Последовательное соединение активного и индуктивного сопротивлений схема ваз векторная диаграмма

Добавил пользователь Алексей Ф.
Обновлено: 05.10.2024

§54. Последовательное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости

В общем случае в цепях переменного тока обычно имеются все виды сопротивлений: активное, индуктивное и емкостное. Например, электрические двигатели переменного тока могут быть представлены эквивалентной схемой, состоящей из индуктивного сопротивления имеющихся в нем катушек и активного сопротивления образующих эти катушки проводов. Воздушные линии элек-

Рис. 192. Схема цепи переменного тока, содержащей последовательно включенные активное, индуктивное и емкостное сопротивления (а), векторные диаграммы (б и а), кривые тока и напряжения и (г)

тропередачи или кабельные линии обычно представляют в виде совокупности активного, индуктивного и емкостного сопротивлений. Активное сопротивление обусловлено сопротивлением электрических проводов, индуктивное — индуктивностью линии, а емкостное — емкостью, возникающей между отдельными проводами, между проводами и землей или же между отдельными жилами кабеля и между жилами кабеля и его оболочкой.

Расчет электрических цепей переменного тока существенно отличается от расчета цепей постоянного тока, так как при переменном токе в активном, индуктивном и емкостном сопротивлениях имеют место различные сдвиги фаз между токами и напряжениями.

Ток, напряжение и полное сопротивление. При последовательном включении в цепь переменного тока активного R, индуктивного X_L и емкостного Х_с сопротивлений (рис. 192, а) к ним приложены напряжения: активное u_a=iR, индуктивное u_L = iX_L и емкостное u_c=iX_c. Мгновенное значение напряжения и, приложенного к данной цепи, согласно второму закону Кирхгофа равно алгебраической сумме напряжений:

Но для действующих значений эта формула неприменима, так как между всеми указанными напряжениями имеется сдвиг по фазе (амплитудные значения этих напряжений не совпадают по

Рис. 193. Треугольник со противлении

времени). Чтобы учесть сдвиг по фазе между напряжениями u_а, u_L и u_c. осуществляют сложение их векторов:

Для этого строят векторную диаграмму, на которой откладывают в определенном масштабе векторы тока ? и напряжений ?_a, ?_L, ?_C. Из этих напряжений первое совпадает по фазе с током, второе опережает его на 90°. Векторная диаграмма (рис. 192,б) построена для цепи, в которой индуктивное сопротивление X_L больше емкостного X_c (вектор ?_L, больше вектора ?_C.), а рис. 192, в — для цепи, в которой X_L меньше Хс (вектор ?_L, меньше вектора ?_C). Вектор напряжения U является замыкающим — он сдвинут по фазе относительно вектора тока ? на некоторый угол ?. Напряжение U (действующее значение) может быть определено из треугольника ЛВС по теореме Пифагора:

Рассмотрим, как изменяются ток и напряжение в последовательной цепи переменного тока.

В цепи, содержащей все три вида сопротивления, ток i и напряжение и оказываются сдвинутыми по фазе на некоторый угол ср (рис. 192, г), при этом 0<?<90°.

Полное сопротивление и угол сдвига фаз. Если подставить в формулу (71) значения U_a = IR; U_L = l?L и U_C=I/(?C), то будем иметь: U = ?((IR) 2 + [I?L-I/ (?С) ] 2 ), откуда получаем формулу закона Ома для последовательной цепи переменного тока:

I = U / (? (R 2 + [?L-1 / (?С) ] 2 ) ) = U / Z (72)

Величину Z называют полным сопротивлением цепи, оно измеряется в омах. Разность ?L — l/(?C) называют реактивным сопротивлением цепи и обозначают буквой X. Следовательно, полное сопротивление цепи

Z = ? (R 2 + X 2 )

sin ? = X / Z; cos? = R / Z; tg? = X / R

Например, если активное сопротивление R значительно больше реактивного сопротивления X, угол ? сравнительно небольшой. Если в цепи имеется большое индуктивное или большое емкостное сопротивление, то угол сдвига фаз ? возрастает и приближается к 90°. При этом, если индуктивное сопротивление больше емкостного, напряжение и опережает ток i на угол ?; если же емкостное сопротивление больше индуктивного, то напряжение и отстает от тока i на угол ?.

№22 Последовательное соединение активного сопротивления, индуктивности и емкости.

В схеме, состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 22.1), заданы приложенное напряжение U, частота f и числовые значения параметров R, L и С. Требуется найти ток и напряжения на элементах.

При анализе электрических цепей синусоидального тока типична ситуация, когда метод решения незнакомой задачи неизвестен. Во многих случаях помогает следующий подход. По установленным ранее правилам строится векторная диаграмма, из анализа которой выводятся необходимые расчетные формулы. Так же поступим сейчас и мы.

В последовательной цепи общим для всех элементов является протекающий по ним ток, поэтому именно с него начинаем построение векторной диаграммы. Проводим его изображение горизонтально (рис. 22.2).

Вообще, направление первого вектора при построении диаграмм произвольно. Оно диктуется соображениями удобства. Дальше мы должны показать векторы напряжений на всех элементах и в соответствии со вторым законом Кирхгофа в векторной форме U=UR+UL+UC получить вектор входного напряжения. Сложение векторов можно выполнять по правилу параллелограмма, однако удобнее применять правило многоугольника, когда каждый последующий вектор пристраивается к концу предыдущего.

Рис. 22.2 - Векторная диаграмма последовательной цепи

Нам известно, что напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, поэтому вектор UR мы направляем по вектору I. К его концу пристраиваем вектор UL и направляем его вверх, так как напряжение на индуктивности опережает ток на 90°. Напряжение UС находится в противофазе с UL, т.е. отстает от тока на тот же угол 90°, поэтому вектор UС, пристроенный к концу вектора UL, направлен вниз. Векторная сумма UR, UL и UС дает вектор приложеного напряжения U.

Величины напряжений на отдельных элементах цепи нам известны:

Из треугольника oab (рис. 22.2) по теореме Пифагора находим:

Вынося из под знака радикала, записываем последнее выражение в виде: U=I*z; где,z - полное сопротивление.

В последней формуле разность индуктивного и емкостного сопротивлений мы обозначили буквой х. Это общее реактивное сопротивление цепи: х = хL – xC. Сами индуктивность и емкость называются реактивными элементами, и их сопротивления хL и xC тоже носят названия реактивных.

Выражение U=Iz называется законом Ома для всей цепи. Оно может быть записано и так: I=U/z=Uy.

где, y– полная проводимость цепи, представляющая величину, обратную полному сопротивлению 1/z

Если необходимо определить угол сдвига фаз между напряжением и током, то это можно сделать из треугольника напряжений oab (рис. 22.2):

Векторная диаграмма на рис. 22.2 построена для случая, когда UL>UC, что имеет место при XL>XC, когда в цепи преобладает индуктивность, и цепь носит активно-индуктивный характер. Общий ток отстает по фазе от входного напряжения.

Последовательное соединение R L C

2.12. Последовательное соединение активного
сопротивления, индуктивности и емкости
В схеме, состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 2.23), заданы приложенное напряжение U, частота f и числовые значения параметров R, L и С. Требуется найти ток и напряжения на элементах

При анализе электрических цепей синусоидального тока типична ситуация, когда метод решения незнакомой задачи неизвестен. Во многих случаях помогает следующий подход. По установленным ранее правилам строится векторная диаграмма, из анализа которой выводятся необходимые расчетные формулы. Так же поступим сейчас и мы.
В последовательной цепи общим для всех элементов является протекающий по ним ток, поэтому именно с него начинаем построение векторной диаграммы. Проводим его изображение горизонтально (рис. 2.24).

Вообще, направление первого вектора при построении диаграмм произвольно. Оно диктуется соображениями удобства. Дальше мы должны показать векторы напряжений на всех элементах и в соответствии со вторым законом Кирхгофа в векторной форме получить вектор входного напряжения. Сложение векторов можно выполнять по правилу параллелограмма, однако удобнее применять правило многоугольника, когда каждый последующий вектор пристраивается к концу предыдущего.

Рис. 2.24. Векторная диаграмма последовательной цепи
Нам известно, что напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, поэтому вектор UR мы направляем по вектору I. К его концу пристраиваем вектор UL и направляем его вверх, так как напряжение на индуктивности опережает ток на 90° . Напряжение UС находится в противофазе с UL, т.е. отстает от тока на тот же угол 90° , поэтому вектор UС, пристроенный к концу вектора UL, направлен вниз. Векторная сумма UR, UL и UС дает вектор приложеного напряжения U.
Величины напряжений на отдельных элементах цепи нам известны:
, , . (2.23)
Из треугольника (рис. 2.24) по теореме Пифагора находим
.
Вынося из под знака радикала, записываем последнее выражение в виде:
, (2.24)
где z – полное сопротивление цепи, равное
. (2.25)
В последней формуле разность индуктивного и емкостного сопротивлений мы обозначили буквой х. Это общее реактивное сопротивление цепи: х = хL – xC. Сами индуктивность и емкость называются реактивными элементами, и их сопротивления хL и xC тоже носят названия реактивных.
Выражение (2.24) называется законом Ома для всей цепи. Оно может быть записано и так:
, (2.26)
где – полная проводимость цепи, представляющая величину, обратную полному сопротивлению: .
Если необходимо определить угол сдвига фаз между напряжением и током, то это можно сделать из треугольника напряжений (рис. 2.24):
.
Векторная диаграмма на рис. 2.24 построена для случая, когда , что имеет место при , когда в цепи преобладает индуктивность, и цепь носит активно-индуктивный характер. Общий ток отстает по фазе от входного напряжения.
Возможны также режимы, когда и .
Пример 2.7. Параметры цепи на рис. 2.23, имеют следующие числовые значения: R = 60 Ом, xL = 40 Ом, xC = 120 Ом, U = 200 В.
Определить ток, напряжения на элементах и угол сдвига фаз между напряжением и током. Построить векторную диаграмму.
Р е ш е н и е. Определяем полное сопротивление цепи
Ом.
Действующее значение тока А.
Напряжения на элементах:
B, В, В.
Угол сдвига фаз

Векторная диаграмма показана на рис. 2.25. Так как , цепь носит активно-емкостный характер, ток опережает напряжение, угол сдвига фаз ф отрицателен и на диаграмме направлен от тока к напряжению в отрицательном направлении – по часовой стрелке.Типичным для цепей переменного тока является рассмотренный в задаче режим, когда напряжение на одном из реактивных элементов (в данном случае на емкости) превышает входное напряжение. При определенных соотношениях параметров цепи это превышение может быть довольно значительным – в десятки и сотни раз.

Рис. 2.25. Векторная диаграмма последовательной цепи

Обратим внимание также на то, что сумма падений напряжений на элементах в вольтах (120 + 80 + 240) не равна 200 – напряжению, приложенному к цепи. Еще раз повторяем, что для численных значений токов и напряжений законы Кирхгофа неприменимы. Они справедливы только для мгновенных значений, векторов и комплексных чисел. Показания приборов в цепях переменного тока складывать нельзя.
Пример 2.8. Определить величины сопротивления R и емкости С, если при частоте f = 50 Гц приборы в схеме на рис. 2.26, а имеют следующие показания: U = 125 В, UR = 100 В, I = 2,5 А.
Р е ш е н и е. По показаниям вольтметра и амперметра определяем величину активного сопротивления
Ом.
Для определения емкости конденсатора необходимо знать напряжение на его зажимах. Его можно найти из векторной диаграммы (рис. 2.26, б). При ее построении вектор направляем по вектору тока – они совпадают по фазе, а вектор – под углом 90° к току в сторону отставания. Вектор входного напряжения находим как сумму векторов и : .
Из векторной диаграммы определяем напряжение на конденсаторе
В.
Теперь находим емкостное сопротивление:
Ом.
Из формулы определяем емкость
мкФ.

Рис. 2.26. Электрическая цепь и ее векторная диаграмма
Пример 2.9. К зажимам катушки с параметрами R = 30 Ом и L = 40 мГн приложено напряжение В. Записать выражение мгновенного значения тока. Каким оно станет, если частота питающего напряжения уменьшится вдвое?
Р е ш е н и е. Вычисляем индуктивное и полное сопротивления:
Ом, Ом.
По закону Ома находим амплитуду тока
А.
Определяем угол сдвига фаз
.
При отстающем токе (при активно-индуктивном характере цепи) этот угол положителен. Из (2.4) находим начальную фазу тока:
.
Итак А.
При уменьшении частоты, т.е. при с-1:
Ом, Ом,
А, ,
, А.
В схемах на рис. 2.27 предлагается определить показание вольтметра V на входе цепи, если во всех случаях показания вольтметров на отдельных элементах составляют V1 = 40 В, V2 = 30 В. Ответы на поставленный вопрос приводятся под каждой схемой.

Рис. 2.28. Треугольники напряжений (а) и сопротивлений (б)
Проекция вектора напряжения на вектор тока называется активной составляющей напряжения. Она обозначается Uа и равна падению напряжения на активном сопротивлении . Реактивная составляющая напряжения Uр – это проекция вектора напряжения на направление, перпендикулярное вектору тока. Она равна падению напряжения на суммарном реактивном сопротивлении цепи . Как видно из рис. 2.28, если все стороны треугольника напряжений разделить на ток, то получится подобный ему треугольник сопротивлений (рис. 2.28, б). Ему соответствуют следующие формулы:
, , , . (2.27)
Решим задачу, поставленную в начале подразд. 2.12, символическим методом.
Запишем для цепи, изображенной на рис. 2.23, второй закон Кирхгофа в символической форме:
.
Подставляя в него напряжения на элементах, записанные ранее в комплексных числах , и , получим:
или , (2.28)
где – комплексное сопротивление цепи, равное
.
Выражение (2.28) представляет собой закон Ома в символической форме.
Пример 2.10. Определить показание амперметра в цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивлений – активного R = 60 Ом и индуктивного xL = 80 Ом, если напряжение на входе цепи U = 220 В.
Р е ш е н и е. Комплексное сопротивление цепи равно
Ом.
Для применения формулы (2.28) входное напряжение необходимо записать в символической форме, в виде комплексного числа . Так как нам задано только его численное значение, начальную фазу (аргумент комплексного числа ) мы выбираем по своему усмотрению.
Примем , тогда В.
Комплекс действующего значения тока
A.
Показание амперметра равно модулю комплексного числа A.
Пример 2.11. В цепи, состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления R и катушки с параметрами RK = 34 Ом и хК = LK = 48 Ом (рис. 2.29, а), известны UR = 100 B и UK = 120 В. Требуется найти напряжение на входе цепи U.

Рис. 2.29. Электрическая цепь и её векторная диаграмма
Р е ш е н и е начинаем с построения векторной диаграммы (рис. 2.29, б). Вектор напряжения U равен векторной сумме напряжений и : . Напряжение на катушке представляем как сумму напряжений на ее активном и реактивном сопротивлениях . Векторы и направляем по току, а проводим перпендикулярно вверх.
Величину входного напряжения, равную длине вектора U, можно найти одним из трех способов:
а) графически, построив векторную диаграмму в масштабе, для чего предварительно нужно рассчитать следующие величины:
– полное сопротивление катушки
Ом;
– ток в цепи
А;
– составляющие напряжения на катушке

.
Измерив длину вектора U и умножив ее на масштаб, получим нужное нам значение;
б) решением треугольников, применяя известную из тригонометрии теорему косинусов: .
Угол а определяем из векторной диаграммы: , где
, .
Вычисляем напряжение:
В;

в) символическим методом, записав и в комплексном виде и использовав уравнение второго закона Кирхгофа в символической форме . Комплексные выражения и мы получим, изобразив векторы этих напряжений в комплексной плоскости, направив их из одного начала (рис. 2.30):
В;

Последовательное соединение активного и индуктивного сопротивлений схема ваз векторная диаграмма

Идеальный резистивный элемент не обладает ни индуктивностью, ни емкостью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение (см. рис. 1), то ток i через него будет равен

Соотношение (1) показывает, что ток имеет ту же начальную фазу, что и напряжение. Таким образом, если на входе двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i , то соответствующие им синусоиды на его экране будут проходить (см. рис. 2) через нуль одновременно, т.е. на резисторе напряжение и ток совпадают по фазе.

Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:

- разделим первый из них на второй:

Полученный результат показывает, что отношение двух комплексов есть вещественная константа. Следовательно, соответствующие им векторы напряжения и тока (см. рис. 3) совпадают по направлению.

2. Конденсатор

Идеальный емкостный элемент не обладает ни активным сопротивлением (проводимостью), ни индуктивностью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение (см. рис. 4), то ток i через него будет равен

Полученный результат показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на /2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i , то на его экране будет иметь место картинка, соответствующая рис. 5.

Введенный параметр называют реактивным емкостным сопротивлением конденсатора. Как и резистивное сопротивление, имеет размерность Ом. Однако в отличие от R данный параметр является функцией частоты, что иллюстрирует рис. 6. Из рис. 6 вытекает, что при конденсатор представляет разрыв для тока, а при .

Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:

- разделим первый из них на второй:

В последнем соотношении - комплексное сопротивление конденсатора. Умножение на соответствует повороту вектора на угол по часовой стрелке. Следовательно, уравнению (4) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 7.

3. Катушка индуктивности

Идеальный индуктивный элемент не обладает ни активным сопротивлением, ни емкостью. Пусть протекающий через него ток (см. рис. 8) определяется выражением . Тогда для напряжения на зажимах катушки индуктивности можно записать

Полученный результат показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на /2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i , то на его экране (идеальный индуктивный элемент) будет иметь место картинка, соответствующая рис. 9.

Введенный параметр называют реактивным индуктивным сопротивлением катушки; его размерность – Ом. Как и у емкостного элемента этот параметр является функцией частоты. Однако в данном случае эта зависимость имеет линейный характер, что иллюстрирует рис. 10. Из рис. 10 вытекает, что при катушка индуктивности не оказывает сопротивления протекающему через него току, и при .

Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим комплексам:

разделим первый из них на второй:

В полученном соотношении - комплексное

сопротивление катушки индуктивности. Умножение на соответствует повороту вектора на угол против часовой стрелки. Следовательно, уравнению (6) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 11

4. Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов

Пусть в ветви на рис. 12 . Тогда

, причем пределы изменения .

Уравнению (7) можно поставить в соответствие соотношение

которому, в свою очередь, соответствует векторная диаграмма на рис. 13. Векторы на рис. 13 образуют фигуру, называемую треугольником напряжений. Аналогично выражение

графически может быть представлено треугольником сопротивлений (см. рис. 14), который подобен треугольнику напряжений.

5. Последовательное соединение резистивного и емкостного элементов

Опуская промежуточные выкладки, с использованием соотношений (2) и (4) для ветви на рис. 15 можно записать

, причем пределы изменения .

На основании уравнения (7) могут быть построены треугольники напряжений (см. рис. 16) и сопротивлений (см. рис. 17), которые являются подобными.

6. Параллельное соединение резистивного и емкостного элементов

Для цепи на рис. 18 имеют место соотношения:

, где [См] – активная проводимость;

, где [См] – реактивная проводимость конденсатора.

Векторная диаграмма токов для данной цепи, называемая треугольником токов, приведена на рис. 19. Ей соответствует уравнение в комплексной форме

Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 20.

Для комплексного сопротивления цепи на рис. 18 можно записать

Необходимо отметить, что полученный результат аналогичен известному из курса физики выражению для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединенных резисторов.

7. Параллельное соединение резистивного и индуктивного элементов

Для цепи на рис. 21 можно записать

, где [См] – активная проводимость;

, где [См] – реактивная проводимость катушки индуктивности.

Векторной диаграмме токов (рис. 22) для данной цепи соответствует уравнение в комплексной форме

Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 23.

Выражение комплексного сопротивления цепи на рис. 21 имеет вид:

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

1. В чем сущность реактивных сопротивлений?

2. Какой из элементов: резистор, катушку индуктивности или конденсатор – можно использовать в качестве шунта для наблюдения за формой тока?

3. Почему катушки индуктивности и конденсаторы не используются в цепях постоянного тока?

4. В ветви на рис. 12 . Определить комплексное сопротивление ветви, если частота тока .
Ответ: .

5. В ветви на рис. 15 . Определить комплексное сопротивление ветви, если частота тока .
Ответ: .

6. В цепи на рис. 18 . Определить комплексные проводимость и сопротивление цепи для .
Ответ: ; .

7. Протекающий через катушку индуктивности ток изменяется по закону А. Определить комплекс действующего значения напряжения на катушке.
Ответ: .

Последовательное соединение активного, индуктивного, емкостного сопротивлений. Резонанс напряжений. Коэффициент мощности

Рассмотренные в предыдущих трёх статьях электрические цепи переменного тока. содержащие только активное , только емкостное и только индуктивное сопротивления были взяты для того, чтобы полнее раскрыть свойства перечисленных сопротивлений.

В реальных электрических цепях присутствуют все перечисленные сопротивления: активное, индуктивное, емкостное.

Сейчас будем говорить о цепях, содержащих последовательно соединённые активное сопротивление, катушку индуктивности и конденсатор.

Нам предстоит найти полное сопротивление показанной на рисунке цепи и разность фаз между действующими значениями тока и напряжения в ней.

Мгновенное значение приложенного к цепи напряжения (на зажимах цепи) складывается из мгновенных значений напряжений на каждом сопротивлении, то есть будет равно сумме мгновенных напряжений на активном, индуктивном и емкостном сопротивлениях:

Но действующее значение напряжения на зажимах цепи U не будет равно алгебраической сумме напряжений на каждом участке цепи из-за разности фаз между током и напряжением U на каждом сопротивлении (активном, индуктивном, емкостном).

Для нахождения связи между перечисленными напряжениями удобно пользоваться векторной диаграммой.

Векторная диаграмма - это графическое изображение значений периодически изменяющихся величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков - векторов .

Например, мы знаем, что напряжение на зажимах цепи переменного тока меняется по синусоидальному закону, то есть колебания напряжения сети изображается синусоидой .

Мгновенные значения напряжения внешнего источника можно рассматривать ещё как проекции вектора напряжения U (вектора ОВ) на вертикальную ось при равномерном вращении этого вектора против часовой стрелки.

Точно также векторами можно изобразить переменный ток в цепи, переменные напряжения на активном сопротивлении, на емкостном и индуктивном сопротивлениях.

Колебания перечисленных величин имеют одну частоту , но сдвинуты по фазе относительно друг друга.

Их взаимное расположение со временем не меняется. Тогда все перечисленные вектора можно показать на одной диаграмме.

Действующее значение вектора напряжения внешнего источника U будет равно геометрической сумме векторов напряжений на каждом сопротивлении цепи.

Такое сложение векторов значительно проще сложения синусоид, поэтому векторные диаграммы применяют очень часто.

Ниже рассказано как построена диаграмма, изображённая на рис. 15, которая решает задачу нахождения полного сопротивления рассматриваемой электрической цепи и нахождения сдвига фаз между током и напряжением.

Как видим из формулы закона Ома, полное сопротивление цепи не равно простой сумме активного R и реактивного сопротивлений.

Индуктивное и емкостное напряжения имеют разные знаки - они направлены навстречу друг другу.

Итак, полное сопротивление цепи переменного тока:

На рис 15 прямоугольный треугольник векторной диаграммы составлен следующими векторами: вектором активного напряжения,

вектором индуктивного напряжения

вектором емкостного напряжения:

и вектором действующего напряжения U стороннего источника .

Из диаграммы, применив закон Пифагора, получим выражение для действующего напряжения:

Если каждое из этих напряжений (рис. 15) разделить на ток, то получим такой же треугольник , составленный сопротивлениями.

Прилежащий к углу катет даёт активное сопротивление цепи R , противолежащий катет - общее реактивное сопротивление цепи X , а гипотенуза треугольника даёт полное сопротивление цепи Z , состоящей из последовательно соединённых активного, индуктивного и ёмкостного сопротивлений..

Из представленного треугольника сопротивлений получаем соотношение:

то есть сдвиг фаз (угол фи) между током и напряжением в цепи определяется отношением реактивного сопротивления цепи к её активному сопротивлению.

Возможны следующие случаи :

Когда индуктивное сопротивление больше емкостного, то есть когда в цепи преобладает индуктивность , то ток отстаёт от напряжения на угол "фи".

Когда индуктивное сопротивление меньше емкостного, то есть когда в цепи преобладает емкостное сопротивление, то ток опережает напряжения на угол "фи".

Из треугольника сопротивлений получаем ещё такое выражение:

определяется отношением активного сопротивления цепи к её полному сопротивлению. Его называют коэффициентом мощности .

Значение коэффициента мощности определяет активную (полезную) мощность цепи.

Посмотрим, как получают выражение для мощность цепи переменного тока.

Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока, которые выражаются формулами:

Взяв произведение мгновенных значений тока и напряжения и проанализировав полученное выражение, придём к выводу, что мощность может быть как положительной (когда энергия от источника поступает в цепь), так и отрицательной (когда уходит из цепи в источник).

Практически важно знать среднюю за период мощность, так как только средняя мощность характеризует энергию, потребляемую цепью за единицу времени.

После математических преобразований получается следующее выражение для средней мощности , которую можно называть просто мощностью цепи:

то есть мощность электрической цепи переменного тока равна произведению действующих значений напряжения и силы тока на косинус угла между током и напряжением ,

Косинус сдвига фаз между током и напряжением назвали коэффициентом мощности .

Видим, что коэффициент мощности оказывает очень большое влияние на мощность электрической цепи.

Коэффициент мощности достигает максимального значения, равного единице, при угле "фи" (сдвиге фаз) равном нулю или когда индуктивное сопротивление равно емкостному сопротивлению:

При этом условии цепь переменного тока имеет минимальное сопротивление, равное активному сопротивлению цепи.

Ток же в цепи в этом случае достигает максимального значения (явление резонанса ).

Приложенное к цепи напряжение U равно активному напряжению (напряжению на активном сопротивлении R ).

Но при этом есть и индуктивное напряжение и равное ему по модулю, но противоположное по направлению (сдвинутое по фазе на половину периода) емкостное напряжение.

Причём они могут достигать достаточно больших значений, гораздо больших, чем напряжение сети U. Реактивные напряжения (индуктивное, емкостное) будут превышать напряжение сети U во столько раз, во сколько раз реактивные сопротивления (индуктивное, емкостное) будут больше активного сопротивления R .

Поэтому рассмотренное явление резонанса называется резонансом напряжений .

При резонансе мгновенные мощности в реактивных участках цепи (в катушке индуктивности и конденсаторе) равны и противоположны по знаку. Это значит, что увеличение энергии магнитного поля в катушке индуктивности происходит в результате уменьшения электрической энергии запасённой в конденсаторе, и наоборот, а энергия генератора расходуется только на активном сопротивлении.

Для электрической цепи промышленного тока резонанс вреден , так как может привести к пробою изоляции катушки и конденсатора.

По этой причине коэффициент мощности на предприятиях поднимают до 0,9 - 0,95, чтобы получить большую мощность, но чтобы не получить явление резонанса.

Какие меры применяются для повышения коэффициента мощности на промышленных предприятиях будет сказано позднее.

В цепь переменного тока (120В, 50 Гц) последовательно включены катушка с активным сопротивлением 3 Ом и индуктивным сопротивлением 4 Ом и конденсатор. При какой ёмкости конденсатора наступит резонанс напряжений? Какими будут при этом ток в цепи, активное, индуктивное и емкостное напряжения?

Реальная катушка в цепи переменного тока

Реальная катушка в отличии от идеальной имеет не только индуктивность, но и активное сопротивление, поэтому при протекании переменного тока в ней сопровождается не только изменением энергии в магнитном поле, но и преобразованием электрической энергии в другой вид. В частности, в проводе катушки электрическая энергия преобразуется в тепло в соответствии с законом Ленца — Джоуля.

Ранее было выяснено, что в цепи переменного тока процесс преобразования электрической энергии в другой вид характеризуется активной мощностью цепи Р, а изменение энергии в магнитном поле — реактивной мощностью Q.

В реальной катушке имеют место оба процесса, т. е. ее активная и реактивная мощности отличны от нуля. Поэтому одна реальная катушка в схеме замещения должна быть представлена активным и реактивным элементами.

Схема замещения катушки с последовательным соединением элементов

В схеме с последовательным соединением элементов реальная катушка характеризуется активным сопротивлением R и индуктивностью L.

Активное сопротивление определяется величиной мощности потерь

R = P/I 2

а индуктивность — конструкцией катушки. Предположим, что ток в катушке (рис. 13.9, а) выражается уравнением i = I_msinωt. Требуется определить напряжение в цепи и мощность.
При переменном токе в катушке возникает э. д. с. самоиндукции e_L поэтому ток зависит от действия приложенного напряжения и эдс e_L. Уравнение электрического равновесия цепи, составленное по второму закону Кирхгофа, имеет вид:

Приложенное к катушке напряжение состоит из двух слагаемых,одно из которых u_R равно падению напряжения в активном сопротивлении, а другое u_L уравновешивает эдс самоиндукции.

u = R*I_msinωt + ωLI_msin(ωt+π/2).

Векторная диаграмма реальной катушки и полное её сопротивление

Несовпадение по фазе слагаемых в выражении (13.12) затрудняет определение амплитуды и действующей величины приложенного к цепи напряжения U. Поэтому воспользуемся векторным способом сложения синусоидальных величин. Амплитуды составляющих общего напряжения

а действующие величины

Вектор общего напряжения

Для того чтобы найти величину вектора U, построим векторную диаграмму (рис. 13.10, а), предварительно выбрав масштабы тока Mi и напряжения Мu.

Вектор U_R по направлению совпадает с вектором тока I, а вектор U_L направлен перпендикулярно вектору I с положительным углом.

Из диаграммы видно, что вектор тока I общего напряжения U отражает вектор тока I на угол φ>0, но φ<90°, а по величине равен гипотенузе прямоугольного треугольника, катетами которого являются векторы падений напряжения в активном и индуктивном сопротивлениях U_R и U_L :

U_R = Ucosφ

Проекция вектора напряжения U на направление вектора тока называется активной составляющей вектора напряжения и обозначается U_a. Для катушки по схеме рис. 13.9 при U_a = U_R

U = Usinφ (13.14)

Проекция вектора напряжения U на направление, перпендикулярное вектору тока, называется реактивной составляющей вектора напряжения и обозначается U_p. Для катушки U_p = U_L

При токе i = Imsinωt уравнение напряжения можно записать на основании векторной диаграммы в виде

Стороны треугольника напряжений, выраженные в единицах напряжения, разделим на ток I. Получим подобный треугольник сопротивлений (рис. 13.10, б), катетами которого являются активное R = U_R/I и индуктивное X_L = U_L/I, сопротивления, а гипотенузой величина Z = U/I.

Отношение действующего напряжения к действующему току данной цепи называется полным сопротивлением цепи.
Стороны треугольника сопротивлений нельзя считать векторами, так как сопротивления не являются функциями времени.
Из треугольника сопротивлений следует

Понятие о полном сопротивлении цепи Z позволяет выразить связь между действующими величинами напряжения и тока формулой, подобной формуле Ома:

Из треугольников сопротивления и напряжения определяются

Мощность реальной катушки

Мгновенная мощность катушки

Следовательно, в цепи с активным сопротивлением и индуктивностью часть энергии, поступающей от генератора, необратимо превращается в другой вид энергии, но некоторая часть возвращается обратно. Этот процесс повторяется в каждый период тока, поэтому в цепи наряду с непрерывным превращением электрической энергии в другой вид энергии (активная энергия) часть ее совершает колебания между источником и приемником (реактивная энергия).

Скорость необратимого процесса преобразования энергии оценивается средней мощностью за период, или активной мощностью Р, скорость обменного процесса характеризуется реактивной мощностью Q.

Активная мощность всей цепи равна активной мощности в сопротивлении R, а реактивная — реактивной мощности в индуктивном сопротивлении X_L. Подставляя значения U_R = Ucosφ и U_L = Usinφ, определяемые из треугольника напряжений по формулам (13.18), получим:

P = UIcosφ (13.19)

Q = UIsinφ (13.20)

Кроме активной и реактивной мощностей пользуются понятием полной мощности S, которая определяется произведением действующих величин напряжения и тока цепи;

S = UI = I 2 Z (13.21)

Величину полной мощности можно получить из выражения (13.22), которое легко доказать на основании формул (13.19) и (13.20):

(13.22)

Мощности S, Р, Q графически можно выразить сторонами прямоугольного треугольника (см. рис. 13.10, в). Треугольник мощностей получается из треугольника напряжений, если стороны последнего, выраженные в единицах напряжения, умножить на ток. Из треугольника мощностей можно определить

cosφ = P/S; sinφ = Q/S; tgφ = Q/P. (13.23)

Полная мощность имеет ту же размерность, что Р и Q, но для различия единицу полной мощности называют вольт-ампер (В · А).

Активная мощность Р меньше или равна полной мощности цепи.
Отношение активной мощности цепи к ее полной мощности P/S =
= cosφ называют коэффициентом мощности.

Назначение приемников электрической энергии — преобразование
ее в другие виды энергии. Поэтому колебания энергии в цепи не только
бесполезны, но и вредны, так как при этом в приемнике не совершается
полного преобразования электрической энергии в работу или тепло,
а в соединительных проводах она теряется.

Схема замещения реальной катушки с параллельным соединением элементов

Для реальной катушки можно составить и другую расчетную схему — с параллельным соединением двух ветвей: с активной G и индуктивной B_L проводимостями. На рис. 13.12, б эта схема показана в сравнении со схемой последовательного соединения активного и индуктивного сопротивлений (рис. 13.12, а), рассмотренной ранее.
Покажем, что схемы рис. 13.12, а, б эквивалентны в том смысле, что при одинаковом напряжении сохраняются неизменными ток в неразветвленной части цепи, активная и реактивная мощности.

Вектор тока I можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие и в соответствии со схемой и векторной диаграммой на рис. 13.12, б выразить векторным равенством

Для схемы параллельного соединения активного и индуктивного элементов общим является приложенное напряжение, а токи разные: I_G —ток в ветви с активной проводимостью, по фазе совпадает с напряжением; I_L — ток в ветви с индуктивной проводимостью, по фазе отстает от напряжения на угол 90°.

Вектор тока I и его составляющие I_G и I_L образуют прямоугольный треугольник, поэтому

Составляющая тока в активном элементе

Проекция вектора тока I на направление напряжения называется активной составляющей вектора тока и обозначается I_а. Для катушки по схеме на рис. 13.12, б I_a = I_G.

Составляющая тока в реактивном элементе

Проекция вектора тока I на направление, перпендикулярное вектору напряжения, называется реактивной составляющей вектора тока и обозначается Iр. Для катушки I_р = I_L .

Стороны треугольника токов, выраженные в единицах тока, можно разделить на напряжение U и получить подобный треугольник проводимостей, катетами которого являются активная G = I_G/U и индуктивная В_L = I_L/U проводимости, а гипотенузой — величина Y = I/U, называемая полной проводимостью цепи.

Из треугольника проводимостей и с учетом ранее полученных выражений из треугольника сопротивлений получим

Однофазные цепи переменного тока. Векторные диаграммы

Последовательная цепь с резистивным, индуктивным и емкостным элементом:

Треугольник напряжений при последовательном соединении R, L и С:

Треугольники напряжений и сопротивлений при последовательном соединении R, L и С:

Треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей при последовательном соединении R, L и С:

Треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей:

Цепь с параллельным соединением R , L и С:

Треугольники токов при параллельном соединением R , L и С:

Треугольники токов и проводимостей при параллельном соединением R , L и С:

Треугольники токов, проводимостей и мощностей при параллельном соединением R , L и С:

Треугольники токов и проводимостей:

График мгновенных значений u, i и p при резонансе напряжений:

Диаграмма для параллельной цепи R , L и С при резонансе токов:

Электрическая цепь при последовательном соединении элементов R и L:

Электрическая цепь при последовательном соединении элементов R и C:

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Последовательное соединение активного и индуктивного сопротивлений схема ваз векторная диаграмма

Если напряжение подключить к сопротивлению R, то через него протекает ток

Анализ выражения (6.7) показывает, что напряжение на сопротивлении и ток, протекающий через него, совпадают по фазе.
Формула (6.7) в комплексной форме записи имеет вид

где и - комплексные амплитуды тока и напряжения.
Комплексному уравнению (6.8) соответствует векторная диаграмма (рис. 6.4).

Из анализа диаграммы следует, что векторы напряжения и тока совпадают по направлению.

Сопротивление участка цепи постоянному току называется омическим, а сопротивление того же участка переменному току - активным сопротивлением.

Рис.6.4
Активное сопротивление больше омического из-за явления поверхностного эффекта. Поверхностный эффект заключается в том, что ток вытесняется из центральных частей к периферии сечения проводника.

6.5. Индуктивная катушка в цепи синусоидального тока

Сначала рассмотрим идеальную индуктивную катушку, активное сопротивление которой равно нулю. Пусть по идеальной катушке с индуктивностью L протекает синусоидальный ток . Этот ток создает в индуктивной катушке переменное магнитное поле, изменение которого вызывает в катушке ЭДС самоиндукции

Эта ЭДС уравновешивается напряжением, подключенным к катушке: u = e_L = 0.

Таким образом, ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения на 90 o из-за явления самоиндукции.
Уравнение вида (6.10) для реальной катушки, имеющей активное сопротивление R, имеет следующий вид:

Анализ выражения (6.11) показывает, что ЭДС самоиндукции оказывает препятствие (сопротивление) протеканию переменного тока, из-за чего ток в реальной индуктивной катушке отстает по фазе от напряжения на некоторый угол φ (0 o o ), величина которого зависит от соотношения R и L. Выражение (6.11) в комплексной форме записи имеет вид:

где Z_L - полное комплексное сопротивление индуктивной катушки ;
Z_L - модуль комплексного сопротивления;
- начальная фаза комплексного сопротивления;
- индуктивное сопротивление (фиктивная величина, характеризующая реакцию электрической цепи на переменное магнитное поле).
Полное сопротивление индуктивной катушки или модуль комплексного сопротивления

Комплексному уравнению (6.12) соответствует векторная диаграмма (рис.6.5).

Из анализа диаграммы видно, что вектор напряжения на индуктивности опережает вектор тока на 90 o .
В цепи переменного тока напряжения на участках цепи складываются не арифметически, а геометрически.
Если мы поделим стороны треугольника напряжений на величину тока I_m, то перейдем к подобному треугольнику сопротивлений (рис. 6.6).

Из треугольника сопротивлений получим несколько формул:
; ;
Рис. 6.6

6.6. Емкость в цепи синусоидального тока

Если к конденсатору емкостью C подключить синусоидальное напряжение, то в цепи протекает синусоидальный ток

Из анализа выражений 6.13 следует, что ток опережает напряжение по фазе на 90 o .

Выражение (6.13) в комплексной форме записи имеет вид:

где - емкостное сопротивление, фиктивная расчетная величина, имеющая размерность сопротивления.

Если комплексное сопротивление индуктивности положительно
, то комплексное сопротивление емкости отрицательно

На рис. 6.7 изображена векторная диаграмма цепи с емкостью.
Вектор тока опережает вектор напряжения на 90 o .

6.7. Последовательно соединенные реальная индуктивная
катушка и конденсатор в цепи синусоидального тока

Катушка с активным сопротивлением R и индуктивностью L и конденсатор емкостью С включены последовательно (рис.6.8). В схеме протекает синусоидальный ток

Определим напряжение на входе схемы.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа,

Подставим эти формулы в уравнение (6.15). Получим:

Из выражения (6.16) видно: напряжение в активном сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90 o , напряжение по емкости отстает по фазе от тока на 90 o .
Запишем уравнение (6.16) в комплексной форме:

Поделим левую и правую части уравнения (6.17) на √2.
Получим уравнение для комплексов действующих значений токов и напряжений

где - комплексное сопротивление цепи;
- модуль комплексного сопротивления, или полное сопротивление цепи;
- начальная фаза комплексного сопротивления.

1. X_L > X_C, цепь носит индуктивный характер. Векторы напряжений на индуктивности и емкости направлены в противоположные стороны, частично компенсируют друг друга. Вектор напряжения на входе схемы опережает вектор тока (рис.6.9).
2. Индуктивное сопротивление меньше емкостного. Вектор напряжения на входе схемы отстает от вектора тока. Цепь носит емкостный характер (рис.6.10).
3. Индуктивное и емкостное сопротивления одинаковы. Напряжения на индуктивности и емкости полностью компенсируют друг друга. Ток в цепи совпадает по фазе с входным напряжением. В электрической цепи наступает режим резонансного напряжения (рис.6.11).

Ток в резонансном режиме достигает максимума, так как полное сопротивление (z) цепи имеет минимальное значение.

Условие возникновения резонанса: , отсюда резонансная частота равна

1. изменением частоты;
2. изменением индуктивности;
3. изменением емкости.

В резонансном режиме входное напряжение равно падению напряжения в активном сопротивлении. На индуктивности и емкости схемы могут возникнуть напряжения, во много раз превышающие напряжение на входе цепи. Это объясняется тем, что каждое напряжение равно произведению тока I₀ (а он наибольший), на соответствующее индуктивное или емкостное сопротивление (а они могут быть большими).

Рис. 6.9 Рис. 6.10 Рис. 6.11

6.8. Параллельно соединенные индуктивность, емкость
и активное сопротивление в цепи синусоидального тока

К схеме на рис. 6.12 подключено синусоидальное напряжение . Схема состоит из параллельно включенных индуктивности, емкости и активного сопротивления.
Определим ток на входе схемы.

В соответствии с первым законом Кирхгофа:
, (6.19)
где
- активная проводимость.

Подставим эти формулы в уравнение (6.19). Получим:

где - индуктивная проводимость;
- емкостная проводимость.

Из уравнения (6.20) видно, что ток в ветви с индуктивностью отстает по фазе от напряжения на 90 o , ток в ветви с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением, ток в ветви с емкостью опережает по фазе напряжение на 90 o .
Запишем уравнение (6.20) в комплексной форме.

где - комплексная проводимость;
- полная проводимость;
- начальная фаза комплексной проводимости.

Построим векторные диаграммы, соответствующие комплексному уравнению (6.21).

Рис. 6.13 Рис. 6.14 Рис. 6.15

В схеме на рис. 6.12 может возникнуть режим резонанса токов. Резонанс токов возникает тогда, когда индуктивная и емкостная проводимости одинаковы. При этом индуктивный и емкостный токи, направленные в противоположные стороны, полностью компенсируют друг друга. Ток в неразветвленной части схемы совпадает по фазе с напряжением.
Из условия возникновения резонанса тока получим формулу для резонансной частоты тока

В режиме резонанса тока полная проводимость цепи - минимальна, а полное сопротивление - максимально. Ток в неразветвленной части схемы в резонансном режиме имеет минимальное значение. В идеализированном случае R = 0,

Ток в неразветвленной части цепи I = 0. Такая схема называется фильтр - пробкой.

6.9. Резонансный режим в цепи, состоящей
из параллельно включенных реальной индуктивной
катушки и конденсатора

Комплексная проводимость индуктивной ветви

где - активная проводимость индуктивной катушки;
- полное сопротивление индуктивной катушки;
- индуктивная проводимость катушки;
- емкостная проводимость второй ветви.

В режиме резонансов токов справедливо уравнение:

Из этого уравнения получим формулу для резонанса частоты

На рисунке 6.16 изображена векторная диаграмма цепи в резонансном режиме.

Вектор тока I₂ опережает вектор напряжения на 90 o . Вектор тока I₁ отстает от вектора напряжения на угол φ,

Разложим вектор тока I₁ на две взаимно перпендикулярные составляющих, одна из них, совпадающая с вектором напряжения, называется активной составляющей тока I_а1, другая - реактивной составляющей тока I_р1.

В режиме резонанса тока реактивная составляющая тока I_р1 и емкостный ток I₂ , направленные в противоположные стороны, полностью компенсируют друг друга, активная составляющая тока I_а1 совпадает по фазе с напряжением (рис. 6.17). Ток I в неразветвленной части схемы совпадает по фазе с напряжением.

Читайте также:

  
• Как снять бардачок на вольво хс90
  
• Толпа мужиков пытается вытащить lexus из озера но всех спасет мтз
  
• Ниссан сентра комфорт что входит
  
• Камри 50 стекло не поднимается
  
• Ауди а8 ремонт зеркала