорного нагревания, разность их равна работе, совершенной газом при изобарном расширении.

Работа газа при изобарном расширении при переходе из состояния 1 в состояние 2 , рис.

Если постоянная, то теплота, сообщенная газу в изобарном процессе:

(9), а изменение внутренней энергии в процессе:

Б-10

1. Преобразования Галилея.

Преобразование Галилея

позволяет определить величины при переходе от одной инерциальной системы к другой. движется со скоростью относительно . Взяв начало отсчета времени, момент когда системы совпадали запишем: соотношение между и одной и той же точки в и системе.

Подразумевается, что длины отрезков и ход времени не зависит от состояния движения и одинаковы в системе и . Предположение об абсолютности пространства и времени лежит в основе Ньютоновской механики подтвержденной многочисленными экспериментами для . Продифференцировав, получим

- закон преобразования скоростей.

После второго дифференцирования т.е. ускорение не изменяется. Уравнения (*) называются преобразованием Галилея. Итого:

2. Вынужденные колебания.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней силы, меняющейся во времени.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: .

Какой знак будет иметь работа газа при его сжатии расширении в цилиндре

И сторическая справка.

1) М.В. Ломоносов, проведя стройные рассуждения и простые опыты, пришел к выводу, что «причина теплоты состоит во внутреннем движении частиц связанной материи… Весьма известно, что тепло возбуждается движением: руки от взаимного трения согреваются, дерево загорается, искры вылетают при ударе кремнием о сталь, железо накаливается при ковании его частиц сильными ударами»

2) Б. Румфорд, работая на заводе по изготовлению пушек, заметил, что при сверлении пушечного ствола он сильно нагревается. Например, он помещал металлический цилиндр массой около 50 кг в ящик с водой и, сверля цилиндр сверлом, доводил воду в ящике до кипения за 2.5часа.

3) Дэви в 1799 году осуществил интересный опыт. Два куска льда при трении одного о другой начали таять и превращаться в воду.

4) Корабельный врач Роберт Майер в 1840 году во время плавания на остров Яву заметил, что после шторма вода в море всегда теплее, чем до него.

Вычисление работы.

В механике работа определяется как произведение модулей силы и перемещения: A=FS. При рассмотрении термодинамических процессов механическое перемещение макротел в целом не рассматривается. Понятие работы здесь связывается с изменением объема тела, т.е. перемещением частей макротела друг относительно друга. Процесс этот приводит к изменению расстояния между частицами, а также часто к изменению скоростей их движения, следовательно, к изменению внутренней энергии тела.

Пусть в цилиндре с подвижным поршнем находится газ при температуре T₁ (рис.). Будем медленно нагревать газ до температуры T₂. Газ будет изобарно расширяться, и поршень переместится из положения 1 в положение 2 на расстояние Δl. Сила давления газа при этом совершит работу над внешними телами. Так как p = const, то и сила давления F = pS тоже постоянная. Поэтому работу этой силы можно рассчитать по формуле A=F Δ l =pS Δ l =p Δ V , A= p Δ V

где ΔV — изменение объема газа. Если объем газа не изменяется (изохорный процесс), то работа газа равна нулю.

Почему при сжатии или расширении меняется внутренняя энергия тела? Почему при сжатии газ нагревается, а при расширении охлаждается?

Причиной изменения температуры газа при сжатии и расширении является следующее: при упругих соударениях молекул с движущимся поршнем их кинетическая энергия изменяется.

Если газ сжимается, то при столкновении движущийся навстречу поршень передаёт молекулам часть своей механической энергии, в результате чего газ нагревается;

Если газ расширяется, то после столкновения с удаляющимся поршнем скорости молекул уменьшаются. в результате чего газ охлаждается.

При сжатии и расширении меняется и средняя потенциальная энергия взаимодействия молекул, так как при этом меняется среднее расстояние между молекулами.

Работа внешних сил, действующих на газ

При сжатии газа, когда Δ V = V ₂ – V ₁ < 0 , A>0, направления силы и перемещения совпадают;
При расширении, когда Δ V = V ₂ – V ₁ > 0 , A<0, направления силы и перемещения противоположны.

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для двух состояний газа:

pV 1 = m/M*RT 1 ; pV 2 =m/M* RT 2 ⇒

p ( V 2 − V 1 )= m/M* R ( T 2 − T 1 ).

Следовательно, при изобарном процессе

A = m/M* R Δ T .

Если m = М (1 моль идеального газа), то при ΔΤ = 1 К получим R = A. Отсюда вытекает физический смысл универсальной газовой постоянной: она численно равна работе, совершаемой 1 моль идеального газа при его изобарном нагревании на 1 К.

Геометрическое истолкование работы:

На графике p = f(V) при изобарном процессе работа равна площади заштрихованного на рисунке а) прямоугольника.

Если процесс не изобарный (рис. б), то кривую p = f(V) можно представить как ломаную, состоящую из большого количества изохор и изобар. Работа на изохорных участках равна нулю, а суммарная работа на всех изобарных участках будет равна площади заштрихованной фигуры. При изотермическом процессе (Т = const) работа равна площади заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке в.

Какой знак будет иметь работа газа при его сжатии расширении в цилиндре

Каждый учитель физики при желании может самостоятельно сконструировать компьютерную лабораторную работу, используя интерактивные модели из мультимедийного курса «Открытая Физика 2.6». Для этого рекомендуется использовать тот же алгоритм для создания лабораторных работ, который применен в данном мультимедийном курсе. Сначала рекомендуется разобрать теорию вопроса, затем ответить на контрольные вопросы, потом выполнить задачи, при решении которых необходимо провести компьютерный эксперимент и проверить полученный результат.

Компьютерная лабораторная работа «Работа газа»

Цель работы. Определение работы газа при расширении и сжатии, взаимосвязи количества теплоты, получаемой газом при различных процессах и внутренней энергии.

Внутренняя энергия одного моля идеального одноатомного газа (гелий, неон и др.), молекулы которого совершают только поступательное движение, зависит только от температуры .

Поскольку потенциальная энергия взаимодействия молекул зависит от расстояния между ними, в общем случае внутренняя энергия тела зависит наряду с температурой также и от объема :

Таким образом, внутренняя энергия тела однозначно определяется макроскопическими параметрами, характеризующими состояние тела . Она не зависит от того, каким путем было реализовано данное состояние. Принято говорить, что внутренняя энергия является функцией состояния.

Используя уравнение Менделеева–Клайперона, можно представить выражение для внутренней энергии идеального одноатомного газа в виде

Внутренняя энергия тела может изменяться, если действующие на него внешние силы совершают работу (положительную или отрицательную). Например, если газ подвергается сжатию в цилиндре под поршнем, то внешние силы совершают над газом некоторую положительную работу . В то же время силы давления, действующие со стороны газа на поршень, совершают работу . Если объем газа изменился на малую величину , то газ совершает работу , где – давление газа, – площадь поршня, – его перемещение. При расширении работа, совершаемая газом, положительна, при сжатии – отрицательна. В общем случае при переходе из некоторого начального состояния (1) в конечное состояние (2) работа газа выражается формулой (рис. 3.2.1):

Три различных пути перехода из состояния (1) в состояние (2). Во всех трех случаях газ совершает разную работу, равную площади под графиком процесса (Рис. 3.2.2).

Процессы, изображенные на рис. 3.2.2, можно провести и в обратном направлении; тогда работа просто изменит знак на противоположный. Процессы такого рода, которые можно проводить в обоих направлениях, называются обратимыми.

Внутренняя энергия тела может изменяться не только в результате совершаемой работы, но и вследствие теплообмена. При тепловом контакте тел внутренняя энергия одного из них может увеличиваться, а внутренняя энергия другого – уменьшаться. В этом случае говорят о тепловом потоке от одного тела к другому. Количеством теплоты , полученной телом, называют изменение внутренней энергии тела в результате теплообмена.

При расширении газ совершает положительную работу , равную площади под кривой , при сжатии газ совершает отрицательную работу , равную по модулю площади под кривой . Полная работа за цикл на диаграмме () равна площади цикла. Работа положительна, если цикл обходится по часовой стрелке, и отрицательна, если цикл обходится в противоположном направлении (Рис. 3.2.3).

Круговой процесс на диаграмме (). – кривая расширения, – кривая сжатия. Работа в круговом процессе равна площади фигуры .

Порядок выполнения компьютерной лабораторной работы:

I. Ответить на вопросы к лабораторной работе:

1. Газ изохорно нагревался, при этом ему передали количество теплоты 400 Дж. Как изменилась его внутренняя энергия?
А) Не изменилась.
Б) Внутренняя энергия увеличилась на 400 Дж, работа газа равна нулю.
В) Внутренняя энергия уменьшилась на 400 Дж, работа газа равна нулю.
Г) Внутренняя энергия увеличилась на 400 Дж, работа газа положительна.
Д) Внутренняя энергия уменьшилась на 400 Дж, работа газа отрицательна.

2. Газ, расширяясь, совершает работу 100 Дж. При этом ему сообщают количество теплоты 300 Дж. Как изменилась его внутренняя энергия?
А) Увеличилась на 400 Дж.
Б) Уменьшилась на 400 Дж.
В) Не изменилась.
Г) Возросла на 200 Дж.
Д) Уменьшилась на 200 Дж.

3. На рисунке изображен график изотермического процесса в координатах , . При переходе из состояния 1 в состояние 2:
А) внутренняя энергия газа возросла;
Б) давление газа неизменно;
В) работа, совершаемая внешними телами, положительна;
Г) газу сообщили некоторое количество теплоты;
Д) температура газа в процессе сжатия возросла.

4. 20 молей одноатомного идеального газа нагрели на 50 К. Какую работу при этом совершил газ, если процесс изобарический?
А) 831 Дж
Б) 554 Дж
В) 1,39 кДж
Г) 5,54 кДж
Д) 8,31 кДж

5. Газ совершил одинаковую работу при изотермическом и адиабатическом процессах. Его внутренняя энергия:
А) в обоих случаях уменьшилась;
Б) в обоих случаях увеличилась;
В) в обоих случаях не изменилась;
Г) при адиабатическом процессе не изменилась, при изотермическом процессе уменьшилась;
Д) при изотермическом процессе не изменилась, при адиабатическом процессе уменьшилась.

6. Изменение внутренней энергии идеального газа при изотермическом процессе:
А) изменение внутренней энергии пропорционально полученному количеству теплоты;
Б) внутренняя энергия идеального газа не меняется;
В) может принимать любые значения;
Г) положительно при расширении;
Д) отрицательно при сжатии.

7. Определить работу, совершенную 1 молем одноатомного газа при увеличении его объема при изобарном нагревании на 100 К.
А) 83,1 Дж
Б) 55,4 Дж
В) 138,5 Дж
Г) 831 Дж
Д) 554 Дж

8. Чему равна работа, совершенная газом при переходе из состояния 1 в состояние 2, если ?
А) 15 Дж
Б) 20 Дж
В) 60 Дж
Г) 80 Дж
Д) 100 Дж

9. Чему равна работа, совершенная газом при переходе из состояния 1 в состояние 2, если , V₂ = 4 м 3 ?
А) 15 Дж
Б) 20 Дж
В) 60 Дж
Г) 80 Дж
Д) 100 Дж

10. Какое выражение соответствует первому закону термодинамики для теплоизолированной системы?
А)
Б)
В)
Г)
Д)

Описание работы интерактивной модели

Модель иллюстрирует понятие работы газа в различных процессах (Рис. 3.2.4).

Можно выбирать форму зависимости (линейная зависимость, квадратичная или экспоненциальная) и определять величину произведенной газом работы. Эта работа численно равна площади под кривой, описывающей процесс на диаграмме.

Выводится энергетическая диаграмма, на которой указываются количество полученной газом теплоты , совершенная работа и изменение внутренней энергии газа в данном процессе. Количество теплоты и совершенная работа зависят от вида процесса перехода из начального состояния в конечное, а изменение внутренней энергии не зависит от вида процесса и определяется только начальным и конечным состояниями газа.

Задания к лабораторной работе:

1. Газ расширяется и совершает процесс, который в координатах выглядит как прямая линия. Начальные условия: = 10 кПа, = 50 дм 3 , конечные условия: = 30 кПа, = 200 дм 3 . Определить работу, которую совершил газ. При работе с компьютерной моделью обратить внимание на то, что при подведении курсора к начальной точке в окне появляются начальные данные о температуре, давлении и объеме газа, а при подведении курсора к конечной точке – в окне появляются конечные данные (рис. 3.2.5)

Провести компьютерный эксперимент и проверить ответ. Зарисовать полученное решение (рис. 3.2.6)

2. Газ совершает процесс, который в координатах выглядит как прямая линия. Начальные условия: = 30 кПа, = 200 дм 3 , конечные условия: = 10 кПа, = 50 дм 3 . Определить работу, которую совершил газ в обратимом процессе при сжатии. Провести компьютерный эксперимент и проверить ответ. Зарисовать полученное решение.

3. На сколько увеличится работа, совершаемая газом, если начальные условия: = 10 кПа, = 50 дм 3 , конечные условия: = 40 кПа, = 200 дм 3 ? Провести компьютерный эксперимент и проверить ответ. Зарисовать полученное решение.

4. Идеальный газ совершает изобарический процесс. Начальные условия: = 30 кПа, = 50 дм 3 , = 180,51 К; конечные условия: = 30 кПа, = 200 дм 3 , = 722,02 К. Определить работу , совершенную газом, количество теплоты , полученной газом, изменение внутренней энергии . Провести компьютерный эксперимент и проверить ответ. Зарисовать полученное решение.

5. Идеальный газ совершает изотермический процесс. Начальные условия: = 40 кПа, = 50 дм 3 , = 240,67 К; конечные условия: = 10 кПа, = 200 дм 3 , = 240,67 К. Определить работу , совершенную газом, количество теплоты , полученной газом, изменение внутренней энергии . Провести компьютерный эксперимент и проверить ответ. Зарисовать полученное решение.

Ответ внести в таблицу:

Номер вопроса	1	2	3	4	5
Ответ

Методические указания (для учителя)

В процессе работы интерактивной модели рекомендуется несколько раз нажать на кнопку «стоп». Обратить внимание учащихся на изменение и .

Какой знак будет иметь работа газа при его сжатии расширении в цилиндре

Какую работу совершает газ при переходе из состояния 1 в состояние 3? (Ответ дайте в кДж.)

На диаграмме p—V работе, совершаемой газом при переходе из начального состояния в конечное, соответствует площадь под линией, изображающей процесс перехода.

Для процесса 1—2—3 эта площадь показана на рисунке штриховкой. Таким образом, при переходе из состояния 1 в состояние 3 газ совершает работу

Какую работу совершает газ при переходе из состояния 1 в состояние 3? (Ответ дайте в кДж.)

На диаграмме p—V работе, совершаемой газом при переходе из начального состояния в конечное, соответствует площадь под линией, изображающей процесс перехода. Для процесса 1—2—3 эта площадь показана на рисунке штриховкой. Таким образом, при переходе из состояния 1 в состояние 3 газ совершает работу

Поясните,почему умножение идет 2х10^5 ,когда газ совершает работу от 1 до 2, вроде должно быть 1х10^5,а по ответу получается от 0 до 2.

На участке 1-2 вообще не совершается работа, так как объем газа на этом этапе не изменяется. Вся работа совершается на участке 2-3. Общее правило следующее, если процесс изображен на диаграмме , то работа равна площади под графиком со знаком плюс, если объем увеличивается, и со знаком минус, если уменьшается. Для тепловой машины, работающей по циклу, полезная работа равна площади ограниченной этим циклом, это укладывается в ранее озвученное правило. Когда мы идем по "верхней" части цикла, работа идет в +, потом возвращаемся по "нижней" в исходную точку, работа теперь идет в -, в результате остается только кусок внутри.

Алексей, вот Вы сказали, что "на участке 1-2 вообще не совершается работа, так как объем газа на этом этапе не изменяется."

а на участке 2-3 ведь не меняется давление.Так почему работа там совершается? Разве не A=pV ?

Не, не так. Давайте разбираться.

Будем выводить формулу, по которой можно посчитать работу совершенную газом. Когда газ работает? Когда он что-то перемешает. Для этого должен как-то меняться его объем. Например, газ расширяется и толкает поршень вверх, а с ним и какой-то груз, вот Вам и работа. То есть без изменения объема нет работы.

Чтобы вывести формулу, рассмотрим модельную задачу. Рассмотрим цилиндрический сосуд с газом. Пусть сосуд закрыт подвижным поршнем площади . Давление газа равно . Определим, какую работу совершит газ, когда поршень сдвинется на малое расстояние . Так как это работа на малом перемещении, то назовем ее элементарной работой и обозначим через . Работа газа равна произведению силы, с которой он давит на поршень, на перемещение поршня (газ давит нормально, поэтому косинуса не возникает): . Но сила, с которой газ давит на поршень связана с давлением газа соотношением: . Если перемещение поршня мало, то можно считать, что давление газа не изменяется сильно и что оно остается постоянным. Тогда: . Но — это как раз изменение объема газа . Окончательно имеем: .

Получив эту формулу, можно забыть о том, как она выводилась (про сосуд и поршень), она оказывается верной для любого малого изменения объема.

Теперь, чтобы найти работу на конечном изменении объема нужно просуммировать работы по малым изменения, в математике это делается при помощи интеграла: Если внимательно приглядеться, то тут можно как раз увидеть площадь под линией процесса на диаграмме . Вот почему говорят, что для поиска работы надо искать площадь под графиком на этой диаграмме.

Для частных случаев формула приобретает вид:

1) при изобарном процессе давление выносится за знак интеграла и получаем:

2) при изохорном объем не изменяется, поэтому пределы интегрирования совпадают, интеграл равен нулю, работа равна нулю.

3) при изотермическом процессе, давление уже изменяется с объемом, поэтому надо добавить в рассмотрение уравнение Клапейрона-Менделеева: . Следовательно, . А значит работа при изотермическом процессе равна:

§ 5.1. Работа в термодинамике

В механике рассматривается движение макроскопических тел. Работа определяется как произведение модулей силы и перемещения и косинуса угла между направлениями силы и перемещения. Работа совершается при действии силы или нескольких сил на движущееся макроскопическое тело и равна изменению его кинетической энергии.

В термодинамике движение тела как целого не рассматривается и речь идет о перемещении частей макроскопического тела друг относительно друга. При совершении работы меняется объем тела, а его скорость остается равной нулю. Но скорости молекул тела, например газа, меняются. Поэтому меняется и температура тела.

Причина состоит в следующем: при упругих соударениях молекул с движущимся поршнем (для случая сжатия газа) их кинетическая энергия изменяется. Так, при движении навстречу молекулам поршень во время столкновений передает им часть своей механической энергии, в результате чего газ нагревается. Поршень действует подобно футболисту, встречающему летящий мяч ударом ноги и сообщающему мячу скорость, значительно большую той, которой он обладал до удара(1).

И наоборот, если газ расширяется, то после столкновения с удаляющимся поршнем скорости молекул уменьшаются, в результате чего газ охлаждается. Так же действует футболист: чтобы уменьшить скорость летящего мяча или остановить его, нога футболиста движется от мяча, как бы уступая ему дорогу.

Итак, при совершении работы в термодинамике меняется состояние макроскопических тел: меняется их объем и температура.

Вычисление работы

Вычислим работу в зависимости от изменения объема на примере газа в цилиндре под поршнем (рис. 5.1). Проще всего вначале вычислить не работу силы , действующей на газ со стороны внешнего тела (поршня), а работу, которую совершает сам газ, действуя на поршень с силой . Согласно третьему закону Ньютона = - .

Модуль силы, действующей со стороны газа на поршень, равен F' = pS, где р — давление газа, a S — площадь поверхности поршня. Пусть газ расширяется и поршень смещается в направлении силы на малое расстояние Δh = h₂ - h₁. Если перемещение мало, то давление газа можно считать постоянным.

Работа газа равна

Эту работу можно выразить через изменение объема газа. Начальный объем V₁ = Sh₁, а конечный V₂ = Sh₂. Поэтому

где ΔV =V₂ - V₁ — изменение объема газа.

При расширении газ совершает положительную работу, так как направления силы и перемещения поршня совпадают.

Если газ сжимается, то формула (5.1.2) для работы газа остается справедливой. Но теперь V₂ < V₁, и поэтому А' < 0 (рис. 5.2).

Работа А, совершаемая внешними телами над газом, отличается от работы газа А' только знаком: А = -А', так как сила , действующая на газ, направлена против силы , а перемещение остается тем же самым. Поэтому работа внешних сил, действующих на газ, равна

Знак минус указывает, что при сжатии газа, когда ΔV = V₂ - V₁ < 0, работа внешней силы положительна. Понятно, почему в этом случае А > 0: при сжатии газа направления силы и перемещения совпадают. При расширении газа, наоборот, работа внешних тел отрицательна (А < 0), так как ΔV = V₂ - V₁ > 0. Теперь направления силы и перемещения противоположны .

Выражения (5.1.2) и (5.1.3) справедливы не только при сжатии или расширении газа в цилиндре, но и при малом изменении объема любой системы. Если процесс изобарный (р = const), то эти формулы можно применять и для больших изменений объема.

Геометрическое истолкование работы

Работе газа А' для случая постоянного давления можно дать простое геометрическое истолкование.

Построим график зависимости давления газа от объема (рис. 5.3). Здесь площадь прямоугольника abcd, ограниченная графиком р₁ = const, осью V и отрезками ab и cd, равными давлению газа, численно равна работе (5.1.2).

В общем случае при произвольном изменении объема газа давление не остается неизменным. Например, при изотермическом процессе оно убывает обратно пропорционально объему (рис. 5.4). В этом случае для вычисления работы нужно общее изменение объема разделить на малые части, вычислить элементарные (малые) работы, а потом все их сложить. Работа газа по-прежнему будет численно равна площади фигуры, ограниченной графиком зависимости р от V, осью V и отрезками ab и cd, равными давлениям р₁ и р₂ в начальном и конечном состояниях.

Работа внешней силы, изменяющей объем газа на ΔV, равна А = —pΔV. Работа самого газа А' = —А = = pΔV, где р — давление газа.

(1) Задача об изменении скорости шарика при упругом соударении его с движущейся стенкой подробно рассмотрена в § 6.12 «Механики» (задача 5).

Какой знак будет иметь работа газа при его сжатии расширении в цилиндре

Как было показано в § 76, в общем случае, когда при расширении тела давление изменяется, работу, производимую телом вследствие расширения, надо вычислять по формуле

Эта формула приобретает весьма простой вид, когда нагревание и связанное с ним расширение тела происходит изобарно, т. е. при неизменном давлении. В этом случае как величину постоянную можно вынести за знак интеграла:

Работа, производимая телом при изобарном расширении, равна произведению давления на приращение объема.

Эту формулу чаще всего приходится применять для расчета работы, производимой телом при изменении агрегатного состояния — при кипении жидкостей, при плавлении; давление в этих случаях остается неизменным до тех пор, пока вся жидкость не выкипит или пока все твердое тело не расплавится.

В качестве примера на применение формулы изобарной работы рассчитаем мощность паровой машины, работающей одним наполнением (т. е. работающей без прекращения впуска пара в цилиндр на какой-либо части хода поршня или, как говорят, без «отсечки пара») Пусть давление пара в котле на превышает давление наружного воздуха; объем цилиндра вал делает 200 об/мин, потери на трение 10%.

Чтобы получить работу в килограмметрах, выразим давление в и объем в кубических метрах. Легко видеть, что По формуле где в данном случае есть объем цилиндра, рабочее давление пара, находим, что при каждом ходе поршня машина производит работу Работа, производимая машиной в 1 сек. с учетом потери на трение, равна Но работа в 1 сек. есть мощность:

Чтобы получить мощность машины в лошадиных силах, надо разделить полученное число на 75; таким образом находим, что машина имеет мощность

Для вычисления работы изотермического расширения тела по общей формуле работы расширения

надо знать, как при постоянстве температуры изменяется давление в зависимости от объема.

Для идеального газа, взятого в количестве молей, Подставим это выражение в приведенную выше формулу и, учитывая, что вследствие изотермичности процесса есть величина постоянная, вынесем за знак интеграла. Тогда под знаком интеграла мы будем иметь дифференциал натурального логарифма: Следовательно, изотермическая работа идеального газа равна:

Эта формула имеет широчайшее применение в приближенных термодинамических расчетах и поэтому является одной из важнейших формул термодинамики. Заметим, что отношение объемов — в этой формуле можно заменить обратным отношением давлений так как на изотерме

Понятно, что, желая получить работу расширения выраженной в килограмметрах, мы должны газовую постоянную подставить

в формулу (13) или (14), выразив ее тоже в килограмметрах если выражено в калориях или в эргах, то соответственно и будет выражено в калориях или эргах.

Согласно закону Джоуля внутренняя энергия идеального газа не изменяется при изотермическом расширении или сжатии газа. Это означает, что вся сообщаемая газу при изотермическом расширении теплота идет на производство работы; вся работа, затрачиваемая на изотермическое сжатие газа, отдается газом в форме тепла; для идеального газа при

Следовательно, приведенные выше формулы могут в равной мере служить как для расчета производимой газом изотермической работы, так и для расчета теплоты потребной для изотермического расширения газа, иначе говоря, «скрытой теплоты» изотермического расширения.

Читайте также: