Сколькими способами можно выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых из вазы
Добавил пользователь Валентин П. Обновлено: 04.10.2024
Элементы комбинаторики
презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему
В презентации рассмотрены основные понятия комбинаторики, а также приведены решения задач. Данная работа можетбыть полезна на уроках алгебры в 9 классепри изучении темы "Элементы комбинаторики и теории вероятностей", а также на занятиях математического кружка.
| Вложение | Размер |
|---|---|
| elementy_kombinatoriki.ppt | 1.07 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Теорема 1. Правило умножения : если из некоторого конечного множества первый объект (элемент а ) можно выбрать n 1 способами, а второй объект (элемент b ) – n 2 способами, то оба объекта ( а и b ) в указанном порядке можно выбрать n 1 ∙ n 2 способами. Теорема 2. Правило сложения : если некоторый объект а можно выбрать п 1 способами, а объект b можно выбрать n 2 способами, причем первые и вторые способы не пересекаются, то любой из объектов ( а или b ) можно выбрать n 1 + n 2 способами.
Схема выбора без возвращений Размещения из n элементов по k элементов (0 ≤ k ≤ n ) где n ! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n, причем 1! = 1, 0! = 1 Перестановки из n элементов Сочетания из n элементов по k элементов (0 ≤ k ≤ n )
Схема выбора с возвращением Размещения с повторениями Сочетания с повторениями Перестановки с повторениями ( n 1 + n 2 + n k = n )
(1-я строка – без повторений, 2-я строка – с повторениями) Размещения Перестановки Сочетания 1 2 ( n 1 + n 2 + n k = n )
Задача 1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7 если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться? Решение: а) Первую цифру можно выбрать четырьмя способами (числа вида 025, 073, … не считаем трехзначными). Выбрав первую цифру (например, цифру 5) вторую цифру можно также выбрать четырьмя способами . Третью цифру, очевидно, можно выбрать тремя способами. Следовательно, согласно правилу умножения имеется 4 ∙ 4 ∙ 3 = 48 способов расстановки цифр, т.е. искомых трехзначных чисел будет 48 . б) Если цифры могут повторяться, то трехзначные числа можно составить 4 ∙ 5 ∙ 5 = 100 способами .
Задача 2. Составить различные размещения по два элемента из элементов множества А = <3, 4, 5>и подсчитать их число. Решение: Из трех элементов можно образовать следующие размещения по два элемента: (3,4); (4,3); (3,5); (5,3); (4,5); (5,4). Таким образом, всего их 6. Однако число размещений можно посчитать по формуле: или
Задача 3. Сколькими способами 3 награды (за I , II , III места) могут быть распределены между 10 участниками соревнований? Решение: Будем считать, что каждый участник соревнований может получить не более одной награды. Выбрать 3-х участников из 10 можно следующим образом, так как «призовые тройки» отличаются друг от друга либо составом участников, либо порядком их следования. Этот же результат можно получить, применяя правило умножения: претендентов на главную награду ( I место) 10, на вторую – 9, на третью – 8; число различных способов распределения наград равно 10∙9∙8=720.
Задача 4. В вазе стоят 9 красных и 7 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из нее: а) 3 гвоздики; б) 6 гвоздик одного цвета; в) 4 красных и 3 розовые гвоздики? Решение: а) Так как порядок выбора цветов не имеет значение, то выбрать 3 гвоздики из вазы, в которой стоят 16 гвоздик, можно б) Выбрать 6 гвоздик красного цвета можно
а 6 гвоздик розового цвета одного цвета (красных или розовых) можно способом. в) Выбрать 4 красных гвоздики из 9 имеющихся можно способами, а 3 розовых из 7 имеющихся можно способами. Поэтому букет из 4 красных и 3 розовых гвоздик можно составить по правилу умножения способами.
Задача 5. На диск сейфа нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова? Решение: Общее число комбинаций можно вычислить по формуле Значит, неудачных попыток может быть 248831. Впрочем, обычно делают сейфы так, что после первой же неудачной попытки открыть их раздается сигнал тревоги.
Задача 6. Пять человек вошли в лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах? Решение: Каждый из 5 пассажиров может выйти на любом из восьми этажей со 2-го по 9-ый включительно. Возможными вариантами их выхода являются, например, 2-3-5-5-5 (это значит, что на 2-ом этаже вышел один пассажир, на 3-ем – один, а трое вышли на 5-ом этаже) или 9-9-9-9-9, или 4-5-6-7-9 и т.д. Общее число выходов пассажиров, по формуле равно Этот же результат можно получить, используя правило умножения: для 1-го пассажира имеется 8 вариантов выхода на этаже, для 2-го тоже 8, и для 3-го тоже 8, и для 4-го – 8, и для 5-го – 8. Всего получается 8∙8∙8∙8∙8=8 5 вариантов для выхода 5-ти пассажиров.
Задача 7. Сколько различных « слов » (под « словом » понимается любая комбинация букв) можно составить, переставляя буквы в слове АГА? MISSISSIPPI ? Решение: Из трех букв можно составить Р 3 =3!=6 различных трехбуквенных « слов » . В слове АГА буква А повторяется, а перестановка одинаковых букв не меняет « слова » . Поэтому число перестановок с повторениями меньше числа перестановок без повторений во столько раз, сколько можно переставлять повторяющиеся буквы. В данном слове две буквы (1-ая и 3-я) повторяются; поэтому различных трехбуквенных « слов » из букв АГА можно составить столько: Впрочем, ответ можно получить и проще: каждое слово из букв А, Г и А однозначно определяется положением буквы Г; их всего три, поэтому и различных слов будет тоже три. .
Результат можно получить другой формулой: По этой же формуле найдем число одиннадцатибуквенных « слов » при перестановке букв в слове MISSISSIPPI . Здесь п =11, п 1 =1, п 2 =4 (4 буквы S ), п 3 =4 (4 буквы I ), п 4 =2 (2 буквы Р), поэтому
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Элементы комбинаторики и основы теории вероятности
Данная программа элективного курса объёмом 34 часа рассчитана на учащихся 8 классов и является дополнением общеобразовательной программы, в которой данному вопросу внимания уделяется мало.
Работа содержит все, что необходимо для подготовки к урокам: подробные поурочные планы, примеры, задачи с разбором решения, разноуровневые проверочные работы.
Работа содержит все, что необходимо для подготовки к урокам: подробные поурочные планы, примеры, задачи с разбором решения, разноуровневые проверочные работы.
Опорный конспект по теме "Элементы комбинаторики"
В данном конспекте даны основные определения и формулы для вычисления числа перестановок, размещений и сочетаний без повторений. Можно использовать на уроках комбинаторики в 11-м классе (базовый урове.
Тесты по теме "Элементы комбинаторики и теории вероятностей"
В материале предлагается 10 вариантов тестов по теме "Элементы комбинаторики и теории вероятностей". Тесты можно использовать с использованием любого учебника, рекомендованного или допущенного Ф.
Исторические сведения, дерево возможностей, перестановки, сочетания, размещения.
1.2. Задачи по комбинаторике
1. Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из одиннадцати дисциплин.
2. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределять между собой обязанности?
3. Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из группы в 20 человек?
4. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти звуков?
5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
6. Номера трамвайных маршрутов иногда обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
7. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т. е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.
8. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти цифр. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
9. Из группы в 15 человек выбирают четырех участников эстафеты 800+400+200+100. Сколькими способами можно расставить спортсменов по этапам эстафеты?
10. Команда из пяти человек выступает на соревнованиях по плаванию, в которых участвуют еще 20 спортсменов. Сколькими способами могут распределиться места, занятые членами этой команды?
11. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске две ладьи так, чтобы одна не могла взять другую? (Одна ладья может взять другую, если она находиться с ней на одной горизонтали или на одной вертикали шахматной доски.)
12. Две ладьи различного цвета расположены на шахматной доске так, что каждая может взять другую. Сколько существует таких расположений?
13. Порядок выступления восьми участников конкурса определяется жребием. Сколько различных исходов жеребьевки при этом возможно?
14. Тридцать человек разбиты на три группы по десять человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп?
Ответ: 30!/(10!) .
15. Сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
16. Сколько различных светящихся колец можно сделать, расположив по окружности 10 разноцветных лампочек (кольца считаются одинаковыми при одинаковом порядке следования цветов)?
17. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?
Ответ:
18. Четыре стрелка должны поразить восемь мишеней (каждый по две). Сколькими способами они могут распределить мишени между собой?
19. Из группы в 12 человек ежедневно в течение 6 дней выбирают двух дежурных. Определить количество различных списков дежурных, если каждый человек дежурит один раз.
Ответ: 12!/(2!) .
20. Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, содержат цифру 3 (цифры в числах не повторяются )?
21. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы №1 и №2 находились бы в соседних аудиториях?
22. В турнире участвуют 16 шахматистов. Определить количество различных расписаний первого тура (расписания считаются различными, если отличаются участниками хотя бы одной партии; цвет фигур и номер доски не учитываются).
Ответ : 2 027 025.
23. Шесть ящиков различных материалов доставляются на пять этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на пятый этаж доставлен какой-либо один материал?
24. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
25. Поезд метро делает 16 остановок, на которых выходят все пассажиры. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 100 пассажиров, вошедших в поезд на конечной остановке?
26. Сколько трехзначных чисел, делящихся на 3, можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждое число не должно содержать одинаковых цифр?
27. Собрание из 80 человек избирает председателя, секретаря и трех членов ревизионной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?
28. Из 10 теннисисток и 6 теннисистов составляют 4 смешанные пары. Сколькими способами это можно сделать?
29. Три автомашины №1,2,3 должны доставить товар в шесть магазинов. Сколькими способами можно использовать машины, если грузоподъемность каждой из них позволяет взять товар сразу для всех магазинов и если две машины в один и тот же магазин не направляются? Сколько вариантов маршрута возможно, если решено использовать только машину №1?
30. Четверо юношей и две девушки выбирают спортивную секцию. В секцию хоккея и бокса принимают только юношей, в секцию художественной гимнастики – только девушек, а в лыжную и конькобежную секции – и юношей, и девушек. Сколькими способами могут распределиться между секциями эти шесть человек?
31. Из лаборатории, в которой работает 20 человек, 5 сотрудников должны уехать в командировку. Сколько может быть различных составов этой группы, если начальник лаборатории, его заместитель и главный инженер одновременно уезжать не должны?
32. В фортепьянном кружке занимаются 10 человек, в кружке художественного слова –15, в вокальном кружке – 12, в фотокружке – 20 человек. Сколькими способами можно составить бригаду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?
33. Двадцать восемь костей домино распределены между четырьмя игроками. Сколько возможно различных распределений?
Ответ:
34. Из группы в 15 человек должны быть выделены бригадир и 4 члена бригады. Сколькими способами это можно сделать?
35. Пять учеников следует распределить по трем параллельным классам. Сколькими способами это можно сделать?
36. Лифт останавливается на 10 этажах. Сколькими способами могут распределиться между этими остановками 8 пассажиров, находящихся в лифте?
37. Восемь авторов должны написать книгу из шестнадцати глав. Сколькими способами возможно распределение материала между авторами, если два человека напишут по три главы, четыре – по две, два – по одной главе книги?
38. В шахматном турнире участвуют 8 шахматистов третьего разряда, 6 – второго и 2 перворазрядника. Определить количество таких составов первого тура, чтобы шахматисты одной категории встречались между собой (цвет фигур не учитывается).
39. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные пятизначные числа: не содержащие одинаковых цифр. Определить количество чисел, в которых есть цифры 2, 4 и 5 одновременно.
40. Семь яблок и два апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и чтобы количество фруктов в них было одинаковым. Сколькими способами это можно сделать?
41. Буквы азбуки Морзе состоят из символов (точек и тире). Сколько букв можно изобразить, если потребовать, чтобы каждая буква содержала не более пяти символов?
42. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
43. Садовник должен в течение трех дней посадить 10 деревьев. Сколькими способами он может распределить по дням работу, если будет сажать не менее одного дерева в день?
44. Из вазы, где стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики, выбирают один красный и два розовых цветка. Сколькими способами это можно сделать?
45. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
46. Каждый из десяти радистов пункта А старается установить связь с каждым из двадцати радистов пункта Б. Сколько возможно различных вариантов такой связи?
47. Шесть ящиков различных материалов доставляют на восемь этажей стройки. Сколькими способами можно распределить материалы по этажам? В скольких вариантах на восьмой этаж будет доставлено не более двух материалов?
48. Сколькими способами можно построить в одну шеренгу игроков двух футбольных команд так, чтобы при этом два футболиста одной команды не стояли рядом?
49. На книжной полке книги по математике и по логике – всего 20 книг. Показать, что наибольшее количество вариантов комплекта, содержащего 5 книг по математике и 5 книг по логике, возможно в том случае, когда число книг на полке по каждому предмету равно 10.
Ответ: C510–x × C510+x (C510)2 .
50. Лифт, в котором находятся 9 пассажиров, может останавливаться на десяти этажах. Пассажиры группами выходят по два, три и четыре человека. Сколькими способами это может произойти?
51. «Ранним утром на рыбалку улыбающийся Игорь мчался босиком». Сколько различных осмысленных предложений можно составить, используя часть слов этого предложения, но не изменяя порядка их следования?
52. В шахматной встрече двух команд по 8 человек участники партий и цвет фигур каждого участника определяются жеребьевкой. Каково число различных исходов жеребьевки?
Ответ:
53. A и B и еще 8 человек стоят в очереди. Сколькими способами можно расположить людей в очереди, чтобы A и B были отделены друг от друга тремя лицами?
54. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторяться; в) используются только нечетные цифры и могут повторяться; г) должны получиться только нечетные числа и цифры могут повторяться.
Ответ: а) 5 × 5 × 4 × 3=300; б) 5 × 6 = 1080; в) 34; г) 5 × 6 × 6 × 3 = 540.
55. В классе изучается 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник, если в понедельник должно быть 6 уроков и все разные?
Ответ:
56. На одной прямой взято M точек, на параллельной ей прямой N точек. Сколько треугольников с вершинами в этих точках можно получить?
Ответ:
57. Сколько есть пятизначных чисел, которые читаются одинаково справа налево и слева направо, например, 67876.
Ответ: 9 × 10 × 10 = 900.
58. Сколько разных делителей (включая 1 и само число) имеет число
59. В прямоугольной матрице A = <Aij> M строк и N столбцов. Каждое AijÎ<+1, –1>, причем произведение Aij по любой строке или любому столбцу равно 1. Сколько таких матриц?
60. В комнате N лампочек. Сколько разных способов освещения комнаты,
При которых горит:
А) ровно K лампочек (K < N);
Б) хотя бы одна лампочка.
Ответ: а) ; б) = 2N –1.
61. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?
Ответ: = 126.
62. Сколько имеется четырехзначных чисел, у которых каждая следующая цифра меньше предыдущей?
Ответ: = 210.
63. Имеется P белых и Q черных шаров. Сколькими способами их можно выложить в ряд, чтобы никакие 2 черных шара не лежали рядом (Q £ P + 1)?
Ответ: .
64. Имеется P разных книг в красных переплетах и Q разных книг в синих переплетах (Q £ P + 1). Сколькими способами их можно расставить в ряд, чтобы никакие две книги в синих переплетах не стояли рядом?
Ответ: .
65. Сколькими способами можно упорядочить <1, 2, . N> чисел так, чтобы числа 1, 2, 3 стояли рядом в порядке возрастания?
66. На собрании должны выступить 4 докладчика: A, B, C и D, причем B не может выступить раньше A. Сколькими способами можно установить их очередность.
Ответ: 12 = 3! + 2× 2 +2.
67. Сколькими способами M + N + S предметов можно распределить на 3 группы, чтобы в одной группе было m предметов, в другой – N, в третьей – S предметов.
Ответ:
68. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение X1 + X2 + . + Xm = N.
Ответ: .
69. Найти число векторов Z = (A1 A2 . AN), координаты которых удовлетворяют условиям:
1) AI Î <0, 1>;
4) AI Î <0, 1>и A1 + A2 + . + AN = R.
Ответ: 1) 2N ; 2) Kn ; 3) K1 K2 . Kn ; 4) .
70. Каково число матриц <Aij>, где Aij Î <0,1>и в которой M строк и N столбцов? 1) строки могут повторяться; 2) строки попарно различны.
Ответ: 1) 2M×N ; 2) .
71. Дано M предметов одного сорта и N другого. Найти число выборок, составленных из R элементов одного сорта и S другого.
Ответ: .
72. Сколькими способами число N можно представить в виде суммы K натуральных слагаемых (представления, различающиеся лишь порядком слагаемых считаются разными).
Ответ: .
73. Бросаются 10 одинаковых игральных костей. Сколькими способами они могут упасть так, что :
1) ни на одной кости не выпадет 6 очков;
2) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков;
3) ровно на 3-х костях выпадет 6 очков;
4) ровно на 3-х костях выпадет 6 очков, на 2-х других выпадет 5 очков.
Ответ : 510, 610-510, 24´58, 630´46
74. Считая, что телефонные номера состоят из 7 цифр, причем могут начинаться и с 0 тоже, найти число телефонных номеров, таких что:
4 последние цифры одинаковы и не встречаются среди первых 3-х (первые 3 цифры различны.);
Все цифры различны ;
Номер начинается с цифры 5;
Номер содержит три цифры 5, две цифры 1 и две цифры 2.
Ответ : 5040, , 106, 210.
75. 10 человек, среди которых Иванов и Петров, размещаются в гостинице в двух 3-х местных и в одном 4-х местном номерах. Сколькими способами они могут быть размещены? Сколькими способами их можно разместить, если Иванов и Петров помещены в 4-х местный номер?
76. 52 карты раздаются 4-м игрокам, каждому по 13 карт. Сколькими способами их можно раздать, если
Каждый игрок получит туза;
Один из игроков получит все 13 карт единой масти ;
Все тузы попадут к одному из игроков;
4) 2 определенных игрока не получат ни одного туза.
Ответ: , , , .
Регистр содержит ровно 2 одинаковые цифры ;
Регистр содержит ровно 2 пары одинаковых цифр;
Регистр содержит ровно 3 одинаковые цифры;
Регистр содержит не более 3-х различных цифр.
Ответ: , , , .
78. Сколькими способами можно выстроить 9 человек:
В колонну по одному;
В колонну по 3, если в каждой шеренге люди выстраиваются по росту и нет людей одинакового роста?
Ответ: 9!, .
79. Из N букв, среди которых A встречается α раз, буква B встречается β раз, а остальные буквы попарно различны, составляются слова. Сколько среди них будет различных R-буквенных слов, содержащих H раз букву A и K раз букву B?
Ответ: .
80. Имеется колода из 4N (N³5) карт, которая содержит карты 4-х мастей по N карт каждой масти, занумерованных числами 1,2…N. Подсчитать, сколькими способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся:
5 последовательных карт одной масти;
4 карты из 5-ти с одинаковыми номерами;
3 карты с одним номером и 2 карты с другим;
5 карт одной масти;
5 последовательно занумерованных карт;
3 карты из 5-ти с одним и тем же номером;
Не более 2-х карт каждой масти.
Ответ: 4(N–4), 4N(N–1), 12N(N–1), , 45(N–4), , .
81. Сколькими способами можно расставить N нулей и K единиц так, чтобы между любыми 2-мя единицами находилось не менее M нулей?
Комбинаторика
Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество
Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество
Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.
Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен, т.е. по условию задачи подмножества <1,2>и <2,1>не различны (соединены).
Число сочетаний без повторений
Число сочетаний с повторениями
Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле
При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу, определяющую число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов
| Выбор | Неупорядоченный | Упорядоченный |
| Без повтора | ||
| С повтором |
Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ПРИМЕР 13.2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;1;2>– различные. Повторов в подмножестве быть не может, так как шары не возвращаются в коробку.
ПРИМЕР 13.2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?
Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;2;1>дают число 123, т.е. не являются различными.
ПРИМЕР 13.2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)
ПРИМЕР 13.2.5. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «комар»?
ПРИМЕР 13.2.6. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «задача»?
Решение: Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза меньше, то есть .
ПРИМЕР 13.2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?
Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать штук.
ПРИМЕР 13.2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?
Решение: Составим вспомогательную таблицу
Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта выбора класса, то для всех 5 учеников существует способов распределения по классам.
ПРИМЕР 13.2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?
Решение: Произведем рассуждения “от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.
Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до , т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.
Тогда искомое число способов расстановки есть
ПРИМЕР 13.2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести.
ПРИМЕР 13.2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от 3 до 7 основных цветов?
Решение: Составим схему.
Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C – 4, т.е. всего маршрутов .
На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось . Тогда всего вариантов маршрута .
ПРИМЕР 13.2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?
Решение: Рассуждения произведем несколькими способами
I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать способами.
Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме
Поэтому всего способов распределения учеников будет .
II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!
Варианты контрольной работы могут распределиться
“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”
“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,
Таким образом, всего способов распределения учеников будет .
По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.
ПРИМЕР 13.2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей за круглым шестиместным столом?
Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.
Если считать, что нам важно, кто сидит на каком стуле, то это простая задача на перестановки и, следовательно, всего вариантов .
Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).
В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.
Отметим, что каждое решение будет считаться правильным при соответствующей постановке задачи.
ПРИМЕР 13.2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “хорошо” и “отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из них оценки по экзаменационным предметам совпадают?
Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида
Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 13.1.8., и получить количество вариантов . Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “дерево решений”,который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.
По “дереву решений” видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на “хорошо” и “отлично” так, что их результаты будут отличаться, но если студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.
При решении задач комбинаторики используются следующие правила.
Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран nспособами, то:
Правило суммы: выбрать либо A, либо B можно m+n способами.
Правило произведения. Пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана способами.
Примеры и задачи для самостоятельного решения
Решить комбинаторную задачу.
13.2.1.1. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.2. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать актив группы, состоящий из старосты, заместителя старосты и профорга?
13.2.1.3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?
Отв.: 3628800
13.2.1.4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?
Отв.: 126126
13.2.1.5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв: а) ровно 5 символов? б) не более пяти символов?
Отв.: а)32; б) 62
13.2.1.6. Кости для игры в домино метятся двумя цифрами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существенен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 0,1,2,3,4,5,6?
13.2.1.7. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти различных звуков?
Отв.: 9864000
13.2.1.8. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?
13.2.1.9. В некоторых странах номера трамвайных маршрутов обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?
13.2.1.10. Команда компьютера записывается в виде набора из восьми цифровых знаков – нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?
13.2.1.11. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?
Отв.: 725760
13.2.1.12. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?
13.2.1.13. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?
13.2.1.14. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?
Отв.: 9000000
13.2.1.15. У одного студента есть 7 DVD дисков, а у другого – 9 дисков. Сколькими способами они могут обменять 3 диска одного на 3 диска другого?
Отв.: 105840
13.2.1.16. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может два раза подняться на гору и спуститься с нее, если по одной и той же дороге нельзя проходить дважды?
13.2.1.17. У ювелира было 9 разных драгоценных камней: сапфир, рубин, топаз и т.д. Ювелир планировал изготовить браслет для часов, однако три камня было украдено. Насколько меньше вариантов браслета он может изготовить по сравнению с первоначальными планами?
Отв.: 362160
13.2.1.18. В поезд метро на начальной станции вошли 10 пассажиров. Сколькими способами могут выйти все пассажиры на последующих 6 станциях?
Отв.: 60466176
13.2.1.19. За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?
13.2.1.20. В классе 25 учеников. Верно ли утверждение, что, по крайней мере, у трех из них день рождения в один и тот же месяц?
13.2.1.21. На участке железной дороги расположено 25 станций с билетной кассой в каждой. Касса каждой станции продает билеты до любой другой станции, притом в обоих направлениях. Сколько различных вариантов билетов можно выдать на этом участке?
13.2.1.22. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?
Сколькими различными способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики?
Сколькими различными способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики?
А если выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых?
Пожалуйста срочно мне нужен ответ.
1) 14 * 13 * 12 = 2184 вариантов выбор из 14 цветков (10 + 4) трех цветков.
2)10 * 4 * 3 = 120 вариантов выбрать 1 красную гвоздику и 2 розовых.
В оранжерее были срезаны гвоздики : белых и розовых 400 штук, розовых и красных 300 штук, белых и красных 440 штук?
В оранжерее были срезаны гвоздики : белых и розовых 400 штук, розовых и красных 300 штук, белых и красных 440 штук.
Сколько всего гвоздик было срезано в оранжерее?
В цветочном магазине было 37 красных гвоздик, 12 белых гвоздик и 11 розовых гвоздик?
В цветочном магазине было 37 красных гвоздик, 12 белых гвоздик и 11 розовых гвоздик.
Из всех гвоздик сделали букеты по 5 цветков в кождом.
Сколько получилось таких букетов?
В вазе стояло 7 белых и розовых гвоздик?
В вазе стояло 7 белых и розовых гвоздик.
3 гвоздики были розовыми.
Сколько белых гвоздик в вазе?
В вазе 10 красных и 6 желтых гвоздик?
В вазе 10 красных и 6 желтых гвоздик.
Сколькими способами можно составить букет из 5 гвоздик?
В оранжерее были срезаны гвоздики : белых и розовых 500 штук, розовых и красных - 400, белых и красных - 300?
В оранжерее были срезаны гвоздики : белых и розовых 500 штук, розовых и красных - 400, белых и красных - 300.
Сколько гвоздик каждого цвета было срезано в оранжерее?
В оранжерее срезали гвоздики белых и розовых 400 розовых и красных 300 белых и красных 440 сколько гвоздик каждого цвета было срезано?
В оранжерее срезали гвоздики белых и розовых 400 розовых и красных 300 белых и красных 440 сколько гвоздик каждого цвета было срезано.
В вазе было 3 розовых и 5 красных гвоздик?
В вазе было 3 розовых и 5 красных гвоздик.
После того, как поставили в вазу несколько гвоздик, их стало 25.
Сколько гвоздик поставили в вазу?
Помогите срочно пожалуйста люди из 48 красных гвоздик, 72 белых гвоздик и 120 розовых гвоздик составили одинаковые букеты?
Помогите срочно пожалуйста люди из 48 красных гвоздик, 72 белых гвоздик и 120 розовых гвоздик составили одинаковые букеты.
Их число было более 20.
Сколько букетов состаУ МЕНЯ ТОЛЬКО ОТВЕТ ДОЛЖНО ПОЛУЧИТСЯ 24.
Решите пожалуйста?
1. В вазе стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики.
можно выбрать три цветка из вазы?
2. На книжной полке помещается 30 томов.
Сколькими способами их можно розтавиты, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?
* В букете белых гвоздик в 2 раза больше, чем красных, а красных в 2 раза больше, чем розовых?
* В букете белых гвоздик в 2 раза больше, чем красных, а красных в 2 раза больше, чем розовых.
Во сколько раз белых гвоздик больше, чем розовых?
На этой странице находится вопрос Сколькими различными способами можно выбрать 3 цветка из вазы, в которой стоят 10 красных и 4 розовых гвоздики?, относящийся к категории Математика. По уровню сложности данный вопрос соответствует знаниям учащихся 10 - 11 классов. Здесь вы найдете правильный ответ, сможете обсудить и сверить свой вариант ответа с мнениями пользователями сайта. С помощью автоматического поиска на этой же странице можно найти похожие вопросы и ответы на них в категории Математика. Если ответы вызывают сомнение, сформулируйте вопрос иначе. Для этого нажмите кнопку вверху.
Радиус основания конуса будет являться половиной стороны четырехугольной пирамиды, а высота конуса равна высоте пирамиды. S(полное) = a ^ 2 + 192 = 144 + 192 = 336.
В основании - квадрат со стороной = 2 * R, где R - радиус окружности. Т. е. 2 * 6 = 12. Площадь основания = 12 ^ 2 = 144. Боковая грань - равнобедренный треугольник, основание которого 12, а высота 10. Следовательно площадь одной грани = 1 / 2 *..
Цифрой 5. Если быть точнее сумма равна 4. 905 4. 905
1)720. 1)840 2)900. 2)685 3)560. 3)605 4)660. 4)520.
12 ч - 43200 сек. 15 ч - 54000сек. 9ч 20мин - 32700сек. 11ч 30мин - 41400сек. 14мин - 840сек. 11 мин 25с - 685сек. 10мин 5с - 605сек. 8мин 40с - 520сек.
А) 1)7640м = 7км640м 2)8385м = 8км385м 3)15030м = 15км30м 4)30608м = 30км608м б) 1)9040г = 9кг40г 2)2006г = 2кг6г 3)27534г = 27кг534г 4)368700г = 368кг700г в) 1)165ц = 16т500кг 2)500900кг = 500т900кг 3)21004кг = 21т4кг 4)1264ц = 126т400кг.
1)вынесем за скобки 21 и сократим, потом в конце сократим на 4 : 2) сокращаем на 3x 3)Cокращаем на 21 .
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Элементы комбинаторики
При решении вероятностных задач часто используются формулы комбинаторики – одного из разделов математики, который изучает различные комбинации, составленные из заданного конечного множества различимых между собой объектов различной природы (буквы алфавита, цифры, предметы и др.).
Факториал
Определение.Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от n до
Факториал натурального числа n обозначается n! и читается «эн факториал»
(3.1)
Факториал нуля равен единице
Пример 3.1.Сократить дробь:
Пример 3.2. Сократить дробь:
Перестановки
Определение. Комбинации из nэлементов множества, отличающиеся порядком, называются перестановками.
Число перестановок из n элементов обозначается Pn.
Пример 3.3. Сколькими способами можно разместить на полке три книги?
В данной задаче необходимо найти число перестановок из четырех элементов. Существует четыре варианта выбора первой книги. Далее остается три варианта выбора второй книги, два варианта третьей книги и один способ выбора четвертой книги.
Таким образом, число способов N разместить четыре книги на полке равно произведению чисел 4, 3, 2 и 1, т. е.
способа.
Пример 3.4.Сколько различных буквенных комбинаций можно составить из букв слова «апельсин»?
Слово «апельсин» состоит из 8 различных букв, поэтому число буквенных комбинаций равно числу перестановок из 8 элементов, то есть применима формула (3.2)
Интересно отметить, что из всех этих комбинаций только одна – спаниель – является осмысленным словом русского языка.
3.1. Сократить дробь:
а) б) в) г) д) е) ж)
3.2. Сколько различных предложений можно составить из трех слов: «сегодня», «идет», «дождь»?
3.3. Сколько различных пятизначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4 и 5?
3.4. Сколькими способами можно разместить четырех пассажиров в четырехместном купе поезда?
3.5. Порядок выступления семи участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?
Размещения
Определение. Размещениями из n элементов по k (n ³ k) называют множество комбинаций из k элементов, выбираемых из n элементов, отличающихся составом или порядком.
Число размещений из n элементов по k принято обозначать
(3.4)
Заметим, что понятие перестановок можно определить используя понятие размещений.
Определение.Размещения из n элементов по n называются перестановками.
Действительно, учитывая (3.3), имеем:
Используя формулу (3.4), получим тот же результат:
С помощью данного соотношения легко объяснить, почему принято считать 0!=1.
Пример 3.5.Сколько двухбуквенных комбинаций, не содержащих повторений, можно составить из 32 букв русского алфавита?
В данной задаче необходимо найти число размещений из 32 элементов по 2 по формуле (3.3):
двухбуквенных комбинаций.
По данным «Словаря русского языка», из этих 992 комбинаций только 114 являются словами. Например, да, ад, еж, яр и т. д.
Пример 3.6.Учащиеся 9 класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание уроков на один день так, чтобы было 6 различных уроков?
3.6. Сколько различных шестизначных телефонных номеров, не содержащих одинаковых цифр, можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9?
3.7. В классе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать трех учащихся для участия в олимпиадах по математике, русскому языку и биологии?
3.8. В соревнованиях по бегу принимают участие 20 спортсменов. Сколькими способами могут быть распределены между участниками первое, второе и третье места?
Сочетания
Определение. Сочетаниями из n элементов по k (n ³ k) называют множество комбинаций из k элементов, выбираемых из n элементов, отличающихся составом.
Число сочетаний из n элементов по k принято обозначать
Из определения сочетаний следует, что они отличаются друг от друга только элементами, и поэтому сочетания еще называют выборками.
Для вычисления рассмотрим размещения из n элементов по k и объединим в отдельные группы комбинации, которые содержат k одинаковых элементов и отличаются только порядком этих элементов. Каждая группа будет содержать Pk = k! элементов, поэтому справедливо равенство:
.
Отсюда с учетом формул (3.2) и (3.4) следует:
. (3.5)
. (3.6)
Пример 3.7. В соревновании участвуют 12 спортсменов. Сколькими способами можно выбрать трех из них для участия в первом забеге?
При выборе трех спортсменов из двенадцати порядок, в котором их будут выбирать, не играет роли, поэтому число способов, которыми можно выбрать трех из них для участия в первом забеге, найдем с помощью формулы (3.5):
способов.
3.10. Сколькими способами можно в карточке «Спортлото» зачеркнуть 6 номеров из 49?
3.11. В наборе 12 цветных карандашей. Сколькими способами можно выбрать четыре карандаша из этого набора?
3.12. Решить уравнение:
а) б) в) г)
Правило сложения
Правило. Если элемент из множества А можно выбрать m способами, а элемент из множества В – n способами, причем множества А и В не пересекаются, то выбрать один элемент из этих множеств можно m + n способами:
Следствие.С помощью метода математической индукции правило сложения распространяется на любое число конечных непересекающихся множеств и любое количество выбираемых из этих множеств элементов.
В формулировках задач на правило сложения используется союз русского языка «или» по аналогии с операциями объединения множеств и дизъюнкции.
Пример 3.8.В урне 5 белых и 6 красных шариков. Сколькими способами можно выбрать два шарика одного цвета?
В данной задаче необходимо найти число способов N, которыми можно выбрать 2 белых шара из 5 белых шаров или 2 красных шара из 6 красных шаров. Пусть A – множествобелых шаров, B – множество красных шаров, при этом множества A и B – не пересекаются. Для того чтобы найти число способов, которыми можно выбрать два элемента из множеств A или B, воспользуемся следствием правила сложения. Учитывая, что 2 элемента из 5 можно выбрать числом способов равным, а 2 элемента из 6 можно выбрать числом способов, равным и, используя формулу (3.5), имеем:
способов.
3.13. В лабораторной клетке находятся 4 белых, 5 серых и 6 черных кроликов. Сколькими способами можно выбрать одного кролика из всех, находящихся в клетке?
3.14. На парте лежат тетрадь, книга, ручка и карандаш. Сколькими способами можно выбрать один предмет?
3.15. Сколькими способами можно выбрать не менее пяти карандашей разного цвета из семи имеющихся в наборе?
3.16. В урне 3 белых, 5 синих и 7 красных шариков. Сколькими способами можно выбрать три шарика одного цвета?
3.17. Некоторый комитет состоит из 12 человек. Минимальный кворум (наименьшее количество человек, которое должно присутствовать на заседании) для принятия решения составляет 8 человек. Сколькими способами может быть достигнут какой-либо кворум (на заседании должно присутствовать не менее 8 человек)?
Правило произведения
Правило. Пусть множество А состоит из элементов (a1, a2,…am), множество В – из элементов (b1, b2,…bk). Из множества А выбирается один из его m элементов и независимо от него из множества В выбирается любой из его k элементов. Множество всех пар, которые можно составить из элементов множеств А и В, можно записать в следующем виде:
Таким образом, общее число N всех пар равно m × n:
Следствие.С помощью метода математической индукции правило произведения распространяется на любое число конечных множеств и любое количество выбираемых из этих множеств элементов.
В формулировках задач на правило произведения часто используется союз русского языка «и» по аналогии с операциями пересечения множеств и конъюнкции.
Пример 3.9.В столовой предлагают два вида первых блюд, три вида вторых блюд и два вида десерта. Сколькими способами можно составить обед из трех блюд?
Обозначим множество первых блюд через А, вторых – В и третьих – С. Обозначив число способов, которыми можно составить обед из трех блюд через N и используя правило произведения, получим:
N = 2 × 3 × 2 = 12 способов.
Пример 3.10.В урне 3 красных и 4 синих шарика. Сколькими способами можно выбрать четыре шарика так, чтобы два из них были красными, а два – синими?
Обозначим множество красных шариков через А, синих– В. Обозначив число способов, которыми можно выбрать два красных шарика из множества А и два синих шарика – из множества В, через N и используя правило произведения, получим:
способов.
Пример 3.11.В урне 5 красных, 7 белых и 4 зеленых шарика. Сколькими способами можно выбрать три шарика так, чтобы из них хотя бы два были красными?
Обозначим множество красных шариков через А, белых– В, зеленых – C. Вопрос, поставленный в задаче можно сформулировать следующим образом: сколькими способами можно выбрать три шарика так, чтобы было два красных шарика и один белый или два красных шарика и один зеленый или три красных шарика?
Обозначив число способов, которыми можно выбрать три шарика так, чтобы из них хотя бы два были красными через, N и, используя правила суммы и произведения, получим:
3.18. В вазе стоят пять розовых, семь красных и три белых розы. Сколькими способами можно выбрать три розы разного цвета? Сколькими способами можно выбрать три розы так, чтобы две были белые, а одна красная? Сколькими способами можно выбрать пять роз так, чтобы две из них были белыми, две красными и одна розовая?
3.19. В генетическом эксперименте использовали 4 белых, 7 красных и 5 розовых цветков гороха, которые были выбраны из имеющихся 10 белых, 10 красных и 10 розовых цветков. Сколькими способами можно было выбрать цветки для эксперимента?
3.20. В лабораторной клетке находятся 4 белых, 5 серых и 6 черных кроликов. Сколькими способами можно выбрать трех кроликов разного цвета? Сколькими способами можно выбрать шесть кроликов так, чтобы два из них были белыми, два серыми и два черными? Сколькими способами можно выбрать четырех кроликов так, чтобы два из них были белыми, один серый и один черный?
3.21. В урне 3 белых, 5 синих и 7 красных шариков. Сколькими способами можно выбрать три белых шарика и один синий? Сколькими способами можно выбрать пять шариков так, чтобы два из них были белыми, два – синими и один красным?
3.22. Из 10 красных и 7 белых гвоздик нужно составить букеты из трех цветов. Сколькими способами можно это сделать?
3.23. В 9 классе обучаются 11 мальчиков и 14 девочек. Сколькими способами можно выбрать 5 учащихся для участия в конкурсе КВН так, чтобы в команде было не менее трех мальчиков?
3.24. На книжной полке стоит собрание сочинений из 20 томов. Сколькими способами можно переставить книги так, чтобы первый и второй тома стояли рядом? Сколькими способами можно переставить книги так, чтобы третий и четвертый тома не стояли рядом?
Контрольные вопросы
1. Сформулировать определение понятия факториала. Как вычисляется факториал натурального числа?
2. Сформулировать определение понятия перестановок. Как вычисляются перестановки?
3. Сформулировать определение понятия размещений. Как вычисляются размещения?
4. Сформулировать определение понятия сочетаний. Как вычисляются сочетания?
5. Сформулировать правило сложения. Привести примеры применения правила сложения для решения задач комбинаторики.
6. Сформулировать правило произведения. Привести примеры применения правила произведения для решения задач комбинаторики.
Читайте также: