Девять цветков случайным образом ставят в 3 вазы

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 05.10.2024

3. задачи с вазами

Теория полезности экспериментально исследовалась в так называемых задачах с вазами (или урнами). Ваза — это непрозрачный сосуд, в котором находится определенное (известное лишь организатору эксперимента) количество шаров различного цвета. Задачи с вазами типичны для группы наиболее простых задач принятия решений — задач статистического типа. Для решения этих задач надо знать элементарные начала теории вероятностей [4]. Человек делает выбор в этих задачах, основываясь на расчетах. Варианты действий выражены в наиболее простом виде.

Типовая задача для испытуемого может быть представлена следующим образом [3]. Перед испытуемым ставится ваза, которая может быть вазой 1-го или 2-го типа. Дается следующая информация: сколько имеется у экспериментатора ваз 1-го и 2-го типов; сколько черных и красных шаров в вазах 1-го и 2-го типов; какие выигрыши ожидают испытуемого, если он угадает, какого типа ваза; какие проигрыши ожидают его, если он ошибется. После получения такой информации испытуемый должен сделать выбор: назвать, к какому типу принадлежит поставленная перед ним ваза.

Пусть, например, экспериментатор случайно выбирает вазу для испытуемого из множества, содержащего 700 ваз 1-го типа и 300 ваз 2-го типа. Если перед испытуемым находится ваза 1-го типа и он угадает это, то получит выигрыш 350 денежных единиц (д.е.), если не угадает, его проигрыш составит 50 д.е. Если перед ним ваза 2-го типа и он это угадает, то получит выигрыш 500 д.е., если не угадает, его проигрыш составит 100 д.е. Примем, что полезность для испытуемого равна качеству денежных единиц. Испытуемый может предпринять одно из следующих действий: d1 — сказать, что ваза 1-го типа; d2 — сказать, что ваза 2-го типа.

Условия задачи можно представить в табл. 2.1.

Представление задачи с вазами

Вероятность выбора вазы данного типа

Действия и выигрыши

Что же делать человеку? Теория полезности отвечает: оценить среднюю (ожидаемую) полезность каждого из действий и выбрать действие с максимальной ожидаемой полезностью. В соответствии с этой рекомендацией мы можем определить среднее значение выигрыша для каждого из действий:

U(d1) = 0,7Ä350 0,3Ä50 = 230 д.е;

U(d2) = 0,3Ä500 0,7Ä100 = 80 д.е.

Следовательно, разумный человек выберет действие d1, а не действие d2.

Из этого примера следует общий рецепт действий для рационального человека: определить исходы, помножить их на соответствующие вероятности, получить ожидаемую полезность и выбрать действие с наибольшей полезностью.

Задачи с вазами помогут нам познакомиться с построением деревьев решений и принятием решений с их помощью.

Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных странах

Комментарии, рецензии и отзывы

Сколькими способами можно составить букет?

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

Сколькими способами можно составить букет?
4)есть 8 разных цветов. Сколькими способами из них можно составить букет, который содержит непарное.

Сколькими способами можно составить букет?
Помогите пожалуйста с задачами. Для закрытия всех долгов не хватает только этого 2. Есть 10.

Сколькими способами можно составить делегацию?
В организации работают 2 юриста, 5 экономистов и 6 специалистов по пиротехнике. На конференцию.

Сколькими способами можно составить расписание
В третьем классе изучается 10 предметов. В понедельник 4 урока. Сколькими способами можно составить.

Если это сочетание, то по вышеприведенной формуле легко получается ответ 35. (На что также указал ТС.)

С чем не согласна я и автор задачника. Потому что вопрос стоял "сколькими разными способами", а не "используя строго разные цветы". Таким образом, цветок каждого из 7 видов можно использовать даже по три штуки на букет, ограничения на кол-во цветов для букета нет.

Я решала методом логики и листочка и получила:

способы
111, 222, 333, 444, 555, 666, 777 = 7 шт

112, 113, 114, 115, 116, 117 = 6 шт
221, 223, 224, 225, 226, 227 = 6 шт
331, 332, 334, 335, 336, 337 = 6 шт
441, 442, 443, 445, 446, 447 = 6 шт
551, 552, 553, 554, 556, 557 = 6 шт
661, 662, 663, 664, 665, 667 = 6 шт
771, 772, 773, 774, 775, 776 = 6 шт

123, 124, 125, 126, 127
134, 135, 136, 137
145, 146, 147
156, 157
167 = 15 шт

234, 235, 236, 237
245, 246, 247
256, 257
267 = 10 шт

345, 346, 347
356, 357
367 = 6 шт

456, 457
467 = 3 шт

Ответ: 84. В учебнике такой же.

Как это формализовать в нормальный вид? Простите, я второй раз в жизни вижу задачи по комбинаторике и еще пока путаюсь. Какую формулу/лы использовать?

Добавлено через 23 минуты
Не нашла редактирующей кнопки. Пишу тут.

Все, я поняла, как решать без всяких этих листочков. Просто не поверила сначала, что я могу быть "более права", чем форумчанин выше и начала дотошно считать. Потом посмотрела ответ.

Комбинаторика

Если в последовательности нет одинаковых элементов, то говорят о размещении без повторений. Их количество

Если в последовательности допускается наличие одинаковых элементов, то говорят о размещении с повторениями. Их количество

Любое подмножество (неупорядоченное), состоящее из k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Различные сочетания отличаются друг от друга только самими входящими в них элементами, порядок их следования безразличен, т.е. по условию задачи подмножества <1,2>и <2,1>не различны (соединены).

Число сочетаний без повторений

Число сочетаний с повторениями

Количество способов переставить элементов в заданном множестве (количество перестановок) вычисляется по формуле

При решении простейших комбинаторных задач можно использовать следующую таблицу, определяющую число множеств, состоящих из k элементов, отбираемых из множества, содержащего n элементов

Выбор	Неупорядоченный	Упорядоченный
Без повтора
С повтором

Рассмотрим разницу между сочетаниями, размещениями с повторениями, без повторений на следующих примерах.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ПРИМЕР 13.2.1 В коробке 6 шаров, пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются друг за другом 3 шара и в этом же порядке записывают полученные цифры. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?

Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;1;2>– различные. Повторов в подмножестве быть не может, так как шары не возвращаются в коробку.

ПРИМЕР 13.2.2. В коробке 6 шаров пронумерованных от 1 до 6. Из коробки вынимаются 3 шара и записывают число в порядке возрастания цифр. Сколько трехзначных чисел можно таким образом записать?

Решение: По условию задачи подмножества <1;2;3>и <3;2;1>дают число 123, т.е. не являются различными.

ПРИМЕР 13.2.3. Условие задачи 2.1 (шары возвращаются в коробку)

ПРИМЕР 13.2.4. Условие задачи 2.2 (шары возвращаются в коробку)

ПРИМЕР 13.2.5. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «комар»?

ПРИМЕР 13.2.6. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «задача»?

Решение: Если бы все шесть букв слова были различны, то число перестановок было бы 6! Но буква «а» встречается в данном слове три раза, и перестановки только этих трех букв «а» не дают новых способов расположения букв. Поэтому число перестановок букв слова «задача» будет не 6!, а в 3! раза меньше, то есть .

ПРИМЕР 13.2.7. В мастерской имеется материал 5 цветов. Поступил заказ на пошив флагов, состоящих из трех горизонтальных полос разного цвета каждый. Сколько таких различных флагов может сшить мастерская?

Решение: Флаги отличаются друг от друга как цветом полос, так и их порядком, поэтому разных флагов можно сделать штук.

ПРИМЕР 13.2.8. Сколькими способами можно распределить 5 учеников по 3 параллельным классам?

Решение: Составим вспомогательную таблицу

Таким образом, видно, что если для одного ученика существует 3 варианта выбора класса, то для всех 5 учеников существует способов распределения по классам.

ПРИМЕР 13.2.9. На книжной полке помещается 30 томов. Сколькими способами их можно расставить, чтобы при этом первый и второй том не стояли рядом?

Решение: Произведем рассуждения “от обратного”. Тридцать томов на одной полке можно разместить 30! способами.

Если 1 и 2 тома должны стоять рядом, то число вариантов расстановки сокращается до , т.к. комбинацию из 1 и 2 тома можно считать за один том, но при этом они могут стоять как (1;2) или (2;1), т.е.

Тогда искомое число способов расстановки есть

ПРИМЕР 13.2.10. Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга, т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой. Определить, какое количество встреч следует провести.

ПРИМЕР 13.2.11. Автомобильная мастерская имеет для окраски 10 основных цветов. Сколькими способами можно окрасить автомобиль, если смешивать от 3 до 7 основных цветов?

Решение: Составим схему.

Из рисунка видно, что вариантов маршрута из А в B существует 3, и из B в C – 4, т.е. всего маршрутов .

На обратном пути вариантов маршрута из С в B существует 3 (один уже пройден), и из B в А – 2, т.е. всего возможных обратных маршрутов осталось . Тогда всего вариантов маршрута .

ПРИМЕР 13.2.13. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы. Сколькими способами можно посадить учеников в два ряда по 6 человек, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

Решение: Рассуждения произведем несколькими способами

I способ) Первоначально 12 учеников разбивают на 2 группы по 6 человек. Это можно сделать способами.

Затем они могут распределиться по своим рядам согласно схеме

Поэтому всего способов распределения учеников будет .

II способ) Первоначально 12 учеников запускают в класс, указывая место, где каждый должен сидеть, например “второй ряд, третье место”. Так как посадочных мест также 12, то всего вариантов распределения 12!
Варианты контрольной работы могут распределиться

“I вариант – I ряд, II вариант – II ряд”

“II вариант – I ряд, I вариант – II ряд”,

Таким образом, всего способов распределения учеников будет .

По приведенным решениям видно, что результаты решений совпадают.

ПРИМЕР 13.2.14. Сколько существует вариантов расположения шести гостей за круглым шестиместным столом?

Решение: Эта задача имеет разные решения и, соответственно разные ответы – в зависимости от того, что понимать под различным расположением гостей за столом. Поэтому исследуем возможные варианты.

Если считать, что нам важно, кто сидит на каком стуле, то это простая задача на перестановки и, следовательно, всего вариантов .

Если же важно не то, кто какой стул занял, а то, кто рядом с кем сидит, то требуется рассмотреть варианты взаимного расположения гостей. В таком случае, расположения гостей, получаемые одно из другого при повороте гостей вокруг стола, фактически являются одинаковыми (смотри рисунок).

В такой постановке вопроса общее число различных вариантов расположений гостей уменьшается вдвое и составляет 60.

Отметим, что каждое решение будет считаться правильным при соответствующей постановке задачи.

ПРИМЕР 13.2.15. Семнадцать студентов сдали экзамены по 4 предметам только на “хорошо” и “отлично”. Верно ли утверждение, что хотя бы у двух из них оценки по экзаменационным предметам совпадают?

Решение: Очевидно, что в данном случае речь идет о возможных вариантах вида

Данный пример можно решить способом, изложенным в примере 13.1.8., и получить количество вариантов . Приведем другой наглядный способ решения, использующий так называемое “дерево решений”,который представляет все варианты (16 штук) получения экзаменационных оценок.

По “дереву решений” видно, что 16 студентов могут сдать экзамены только на “хорошо” и “отлично” так, что их результаты будут отличаться, но если студентов 17, хотя бы одно повторение обязательно будет.

При решении задач комбинаторики используются следующие правила.

Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект B может быть выбран nспособами, то:

Правило суммы: выбрать либо A, либо B можно m+n способами.

Правило произведения. Пара объектов (A,B) в указанном порядке может быть выбрана способами.

Примеры и задачи для самостоятельного решения

Решить комбинаторную задачу.

13.2.1.1. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать старосту, заместителя старосты и профорга?

13.2.1.2. В группе 25 студентов. Сколькими способами можно выбрать актив группы, состоящий из старосты, заместителя старосты и профорга?

13.2.1.3. Сколькими способами можно составить список из 10 человек?

Отв.: 3628800

13.2.1.4. Сколькими способами из 15 рабочих можно создать бригады по 5 человек в каждой?

Отв.: 126126

13.2.1.5. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить, используя для кодировки каждой из букв: а) ровно 5 символов? б) не более пяти символов?

Отв.: а)32; б) 62

13.2.1.6. Кости для игры в домино метятся двумя цифрами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существенен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 0,1,2,3,4,5,6?

13.2.1.7. Сколько различных звукосочетаний можно взять на десяти выбранных клавишах рояля, если каждое звукосочетание может содержать от трех до десяти различных звуков?

Отв.: 9864000

13.2.1.8. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?

13.2.1.9. В некоторых странах номера трамвайных маршрутов обозначаются двумя цветными фонарями. Какое количество различных маршрутов можно обозначить, если использовать фонари восьми цветов?

13.2.1.10. Команда компьютера записывается в виде набора из восьми цифровых знаков – нулей и единиц. Каково максимальное количество различных команд?

13.2.1.11. Десять групп занимаются в десяти расположенных подряд аудиториях. Сколько существует вариантов расписания, при которых группы 1 и 2 находились бы в соседних аудиториях?

Отв.: 725760

13.2.1.12. Два почтальона должны разнести 10 писем по 10 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу?

13.2.1.13. Замок открывается только в том случае, если набран определенный трехзначный номер. Попытка состоит в том, что набирают наугад три цифры из заданных пяти. Угадать номер удалось только на последней из всех возможных попыток. Сколько попыток предшествовало удачной?

13.2.1.14. Номер автомобильного прицепа состоит из двух букв и четырех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 30 букв и 10 цифр?

Отв.: 9000000

13.2.1.15. У одного студента есть 7 DVD дисков, а у другого – 9 дисков. Сколькими способами они могут обменять 3 диска одного на 3 диска другого?

Отв.: 105840

13.2.1.16. На вершину горы ведут 7 дорог. Сколькими способами турист может два раза подняться на гору и спуститься с нее, если по одной и той же дороге нельзя проходить дважды?

13.2.1.17. У ювелира было 9 разных драгоценных камней: сапфир, рубин, топаз и т.д. Ювелир планировал изготовить браслет для часов, однако три камня было украдено. Насколько меньше вариантов браслета он может изготовить по сравнению с первоначальными планами?

Отв.: 362160

13.2.1.18. В поезд метро на начальной станции вошли 10 пассажиров. Сколькими способами могут выйти все пассажиры на последующих 6 станциях?

Отв.: 60466176

13.2.1.19. За одним столом надо рассадить 5 мальчиков и 5 девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?

13.2.1.20. В классе 25 учеников. Верно ли утверждение, что, по крайней мере, у трех из них день рождения в один и тот же месяц?

13.2.1.21. На участке железной дороги расположено 25 станций с билетной кассой в каждой. Касса каждой станции продает билеты до любой другой станции, притом в обоих направлениях. Сколько различных вариантов билетов можно выдать на этом участке?

13.2.1.22. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько было сделано рукопожатий?

17. Вероятность случайных событий

Чтобы охарактеризовать вероятность события числом, нужно установить единицу измерения вероятности. Здесь поступают следующим образом: достоверному событию приписывают вероятность, равную единице; невозможному – равную нулю. Таким образом, вероятность P(A) события А должна удовлетворять следующим условиям:

1) P(A)=1, если А – достоверное событие;

2) P(A)=0, если А – невозможное событие;

3) 0<P(A)<1, если А – случайное событие.

Существует несколько подходов к нахождению вероятности события: классический, геометрический, статистический, аксиоматический. Мы рассмотрим только классическое и статистическое определения вероятности.

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности (или равновероятности). Это понятие относится к числу первичных, не подлежащим формальному определению. Оно лишь поясняется рядом простых и доступных примеров. Например, выпадение одной из сторон монеты или одной из граней игральной кости – равновозможные события. Это утверждение опирается на повседневную практику и симметрию изучаемого объекта. Симметрия возможных исходов чаще всего наблюдается в искусственно организованных опытах, где приняты специальные меры для ее обеспечения (например, тасовка карт или костей домино, которая для того и производится, чтобы каждая из них могла быть выбрана с одинаковой вероятностью; или же приемы случайного выбора группы изделий для контроля качества в производственной практике). В таких опытах подсчет вероятностей производится проще всего. Не случайно первоначальное свое развитие теория вероятностей получила на материале азартных игр.

Говорят, что несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них. Примеры событий, образующих полную группу: 1) появление «1», «2», «3», «4», «5», «6» очков при бросании игральной кости; 2) «два попадания», «два промаха», «одно попадание» при двух выстрелах по мишени; 3) «появление хотя бы одного белого», «появление хотя бы одного черного» шара при вынимании двух шаров из урны. Несовместные события, образующие полную группу, называются элементарными событиями (или элементарными исходами). Отметим, что события первого и второго примеров являются элементарными, а третьего – нет, т. к. они совместны.

Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию. Например, при бросании одной игральной кости для события, состоящего в том, что выпадет не более двух очков, благоприятствующими элементарными исходами будут выпадение «1» или «2» очков.

Классическое определение вероятности: вероятностью события А называется отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

(15.1)

При вычислении вероятностей по классической схеме приходится решать фактически комбинаторные задачи. При решении конкретной комбинаторной задачи нужно вначале выяснить, каким способом вы будете ее решать, либо непосредственным применением принципов умножения и сложения, либо применением комбинаторных формул, но перед этим нужно выяснить какой вид комбинации имеется в задаче, важен ли в ней порядок или нет, допускаются повторения или нет.

Пример 15.1. В колоде 36 карт. Какова вероятность вынуть: а) туза; б) туза пик; в) тузы красного цвета; г) любую карту, кроме туза.

Решение. Найдем общее число возможных исходов. Поскольку вынимается только одна карта, то число всевозможных исходов будет n=36. Найдем число благоприятствующих исходов для каждого случая. а) В колоде всего четыре туза, следовательно, m1=4. Тогда

Б) Имеется всего один пиковый туз, т. е. m2=1 и

В) Тузов красного цвета в колоде два (черви и бубни), т. е. m3=2 и

Г) Карт, отличающихся от туза, в колоде всего m4=32. Следовательно, искомая вероятность будет равна

Пример 15.2. На школьной вечеринке разыгрывается 100 билетов, из них 25 – выигрышных. Главный приз – компьютер – 1, игровых приставок – 5 и остальные призы поощрительные – шариковые ручки. Какова вероятность того, что владелец одного билета: а) выиграет главный приз; б) выиграет ценный приз; в) хоть что-нибудь выиграет; г) выбросит деньги на ветер?

Решение. Очевидно, что общее исходов n=100. Рассмотрим каждую из ситуаций отдельно. а) Благоприятствующих исходов выиграть компьютер только один: m1=1. Поэтому вероятность выиграть компьютер будет

Б) Для второго случая , т. е. вероятность выиграть ценный приз

В) Всего выигрышных билетов m3=25, следовательно, вероятность хоть что-нибудь выиграть равна

8) Поскольку проигрышных билетов m4=75, то вероятность выбросить деньги на ветер, т. е. ничего не выиграть, равна

Пример 15.3. В урне содержатся 3 синих, 5 красных и 2 белых шара. Из нее наудачу извлекаются сразу два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты либо два белых шара, либо два разных цветных (синий и красный) шара.

Решение. Поскольку в данной задаче неважен порядок, то для решения будем применять сочетания без повторения (шары не возвращаются обратно в урну). Найдем общее число возможных исходов:

Теперь найдем число благоприятствующих возможных исходов. Два белых шара можно вынуть m1=C22=1 способом, два разных цветных шара m2=C31×C51=3×5=15 способами. Тогда общее число благоприятствующих исходов, в соответствии с принципом сложения, равно m = m1+m2 = 16. Таким образом,

Пример 15.4. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность, что в нем все цифры разные?

Решение. Предположим, что равновозможны появления любой из 10 цифр во всех позициях телефонного номера. Поскольку при составлении пятизначным номеров важен порядок и возможны повторения, то общее число возможных пятизначных номеров будет равно

Номера, у которых все цифры разные, – это размещения без повторений

Таким образом, искомая вероятность (при сделанном предположении) будет равна

15.1. Зенитная батарея, состоящая из 3 орудий, производит залп по группе, состоящей из 4 самолётов. Каждое из орудий выбирает себе цель наудачу независимо от остальных. Найти вероятность того, что все орудия выстрелят: а) по разным самолётам; б) по одному и тому же самолёту.

Решение: В данной задаче важен порядок, т. е. различается, какое орудие и по какому самолету выстрелило. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с размещениями. Поскольку орудия могут выстрелить по одному и тому же самолету, то общее число возможных исходов будет равно числу размещений с повторениями .

А) Если все орудия выстрелят по разным самолетам, то будем иметь дело с размещениями без повторений. Тогда число благоприятствующих исходов будет равно . Таким образом,

Б) Если все орудия выстрелят по одному и тому же самолету, то число благоприятствующих исходов будет равно . Таким образом,

15.2. Собрание, на котором присутствуют 20 человек, в том числе 8 женщин, выбирают делегацию из 5 человек. Найти вероятность того, что в делегацию войдут 3 женщины, считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой вероятностью?

Ответ: .

15.3. Для уменьшения общего количества игр 10 команд случайным образом разбиты на две равные подгруппы. Определить вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся в одной подгруппе.

Решение: В данной задаче порядок неважен, т. е. не принимается во внимание порядок отбора команд в группу. Следовательно, в данной задаче мы имеем дело с сочетаниями. Для того чтобы разбить 10 на две равные подгруппы достаточно выбрать 5 команд, которые и образуют одну из подгрупп, тогда остальные образуют другую подгруппу. Таким образом, общее число разбиений команд на две равные подгруппы будет равно . Для того, чтобы разбить команды на две подгруппы с указанными условиями, можно поступить следующим образом. Либо выбрать две наиболее сильные команды (это можно сделать способами ), а затем добавить к ним 3 оставшиеся команды из оставшихся 8 не самых сильных команд ( способов). Либо выбрать сразу 5 команд из 8 не самых сильных команд ( способов). Тогда число благоприятствующих исходов будет равно . Таким образом,

15.4. Шесть различных книг случайных образом расставляют на полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом.

Ответ: .

15.5. 10 вариантов контрольной работы распределены среди 6 студентов. Найти вероятность того, что варианты с номерами 1, 2 и 3 не будут использованы.

Ответ: .

15.6. В первой урне находятся 5 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 6 черных шаров. Из каждой урны случайным образом вынули по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара будут разного цвета.

Ответ: .

15.7. В урне 4 белых и 5 черных шаров. Из урны взяли три шара. Какова вероятность того, что шары будут одного цвета?

Ответ: .

При различных подходах к вероятности, величина P(A) может трактоваться по-разному. На практике часто используются статистическое определение вероятности, т. е. под вероятностью события A понимается величина

, (15.2)

Где под n понимается количество наблюдений результатов эксперимента, в которых событие A встречалось ровно m раз (конечно, число наблюдений n должно быть достаточно большим).

Пример 15.3. Аналитик по инвестициям собирает данные об акциях и отмечает, выплачивались ли по ним дивиденды и увеличивались или нет акции в цене за интересующий его период времени. Собранные данные были представлены в виде таблицы:

Решение задачи на классическую вероятность

Задача 1: Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.

Решение: Вероятность набрать верную цифру из десяти равна по условию 1/10. Рассмотрим следующие случаи:

1. первый звонок оказался верным, вероятность равна 1/10 (сразу набрана нужная цифра).
2. первый звонок оказался неверным, а второй - верным, вероятность равна 9/10*1/9=1/10 (первый раз набрана неверная цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти цифр).
3. первый и второй звонки оказались неверными, а третий - верным, вероятность равна 9/10*8/9*1/8=1/10 (аналогично пункту 2).

Всего получаем P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3 - вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.

Ответ: 0,3

Задача 2: Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры.

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события.

m = 1, так как только одно число правильное. Подсчитаем количество всех возможных двузначных чисел с разными цифрами, меньшее 30, которые может набрать абонент: 10 1213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29. Таких чисел n = 18 штук. Тогда искомая вероятность P=1/18.
Ответ: 1/18.

Задача 3. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые.

Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.
m = 6, так как есть только три случая расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы во всех ящиках оказалось разное число шаров: (1, 2, 3), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (3, 1, 2). Всего случаев расположения 6 шаров по 3 ящикам, чтобы ни один ящик не остался пустым равно

Тогда искомая вероятность P=6/10.
Ответ: 0,6.

Задача 4: На шахматную доску случайным образом поставлены две ладьи. Какова вероятность, что они не будут бить одна другую? Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.

Число всех способов расставить ладьи равно n = 64*63 (первую ладью ставим на любую из 64 клеток, а вторую - на любую из оставшихся 63 клеток). Число способов расставить ладьи так, что они не будут бить одна другую равно m = 64*(64-15) = 64*49.

Тогда искомая вероятность P=(64*49)/(64*63)=49/63.

Ответ: 49/63.

Задача 5. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой? Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.

Подсчитаем - число различных способов разложить 6 рукописей по 5 папкам, причем в каждой папке может быть любое количество рукописей. Теперь подсчитаем - число способов разложить 6 рукописей по 4 папкам, причем в каждой папке должно быть не менее одной рукописи. При этом нужно полученное число сочетаний умножить на 5, так как папку, которая останется пустой, можно выбрать 5 способами. Искомая вероятность Р=50/210=5/21.
Ответ: 5/21.

Задача 6. Цифры 1, 2, 3, …, 9, выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное. Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события.

Случай а). n = 9, так как всего 9 различных карточек. m = 4, так как всего на 4 карточках написаны четные числа (2, 4, 6, 8). Тогда P=4/9.
Случай б). n = 9, так как всего 9 различных карточек. m = 0, так как на всех карточках написаны однозначные числа. Тогда P=0/9=0.
Ответ: 4/9, 0.

Задача 7. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом. Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события (Тома стоят в порядке возвозрастания номера слева направо, но не обязательно рядом).

n = 40*39*38, так как первый том можно поставить на любое из 40 мест, второй - на любое из 39 мест и третий - на любое из оставшихся 38 мест.

Тогда искомая вероятность
Ответ: 1/6.

Задача 8. На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: "а", "м", "р", "т", "ю". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово "юрта". Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.

n = 5*4*3*2 = 120 способов, так как первую карточку (букву) можно вытянуть (выбрать) 5 способами (так как всего карточек пять), вторую - 4 (осталось к этому шагу четыре), третью - 3 и четвертую - 2 способами. m = 1, так как искомая последовательность карточек "ю", потом "р", потом "т", потом "а" только одна.

Получаем P = 1/120.

Ответ: 1/120.

Задача 9. Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"? Решение: Используем классическое определение вероятности: P=m/n, где n - число всех возможных элементарных исходов, m - число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события.

Число различных перестановок из букв А, К, К, Л, У равно , из них только одна соответствует слову "кукла" (m=1), поэтому по классическому определению вероятности вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла" равна P=1/60.
Ответ: 1/60.

Произведение вероятностей совместных событий (страница 2)

\(\blacktriangleright\) Если для выполнения события \(C\) необходимо выполнение обоих совместных (которые могут произойти одновременно) событий \(A\) и \(B\) ( \(C=\\) ), то вероятность события \(C\) равна произведению вероятностей событий \(A\) и \(B\) .

Заметим, что если события несовместны, то вероятность их одновременного происхождения равна \(0\) .

\(\blacktriangleright\) Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события совместны, то круги должны пересекаться. Вероятность события \(C\) – это вероятность попасть в оба круга одновременно.

\(\blacktriangleright\) Например, при подбрасывании игральной кости найти вероятность \(C=\) <выпадение числа \(6\) >.
Событие \(C\) можно сформулировать как \(A=\) <выпадение четного числа>и \(B=\) <выпадение числа, делящегося на три>.
Тогда \(P\,(C)=P\,(A)\cdot P\,(B)=\dfrac12\cdot \dfrac13=\dfrac16\) .

Танкист три раза стреляет по вражеским танкам. Вероятность попадания во вражеский танк при одном выстреле равна \(0,4\) . Найдите вероятность того, что танкист попадет во вражеские танки ровно 2 раза. Результат округлите до сотых.

Вероятность того, что танкист промахнется только первым выстрелом равна \(0,6\cdot 0,4\cdot 0,4\) . Вероятность того, что танкист промахнется только вторым выстрелом равна \(0,4\cdot 0,6\cdot 0,4\) .

Вероятность того, что танкист промахнется только третьим выстрелом равна \(0,4\cdot 0,4\cdot 0,6\) .

Вероятность того, что случится одно из этих несовместных событий равна сумме вероятностей каждого из них и равна \(3\cdot 0,096 = 0,288\) . После округления получим \(0,29\) .

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система контроля забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

(Задача от подписчиков)

Выберем произвольную батарейку. Нам удовлетворяют два случая: либо батарейка исправна, но система по ошибке ее забраковала (событие A), либо батарейка неисправна и система ее забраковала (событие B).

Так как это событие имеет вид: “событие A ИЛИ событие B” (причем события несовместны, то есть не могут произойти одновременно!), то вероятность его наступления равна сумме вероятностей событий A и B: \[P=P(A)+P(B)\] Найдем отдельно \(P(A)\) и \(P(B)\) .

1) событие A = батарейка исправна И система по ошибке ее забраковала.
Следовательно, вероятность события A равна произведению вероятностей событий “батарейка исправна” и “система забраковала”. Так как вероятность того, что батарейка неисправна, равна 0,05, то вероятность того, что она исправна, равна \(1-0,05=0,95\) . Следовательно, \[P(A)=0,95\cdot 0,04=0,038.\]

2) событие B = батарейка неисправна И система ее забраковала.
Следовательно, аналогично событию A, вероятность события B равна произведению вероятностей событий “батарейка неисправна” и “система забраковала”. Следовательно, \[P(B)=0,05\cdot 0,96=0,048.\]

Решения задач на классическое определение вероятности

Хотите научиться решать типовые задачи на эту тему? Используйте статьи-инструкции-калькуляторы:

Решенные задачи

Задача 1. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.

Задача 2. Абонент забыл последние 2 цифры телефонного номера, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры.

Задача 4. На шахматную доску случайным образом поставлены две ладьи. Какова вероятность, что они не будут бить одна другую?

Задача 5. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой?

Задача 9. Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"?

Задача 10. В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101, 102, . , 120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.

Задача 11. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?

Задача 12. Случайно выбранная кость в игре домино оказалась не дублем. Найти вероятность того, что вторую также взятую наудачу кость домино можно приставить к первой.

Задача 13. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит N; б) произведение числа очков не превосходит N; в) произведение числа очков делится на N.
N=8

Решебник по теории вероятностей

Срочно нужно решение задачи? Более 11000 полностью оформленных задач (в том числе 2300+ задач на классическое определение вероятности):

Девять цветков случайным образом ставят в 3 вазы

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.

Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Задача 3.11. Среди купленных на рынке десяти маек равновозможно от одной до трех имеют брак. Другие варианты отсутствуют. Случайная величина W – число маек из десяти без брака. Найти закон распределения W и вероятность того, что куплено не менее половины маек без брака.

66 Теория вероятностей По условию не имеют брака девять, восемь или семь маек с одинаковой вероятностью. Других вариантов нет, следовательно, эта вероятность равна 1/3. Величина W имеет равномерный дискретный закон распределения. Искомая вероятность равна 1.

3.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин Как отмечалось во введении, при изучении одномерной случайной величины возникает проблема предсказания среднего значения M, которое она может принимать при n измерениях. Кроме того, для случайных величин, имеющих большое количество возможных значений, актуальна проблема выделения наиболее вероятной части из всего множества значений. Последняя проблема может быть более четко сформулирована следующим образом: определить окрестность M, в которую значения случайной величины попадут с определенной вероятностью (например, 0.99). Для ответа на поставленные вопросы используются так называемые числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Здесь мы рассмотрим их определения для случайных величин дискретного типа.

Определение математического ожидания дискретной случайной величины. Пусть дискретная случайная величина имеет известный закон распределения:

Значения x1 x2. xi.

Вероятности p1 p2. pi.

Математическим ожиданием M случайной величины называется сумма всех произведений вида xi · pi:

M = x1 · p1 + x2 · p2 +. (3.3) Если множество значений конечно, то математическое ожидание представляет собой сумму нескольких чисел, следовательно, всегда существует. Если же множество значений счетно, то M представляет собой сумму числового ряда (бесконечно много слагаемых). Такая сумма может быть не определена (ряд расходится). В таком случае говорят, что математическое ожидание не существует.

Покажем теперь, почему математическое ожидание является предсказанием среднего значения случайной величины, которое она может Глава 3 Случайные величины принимать в результате n измерений. Пусть, действительно, эти n измерений сделаны. Их результатами являются числа: X1, X2. Xn. Найдем среднее арифметическое этих чисел:

X1 + X2 + · · · + Xn M =.

n Если в числителе этой дроби привести подобные слагаемые, то он будет равен x1 · a1 + x2 · a2 +. где x1, x2. различные значения случайной величины, a1, a2. их абсолютные частоты (то есть количества значений x1, x2. наблюдавшихся среди данных n результатов измерений). Если число измерений n велико (стремится к бесконечности), то все возможные значения будут получены на опыте. Перепишем среднее значение в виде a1 aM = x1 · + x2 · +.

n n Отношения абсолютных частот ai к n называются относительными частотами событий вида = xi. При большом числе измерений эти относительные частоты должны мало отличаться от вероятностей pi, иначе закон распределения неправильно подобран для данной случайной величины. Таким образом, при большом количестве измерений величина среднего значения M должна мало отличаться от M, если оно существует.

Приведем далее без доказательства формулы для вычисления математического ожидания случайных величин, имеющих стандартные дискретные распределения:

1) биномиальный закон: M = n · p, 2) геометрический закон: M = 1/p, 3) индикатор: M = p, 4) закон Пуассона: M =, 5) гипергеометрический закон: M = n1 · (m/n).

В случае, когда закон распределения не является стандартным, можно найти математическое ожидание по определению.

Задача 3.12. В задачах 3.7–3.11 вычислить математические ожидания случайных величин.

В задаче 3.7 имеем биномиальный закон распределения с параметрами n = 10, p = 1/3, следовательно, MG = 10/3. В задаче 3.8 идет речь о распределении Пуассона, следовательно, MF = 2/3. Случайная величина T в задаче 3.9 имеет геометрический закон распределения, поэтому MT = 68 Теория вероятностей 10. В задаче 3.10 идет речь о гипергеометрическом распределении, для которого n = 27, m = 10, n1 = 3, следовательно, MS = 30/27. В последней задаче, 3.11, вычислим математическое ожидание W по определению:

1 1 9 · + 8 · + 7 · = 8.

3 3 Определение дисперсии дискретной случайной величины.

Пусть дискретная случайная величина имеет известный закон распределения:

Значения x1 x2. xi.

Вероятности p1 p2. pi.

Пусть существует математическое ожидание M. Дисперсией случайной величины называется сумма всех произведений вида (xi - M)2 · pi:

D = (x1 - M)2 · p1 + (x2 - M)2 · p2 +. (3.4) Если множество значений конечно, то дисперсия, очевидно, существует. Если же множество значений счетно, то D представляет собой сумму числового ряда, который может расходиться. В таком случае говорят, что дисперсия не существует. Для вычисления дисперсии можно применить более удобную формулу D = x12 · p1 + x22 · p2 + · · · - (M)2 = M2 - (M)2. (3.5) Равносильность формул (3.4) и (3.5) доказывается с помощью простых алгебраических преобразований. Приведем, далее, без доказательства формулы для вычисления дисперсии случайных величин, имеющих стандартные дискретные распределения:

1) биномиальный закон: D = n · p · (1 - p), 2) геометрический закон: D = (1 - p)/p2, 3) индикатор: D = p · (1 - p), 4) закон Пуассона: D =, m · (n - m) 5) гипергеометрический закон: D = n1 · (n - n1) ·.

n2 · (n - 1) Задача 3.13. В задачах 3.7–3.11 вычислить дисперсии случайных величин.

В задаче 3.7 имеем биномиальный закон распределения с параметрами n = 10, p = 1/3, следовательно, DG = 20/9. В задаче 3.8 идет речь о распределении Пуассона, следовательно, DF = 2/3. Случайная величина T в задаче 3.9 имеет геометрический закон распределения, поэтому Глава 3 Случайные величины DT = 90. В задаче 3.10 идет речь о гипергеометрическом распределении, для которого n = 27, m = 10, n1 = 3, следовательно, 30 · 17 · DS =.

272 · В последней задаче, 3.11, вычислим дисперсию W по формуле (3.5):

1 1 1 81 · + 64 · + 49 · - 64 =.

3 3 3 Как нетрудно заметить, дисперсия измеряется не в таких единицах, как математическое ожидание: единицы измерения возводятся в квадрат.

Это не всегда удобно. Для единообразия единиц измерения из дисперсии извлекают квадратный корень.

Определение среднего квадратического отклонения. Средним квадратическим отклонением случайной величины (не обязательно дис кретной) называется квадратный корень из ее дисперсии: = D.

Рассмотрим теперь проблему определения минимального интервала вида (M - r, M + r), в который значения попадают с заданной вероятностью. Если закон распределения дискретной случайной величины известен, то такой интервал можно определить, добавляя одно за другим значения слева и справа от M в множество . При этом вероятности добавленных значений надо складывать, пока не получим число или число больше него. Для большинства случайных величин решение такой задачи требует больших вычислений. Существует простой, но приближенный метод получения интервала вида (M - r, M + r), в который значения попадают с вероятностью заведомо большей, чем. Этот метод не требует знания закона распределения, а только знание M, D и.

Теорема 3.1 (неравенство Чебышева). Пусть случайная величина имеет математическое ожидание M и дисперсию D. Тогда для любого положительного числа r имеет место неравенство:

D P((M - r, M + r)) 1 -. (3.6) rЭто неравенство означает, что значения случайной величины попадают в интервал с центром в точке M и любым заданным радиусом r с вероятностью, которая больше или равна 1 - D/r2.

Доказательство теоремы опускаем. Заметим, что она верна не только для дискретных, но и для абсолютно непрерывных случайных величин, описанных в следующих параграфах.

70 Теория вероятностей Для приближенного определения радиуса окрестности математического ожидания, в которую значения случайной величины попадают с вероятностью больше, чем, надо правую часть неравенства (3.6) приравнять числу.

Следствие. Если в неравенстве (3.6) вместо r подставить 3 ·, то соответствующая вероятность будет не меньше, чем 8/9. Этот факт называют правилом трех сигм.

Задача 3.14. Для случайной величины T из задачи 3.9 найти с помощью неравенства Чебышева интервал (MT - r, MT + r), в который значения T попадают с вероятностью более, чем 0.9. (Таким образом отбрасываются маловероятные значения из бесконечного множества значений.) Ранее мы уже подсчитали, что MT = 10, DT = 90. Для определения r из неравенства Чебышева решим уравнение 1 - 90/r2 = 0.9. Оно рав носильно r2 = 900, откуда r = 30. Для сравнения, 3 · T = 9 · 10, что, примерно, равно 30, так как 0.9 приближенно равно 8/9. Таким образом, приближенно, с вероятностью больше 0.9 случайная величина T принимает значения от 1 до 39. В задаче 3.9 была определена вероятность для этого множества: она равна 0.984.

К неравенству Чебышева мы вернемся в разделе 3.8.

3.4. Задачи для самостоятельного решения 3.4.1. Первый уровень сложности 1. В елочной гирлянде старого образца все сто лампочек соединены последовательно: если одна лампочка не в порядке (неисправна или выкрутилась), то и вся гирлянда не горит. Вероятность того, что одна лампочка не в порядке, равна 0.2 для каждой лампочки, независимо от других. Пусть случайная величина это число лампочек в гирлянде, которые не в порядке. Найдите закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и r(0.9) с помощью неравенства Чебышева.

ПОДСКАЗКА. Биномиальный закон.

2. Все лампочки в старой гирлянде, кроме одной, в порядке. Эта одна лампочка может равновозможно находиться на любом из ста мест.

Начинаем проверять всю цепочку, начиная с первой лампочки, пока не найдем ту, что не в порядке. Теперь число проверенных лампочек.

Глава 3 Случайные величины Найдите закон распределения и математическое ожидание. Определите вероятность события: 20.

ПОДСКАЗКА. Равномерное дискретное распределение.

3. Среднее количество бракованных изделий в большой партии равно четырем. Случайная величина X количество бракованных изделий в такой партии. Определите вероятность события: X 3.

ПОДСКАЗКА. Закон Пуассона.

4. Каждую из десяти сложных задач цикла для самостоятельной работы студентов сам преподаватель может решить правильно с вероятностью 0.8, независимо от других задач того же цикла. Случайная величина f число задач из десяти, которые преподаватель может решить правильно. Найдите закон распределения f, математическое ожидание, дисперсию и вероятность события: f 8.

ПОДСКАЗКА. Схема Бернулли.

5. Студент ходит переписывать самостоятельную работу до первого успеха. Вероятность успеха постоянна и равна 0.6, независимо от номера попытки. Пусть Y число попыток до первого успеха, включительно.

Найдите закон распределения Y, математическое ожидание, дисперсию и r(0.9) с помощью неравенства Чебышева.

ПОДСКАЗКА. Геометрический закон.

6. Из десяти садоводов каждый выбирает сорта моркови для посева.

С вероятностью 0.6 каждый садовод, независимо от других, посеет новый сорт Королева осени. Пусть Z число садоводов из десяти, посеявших этот сорт. Найдите закон распределения Z, математическое ожидание, дисперсию и вероятность события: Z 5.

ПОДСКАЗКА. Схема Бернулли.

7. В старом пакете семян сельдерея более 1000 семян, но среднее количество всхожих семян равно пяти. Пусть K случайное количество всхожих семян в пакете. Определите закон распределения K, математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что в пакете есть хотя бы одно семя, способное взойти.

ПОДСКАЗКА. Закон Пуассона.

8. На окружности отметили четыре разные точки. Каждые две из них соединили отрезком. Каждый из шести полученных отрезков закрасили целиком в синий или в красный цвет (независимо от других). Вероятность того, что отрезок красный, равна 0.8 (синий 0.2). Пусть W 72 Теория вероятностей число синих отрезков из шести. Определите закон распределения W, математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что среди отрезков будет хотя бы один красный.

ПОДСКАЗКА. Биномиальный закон.

9. Мальчик бросает мяч в баскетбольную корзину до первого попадания. Вероятность попадания при одном броске постоянна и равна 0.3, независимо от номера броска. Пусть R число попыток, считая удачную.

Найдите закон распределения R, математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что мальчик попадет, сделав меньше трех попыток.

ПОДСКАЗКА. Геометрический закон.

10. В партии равновозможно может содержаться от нуля до пяти бракованных электроламп. Других вариантов нет. Случайная величина число бракованных ламп в этой партии. Найдите закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что в партии будет больше одной бракованной лампы.

ПОДСКАЗКА. Равномерный дискретный закон распределения.

11. В футбольном клубе Закат 25 футболистов, среди которых пять иностранцев. По жребию выбираются 11 случайных футболистов из 25 для участия в турнире. Число иностранцев, попавших в выбранную группу из 11 человек, случайная величина F. Найдите ее закон распределения и математическое ожидание. Подсчитайте вероятность того, что будут выбраны не более двух иностранцев.

ПОДСКАЗКА. Сочетания. Гипергеометрический закон.

12. Команда Закат играет серию матчей с командой Рассвет. Всего в серии пять матчей. Вероятность того, что матч выиграет Закат равна 0.6, вероятность свести матч в ничью равна 0.2 (для всех матчей независимо). Пусть D число матчей из пяти, выигранных командой Рассвет. Найдите закон распределения D, математическое ожидание, дисперсию и вероятность того, что Рассвет победит хотя бы один раз.

ПОДСКАЗКА. Биномиальный закон.

13. Команда Закат играет с командой Зенит до первой победы Заката. Вероятность такой победы в одном матче постоянна и равна 0.2. Пусть W число сыгранных матчей. Найдите закон распределения, математическое ожидание, дисперсию W. Определите r(0.8) с помощью неравенства Чебышева.

ПОДСКАЗКА. Геометрический закон.

14. В коробке десять красных шаров и пять синих. Наугад выберем четыре шара из пятнадцати. Пусть T число синих шаров в выборке.

Глава 3 Случайные величины Найдите закон распределения T, математическое ожидание T и вероятность выбрать красных и синих шаров поровну.

ПОДСКАЗКА. Сочетания. Гипергеометрическое распределение.

15. Среди 15 сорванных яблок ровно три червивые. Выберем ровно два яблока из 15 случайным образом. Q – число червивых среди них.

Найдите закон распределения Q, математическое ожидание, дисперсию Q и вероятность того, что среди выбранных двух яблок червивых нет.

ПОДСКАЗКА. Гипергеометрическое распределение.

3.4.2. Второй уровень сложности 1. В тексте учебника содержатся опечатки: в среднем, одна опечатка на десять страниц. Случайная величина f число опечаток на одной странице. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию f и вероятность того, что на странице есть хотя бы одна опечатка.

ПОДСКАЗКА. Закон Пуассона.

2. Каждый из четырех мальчиков (по очереди) пытается разломить черствый пряник. Если кто-то пряник разломит, то пряник будет съеден.

Если никто не разломит пряник выбрасывают. Каждый мальчик делает по одной попытке разломить пряник. Вероятность успеха для первого мальчика равна 0.5, для второго 0.6, для третьего 0.7, для четвертого 0.8. Пусть W число неудачных попыток (от 0 до 4). Найдите закон распределения W и вероятность того, что пряник не выбросят.

ПОДСКАЗКА. Умножение вероятностей.

3. В большой мешок сахарного песка заползли муравьи. Если брать песок для чая, то, в среднем, попадаются два муравья на пять порций.

Пусть W число муравьев в одной порции. Найдите закон распределения, числовые характеристики и вероятность того, что взяв десять порций песка, мы не подцепим ни одного муравья.

ПОДСКАЗКА. Пуассон и Бернулли.

4. На окружности отметили четыре точки. Каждые две соединили отрезком. Каждый отрезок покрасили целиком в красный или синий цвет:

в красный с вероятностью 0.8, в синий 0.2. Случайная величина R число получившихся красных треугольников с вершинами в отмеченных точках. Найдите закон распределения.

ПОДСКАЗКА. Проанализируйте, сколько может быть красных треугольников.

74 Теория вероятностей 5. Ровно один из десяти ключей может открыть сундук с сокровищами. Пробуем ключи поочередно. Непригодные откладываем в сторону.

T число попыток открыть сундук. Найдите закон распределения T и вероятность того, что будет сделано не больше трех попыток.

Читайте также: